- •В.В. Чуркин численные методы
- •Содержание
- •Нелинейных уравнений Краткие сведения
- •1 Метод деления пополам (метод дихотомии, метод бисекций)
- •2 Метод хорд
- •3 Метод касательных (метод Ньютона)
- •4 Метод секущих
- •5 Метод итераций
- •5 Комбинированные методы решений нелинейных уравнений
- •Решение нелинейных уравнений в системе Mathcad
- •Пример построения графика функции и решения нелинейного уравнения
- •Лабораторная работа 1
- •Задание
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения
- •Интерполирование в системе Mathcad
- •Лабораторная работа 2
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения Алгебра матриц
- •Алгоритмы формирования матриц
- •Методы разложения матриц
- •Методы обращения матриц
- •Операции с векторами и матрицами в системе Mathcad
- •Лабораторная работа 3
- •Задание
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Методы решений систем линейных алгебраических уравнений (слау) Краткие сведения
- •Прямые методы решений слау Метод Гаусса
- •Метод ортогонализации строк
- •Метод решения системы с ленточными матрицами
- •Метод Холецкого
- •Метод квадратного корня Пусть требуется решить слау с симметрической положительно определенной матрицей Матрица приводится к виду где
- •Метод прогонки
- •Метод вращений
- •Итерационные методы решений слау
- •Метод релаксации
- •Вычисление матричных выражений
- •Пример решения слау в системе Mathcad
- •Лабораторная работа 4
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 5
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения
- •Выполнение аппроксимации (регрессии) в системе Mathcad
- •Пример проведения регрессий – линейной и линейной общего вида
- •Лабораторная работа 6
- •Задание
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения
- •Вычисление первообразных и интегралов в системе Mathcad
- •Лабораторная работа 7
- •Задание
- •Варианты вычисляемых интегралов и методов (формул) вычислений представлены в таблицах 1 и 2
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения
- •Метод интегрирования оду с помощью ряда Тейлора
- •Метод Эйлера
- •Метод Рунге-Кутта третьего порядка рк3
- •Ошибки методов
- •Интегрирование систем оду и оду высших порядков
- •Методы прогноза и коррекции
- •Первый вариант метода Адамса
- •Второй вариант метода Адамса
- •Метод на основе методов Милна и Адамса-Башфорта
- •Метод Хемминга
- •Интегрирование систем оду в системе Mathcad
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
Методы обращения матриц
Могут быть обращены только неособенные квадратные матрицы
Метод окаймления (деления на клетки)
Исходную матрицу размера разобьем на четыре клетки где– подматрицы размеров Примем что матрица существует и может быть разбита на клетки так же как и матрица те где – подматрицы размеров Поскольку ,
то *= или
Пусть подматрица имеет обратную которая известна Тогда после небольших преобразований получим формулы которые могут быть последовательно решены относительно матриц :
(*)
Вычисление обратной матрицы реализуется с помощью метода окаймления Суть его заключается в следующем Пусть дана матрица
Образуем ; ; и тд
Каждая следующая матрица получена из предыдущей при помощи окаймления Обратная к первой из этих матриц находится непосредственно: Зная и применив к схему вычислений (*) можно получить а затем при помощи аналогично получитьи тд Процесс заканчивается матрицей тк . Обращение можно начать и с правого нижнего угла матрицы.
Метод Ершова (метод пополнения)
На основе исходной матрицы и единичной матрицы строится последовательность матриц
; .
Матрица Матрицыявляются вспомогательными
Метод Фаддеева
Напомним что следом (spur) матрицы называется сумма ее элементов на главной диагонали:
Вычисление обратной матрицы порядкапроизводится по следующим формулам:
Операции с векторами и матрицами в системе Mathcad
Векторы и матрицы можно задавать путем ввода их элементов. Для указания индексов после имени переменной вводится открывающая квадратная скобканапример при вводеувидим. Для задания векторов и матриц можно либо воспользоваться командойМатрицав менюВставкалибо нажатьлибо щелкнуть на кнопке с изображением шаблона матрицыа затем в диалоговом окне указать размер матрицы.
Для работы с векторами и матрицами система поддерживает ряд операций (- вектор- матрица- скаляр), сведенных в таблицу.
Таблица
Операция |
Клавиши |
Описание |
Сложение векторов и | ||
Смена знака у элементов матрицы | ||
Умножение матрицы на скаляр | ||
Умножение матрицы на вектор | ||
Умножение двух матриц | ||
Деление матрицы на скаляр | ||
Обращение матрицы | ||
Возведение матрицы в степень | ||
Вычисление определителя матрицы | ||
Транспонирование вектора | ||
Транспонирование матрицы |
Векторные и матричные функции в системе Mathcad
- возвращает число элементов вектора
- объединяет в одну две матрицы с одинаковым числом строк (объединение “бок о бок”)
- объединяет в одну две матрицы с одинаковым числом столбцов (“сажая”на)
- создаёт единичную квадратную матрицу размером;
- возвращает подматрицусостоящую из всех элементовсодержащихся в строках отпои в столбцах спо();
- создаёт диагональную матрицуэлементы главной диагонали которой равны элементам вектора-столбца
- возвращает число столбцовстрок матрицы
- возвращает ранг матрицы
- возвращает след квадратной матрицы
- возвращает норму(-норму) матрицы
- возвращает нормуматрицы
- возвращает евклидову норму (- норму) матрицы
- возвращает неопределенную норму (- норму) матрицы
Пример работы с матричными операциями и функциями
Задание матрицы A с размерностью 23
Транспонирование матрицы A
Создание единичной матрицы и вычисление её следа
Задание и обращение матрицы A
Проверка правильности обращения матрицы A
Умножение двух матриц
Задание квадратной матрицы и вычисление её определителя
Сортировка матрицы по первому столбцу
Сортировка матрицы по первой строке