- •В.В. Чуркин численные методы
- •Содержание
- •Нелинейных уравнений Краткие сведения
- •1 Метод деления пополам (метод дихотомии, метод бисекций)
- •2 Метод хорд
- •3 Метод касательных (метод Ньютона)
- •4 Метод секущих
- •5 Метод итераций
- •5 Комбинированные методы решений нелинейных уравнений
- •Решение нелинейных уравнений в системе Mathcad
- •Пример построения графика функции и решения нелинейного уравнения
- •Лабораторная работа 1
- •Задание
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения
- •Интерполирование в системе Mathcad
- •Лабораторная работа 2
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения Алгебра матриц
- •Алгоритмы формирования матриц
- •Методы разложения матриц
- •Методы обращения матриц
- •Операции с векторами и матрицами в системе Mathcad
- •Лабораторная работа 3
- •Задание
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Методы решений систем линейных алгебраических уравнений (слау) Краткие сведения
- •Прямые методы решений слау Метод Гаусса
- •Метод ортогонализации строк
- •Метод решения системы с ленточными матрицами
- •Метод Холецкого
- •Метод квадратного корня Пусть требуется решить слау с симметрической положительно определенной матрицей Матрица приводится к виду где
- •Метод прогонки
- •Метод вращений
- •Итерационные методы решений слау
- •Метод релаксации
- •Вычисление матричных выражений
- •Пример решения слау в системе Mathcad
- •Лабораторная работа 4
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 5
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения
- •Выполнение аппроксимации (регрессии) в системе Mathcad
- •Пример проведения регрессий – линейной и линейной общего вида
- •Лабораторная работа 6
- •Задание
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения
- •Вычисление первообразных и интегралов в системе Mathcad
- •Лабораторная работа 7
- •Задание
- •Варианты вычисляемых интегралов и методов (формул) вычислений представлены в таблицах 1 и 2
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения
- •Метод интегрирования оду с помощью ряда Тейлора
- •Метод Эйлера
- •Метод Рунге-Кутта третьего порядка рк3
- •Ошибки методов
- •Интегрирование систем оду и оду высших порядков
- •Методы прогноза и коррекции
- •Первый вариант метода Адамса
- •Второй вариант метода Адамса
- •Метод на основе методов Милна и Адамса-Башфорта
- •Метод Хемминга
- •Интегрирование систем оду в системе Mathcad
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
Контрольные вопросы
Какие виды нелинейных уравнений можно решать численными методами?
Расскажите об отделении корней, приведя иллюстрацию для своего задания. Как выбирается величина ?
Сравните методы деления пополам и хорд.
Сравните методы касательных и секущих.
Как перейти от уравнения к равносильному ему уравнению? Объясните алгоритм метода итераций.
Расскажите об условиях применения методов уточнения корней.
Как зависит в численных методах значение функции в корне от величины задаваемой ошибки?
Приведите примеры комбинации методов. Поясните их целесообразность.
Приведите алгоритмы для получения зависимостей затрат машинного времени от ошибки для методов в задании.
Объясните полученные результаты.
Как построить класс для выполнения задания? В каких файлах и как можно разместить объявление класса и его реализацию?
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
Краткие сведения
Интерполяция – это нахождение по ряду данных значений функции промежуточных её значений. Экстраполяция позволяет найти значения функции вне интервала интерполяции. Исходными данными для решения задач интерполяции и экстраполяции являются значения таблично заданной функции:
…. |
…. | |||||
…. |
…. |
Узлы интерполяции могут быть неравноотстоящими и равноотстоящими, где- шаг интерполяции.
Решением задачи интерполяции (экстраполяции) является интерполирующая (экстраполирующая) функция , удовлетворяющая условиям
Алгебраическая интерполяция
При алгебраической интерполяции интерполирующая функция может быть написана непосредственно по таблице значений в виде интерполяционного полинома Лагранжа -ой степени
Узлы интерполяции при этом могут быть как равноотстоящими, так и неравноотстоящими. Представленный полином позволяет выполнять прямую интерполяцию. По таблице можно написать также полином Лагранжа для обратной интерполяции
Для разработки алгоритмов полиномы удобнее представить в виде
Алгоритмы прямой и обратной интерполяций по полиномам Лагранжа представлены на рис.2.1 и 2.2.
Рис.2.1 – алгоритм прямой интерполяции по Лагранжу
Рис.2.2 – алгоритм обратной интерполяции по Лагранжу
Кусочно-линейная интерполяция
При кусочно-линейной интерполяции вычисление дополнительных точек выполняется по линейной зависимости. Графически это означает соединение узловых точек отрезками прямых (рис.2.3). При экстраполяции используются отрезки прямых, проведенных через две крайние точки.
Рис.2.3 – кусочно-линейная интерполяция и экстраполяция
При небольшом числе узлов (<10) кусочно-линейная интерполяция оказывается довольно грубой. При ней даже первая производная интерполирующей функции испытывает резкие скачки в узловых точках.
Сплайн-интерполяция
Гораздо лучшие результаты, по сравнению с кусочно-линейной, дает сплайн-интерполяция (splinе – гибкая линейка). Здесь исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов, т.е., рассчитываются так, чтобы первая и вторая производные были непрерывными. Линиякоторую описывает сплайн-функциянапоминает по форме гибкую линейкузакрепленную в узловых точках
Тригонометрическая интерполяция
Пусть функция задана на отрезкетаблицей значенийв равноотстоящих узлах
Тригонометрическим многочленом степени называют многочлен
Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении тригонометрического интерполяционного многочлена наименьшей степениудовлетворяющего условиям
Решением этой задачи является тригонометрический многочлен
Рис.2.4 – алгоритм тригонометрической интерполяции
коэффициенты которого вычисляются по следующим формулам:
Широкие возможности тригонометрической интерполяции следуют из того фактачто с возрастаниеммногочленаппроксимируетс возрастающей точностьюЭто справедливо для достаточно широкого класса функцийЭтим тригонометрическая интерполяция существенно отличается от алгебраической интерполяции на системе равноотстоящих узловПри алгебраическом интерполировании разность между функциейи интерполяционным многочленом может быть как угодно большой всюдукроме узлов интерполяцииТригонометрическое интерполирование свободно от этого недостатка
Алгоритм тригонометрической интерполяции представлен на рис.2.4.