Содержание отчета

1. Задание

2. Формулы метода

3. Результаты выполнения задания в Mathcad’е .

4. Блок-схема алгоритма и таблица идентификаторов

5. Исходный код

6. Результаты выполнения работы в виде значений коэффициентов интерполирующего полинома и графика полученного полинома с нанесенными на график исходными данными

7. Библиографический список.

Контрольные вопросы

1. Что означают понятия интерполяции и экстраполяции?

2. Как решают задачу интерполяции и экстраполяции?

3. Каков результат решения задачи интерполяции и экстраполяции?

4. Какие методы интерполяции и почему применяют при небольшом числе узлов интерполяции?

5. Какие методы интерполяции и почему применяют при большом числе узлов интерполяции?

6. Сравните интерполяции по Лагранжу и сплайнами.

7. Какие недостатки имеют кусочно-линейная интерполяция и экстраполяция?

8. Расскажите о достоинствах и недостатках тригонометрической интерполяции.

9. Что нужно сделать с исходными данными, чтобы получить на графике существенное отличие сплайновой интерполяции от кусочно-линейной?

10. Как изменяется качество интерполяции для перечисленных методов при увеличении числа узлов интерполяции?

11. Сравните методы интерполяции по объему вычислений, т.е. по затратам машинного времени.

АЛГЕБРА, ФОРМИРОВАНИЕ,

РАЗЛОЖЕНИЕ И ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ

Краткие сведения Алгебра матриц

Система чисел (действительных или комплексных)расположенных в прямоугольной таблице изnстрок и mстолбцов

,

называется матрицей (числовой)Числа - элементы матрицыПользуются также сокращенными записями и причем говорятчто матрица имеет размер

Если то матрицу называютпрямоугольнойа в случае-квадратнойМатрица размераназываетсявектором-строкойа размера-вектором-столбцомЧисло (скаляр) можно считать матрицей размераКвадратная матрицаимеющая ненулевые элементы только на главной диагоналиназываетсядиагональнойЕсли в диагональной матрице ненулевые элементы равны 1то матрицу называютединичнойи обозначают через

С квадратной матрицей связан определитель(число)определяемое по правилугде сумма распространена на всевозможные перестановкиэлементовиследовательносодержитслагаемыхпричемесли перестановка четнаяиесли перестановка нечетная.

Рангданной матрицы размераесть такое число, что по крайней мере один определитель -го порядкаполучаемый при удалении некоторых строк и (или) столбцовотличен от нуляа все определители-го порядка равны нулю. Дляневырожденнойматрицы.

След(spur) квадратной матрицыравен сумме элементов на главной диагонали:

Для матриц произвольного типа и размера используют три нормы:

(m-норма);

(l-норма);

(k-норма).

Матрицы равныесли они имеют один и тот же размер и равны их соответствующие элементыСумма и разность матриц определена для матриц одинакового типаПравило умножения матрицэлементматрицы-произведения представляет собой сумму произведений элементовi-й строки первой матрицы на элементыj- го столбца второй матрицыСледовательноесли размер первой матрицыа второй -перемножение возможно приа матрица-произведение имеет размер

Определитель матрицы-произведения равен произведению определителей матриц-сомножителей

Транспонированнаяматрицаполучается из исходнойзаменой строк столбцами

Матрица называется симметрической (симметричной)если она совпадает со своей транспонированнойт.е. если. В случаематрицу называюткососимметрической.

Обратнойпо отношению к даннойназывается матрицакотораябудучи умноженной как справатак и слева на данную матрицудает единичную матрицуНахождение обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы

При вычислении матрицыобратной матрице, точность оценивается с помощью модифицированнойk-нормы матрицы ошибок, равной,

Квадратная матрица называется неособеннойесли определитель ее не равен нулюВ противном случае матрица называетсяособеннойОбратную матрицу имеет всякая неособенная матрица

Присоединенную(илисоюзную) матрицу получают транспонированием матрицысоставленной из алгебраических дополнений элементов исходной матрицыРазделив присоединенную матрицу на определитель исходной матрицыполучают матрицуобратную для исходной

С помощью горизонтальных и вертикальных перегородокидущих вдоль всей матрицыпоследнюю разбивают на матрицы низших порядков (клетки или блоки)Матрицуразбитую на клеткиназываютклеточнойилиблочной

Разбиение матрицы на клетки может быть осуществлено различными способамиЕсли все клетки являются квадратными матрицами и главные диагонали всех клеток находятся на главной диагонали исходной матрицыа вне клеток стоят нулито такую клеточную матрицу называютквазидиагональной

Окаймленныематрицы представляют собой другой важный частный случай клеточных матрицИз исходной матрицыокаймленную матрицу матрицуполучают следующим образом , где

- матрица порядкаn-1; - матрица-столбец; - матрица-строка и- число

Клеточные матрицы одинакового типа и с одинаковым разбиением называют конформными. Удобство клеточных матриц состоит в томчто действия над ними совершаются формально по тем же правиламчто и над обыкновенными матрицами.

Матрицавсе элементы которой равны нулюназываетсянулевойи обозначается через.

Матрицы общего виданазываютплотнымиилизаполненными

Практические задачинапример анализ протяженной электрической цепи с локальными связями между элементамиприводят кразреженнымматрицамв которых нулевых элементов значительно большечем ненулевых. Пример разреженной матрицы –трехдиагональнаяматрицавсе ненулевые элементы которой расположены на главной и двух соседних с ней диагоналях.

Матрица называется ленточнойс полушириной лентыравной,если для . Все ненулевые элементы расположены наближайших к главной диагоналях матрицы; числоназывают шириной ленты. В случае ленточная матрица является разреженной.

Если в квадратной матрице элементыстоящие выше (ниже) главной диагоналиравны нулюто такую матрицу называютнижней(верхней)треугольнойматрицейДиагональная матрица является частным случаем как верхнейтак и нижней треугольной матрицыОпределитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

Всякую квадратную матрицу имеющую отличные от нуля главные диагональные миноры ….; можно представить в виде произведения двух треугольных матриц (верхней и нижней)причем это разложение будет единственнымесли зафиксировать диагональные элементы одной из матриц (напримерпринять их равными 1).

Если главные диагональные миноры симметрической матрицы положительныто она называетсяположительно определенной.

Действительнаяматрицаявляетсяортогональнойесли ее транспонированная матрицасовпадает с обратнойт.е.или . Ортогональная матрица имеет следующие свойства.

1. Строки (столбцы) попарно ортогональныт.е.

приипри.

2. Сумма квадратов элементов каждой строки (столбца) равна 1.

3. Определитель равен 1.

4. Транспонированная и обратная матрицы ортогональной матрицы также являются ортогональными матрицами.

Две матрицы называются эквивалентнымиесли одна получается из другой с помощью элементарных преобразований: перестановка двух строк или столбцов; умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) на одно и то же число; прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца)умноженных на одно и то же число.

Указание для изменения порядка следования строк (столбцов) матрицы задают в виде вектора транспозиции. Например, если для строк матрицы размера 5*6 задан вектор транспозиции , то матрица не будет изменена, а в случаепоменяются местами строки: первая – с пятой, третья – со второй.