- •В.В. Чуркин численные методы
- •Содержание
- •Нелинейных уравнений Краткие сведения
- •1 Метод деления пополам (метод дихотомии, метод бисекций)
- •2 Метод хорд
- •3 Метод касательных (метод Ньютона)
- •4 Метод секущих
- •5 Метод итераций
- •5 Комбинированные методы решений нелинейных уравнений
- •Решение нелинейных уравнений в системе Mathcad
- •Пример построения графика функции и решения нелинейного уравнения
- •Лабораторная работа 1
- •Задание
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения
- •Интерполирование в системе Mathcad
- •Лабораторная работа 2
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения Алгебра матриц
- •Алгоритмы формирования матриц
- •Методы разложения матриц
- •Методы обращения матриц
- •Операции с векторами и матрицами в системе Mathcad
- •Лабораторная работа 3
- •Задание
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Методы решений систем линейных алгебраических уравнений (слау) Краткие сведения
- •Прямые методы решений слау Метод Гаусса
- •Метод ортогонализации строк
- •Метод решения системы с ленточными матрицами
- •Метод Холецкого
- •Метод квадратного корня Пусть требуется решить слау с симметрической положительно определенной матрицей Матрица приводится к виду где
- •Метод прогонки
- •Метод вращений
- •Итерационные методы решений слау
- •Метод релаксации
- •Вычисление матричных выражений
- •Пример решения слау в системе Mathcad
- •Лабораторная работа 4
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 5
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения
- •Выполнение аппроксимации (регрессии) в системе Mathcad
- •Пример проведения регрессий – линейной и линейной общего вида
- •Лабораторная работа 6
- •Задание
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения
- •Вычисление первообразных и интегралов в системе Mathcad
- •Лабораторная работа 7
- •Задание
- •Варианты вычисляемых интегралов и методов (формул) вычислений представлены в таблицах 1 и 2
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения
- •Метод интегрирования оду с помощью ряда Тейлора
- •Метод Эйлера
- •Метод Рунге-Кутта третьего порядка рк3
- •Ошибки методов
- •Интегрирование систем оду и оду высших порядков
- •Методы прогноза и коррекции
- •Первый вариант метода Адамса
- •Второй вариант метода Адамса
- •Метод на основе методов Милна и Адамса-Башфорта
- •Метод Хемминга
- •Интегрирование систем оду в системе Mathcad
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
Первый вариант метода Адамса
(15)
Второй вариант метода Адамса
(16)
Метод на основе методов Милна и Адамса-Башфорта
Формула для прогноза:
(17)
формула для поправки:
(18)
формула для коррекции:
(19)
формула для приближенного решения:
(20)
На первом шагекогда отсутствуетположим
Метод Хемминга
Формула для прогноза:
(21)
формула для поправки:
(22)
формула для коррекции:
(23)
формула для приближенного решения:
(24)
На первом шагекогда отсутствуетположим
Два последних метода имеют погрешность на шаге порядка
Алгоритмы методов прогноза и коррекции
Порядок построения алгоритма численного интегрирования ОДУ методом прогноза и коррекции с разгоном одношаговым методом рассмотрим на примере.
Первым вариантом метода Адамса (формулы (15)) с разгоном методом РК4 (формулы (7)) найти решение ОДУ
в интервале с начальными условиями
Разрешаем уравнение относительно старшей производной
,
вводим новые переменные и исходное уравнение сводим к нормальной системе ДУ первого порядка:
Разгон выполняется однократным использованием формул:
Теперь необходимо перейти к методу прогноза и коррекции, где в прогнозе используются начальные условия и узел с решением, полученным в результате разгона. Для этого нужно соответствующим образом переименовать переменные, что позволит связать разгон с методом прогноза и коррекции и построить алгоритм.
В начальных условиях имена переменных заменим на. Результаты разгонапереименуем вСвязь полученных через переименование имен и имен переменных, которые будут использованы для прогноза и коррекции, представлена на рис.8.6.
Рис.8.6 – связь начальных условий, разгона, прогноза и коррекции
Рис.8.7 – алгоритм численного интегрирования
ДУ второго порядка методом прогноза и коррекции
(первый вариант метода Адамса) с разгоном методом РК4
Рис.8.8 – адаптивный алгоритм численного интегрирования
ДУ второго порядка методом прогноза и коррекции
(первый вариант метода Адамса) с разгоном методом РК4
Теперь формулы для прогноза и коррекции будут иметь вид:
Полученные выше формулы позволяют построить алгоритм (рис.8.7) для выполнения задания.
Адаптивный алгоритм численного интегрирования ОДУ
методом прогноза и коррекции с разгоном методом РК
Допустим теперь, что в рассмотренном задании есть требования – интегрировать с заданной ошибкой и обеспечить минимальные затраты машинного времени.
Известно, что минимальные затраты машинного времени достигаются при таком шаге интегрирования, когда количество итераций на шаге равно двум. Это обстоятельство позволяет достаточно просто строить адаптивные алгоритмы, в которых величина шага автоматически устанавливается по числу итераций на шаге. Пример адаптивного алгоритма для рассмотренного выше задания приведен на рис.8.8.
При построении адаптивного алгоритма необходимо учитывать, что при изменении величины шага нарушаются условия применения метода прогноза и коррекции. Последняя вычисленная точка (узел) перед изменением шага становится точкой начальных условий, и поэтому продолжать интегрирование нужно с разгона решения, включив метод РК4.