Случайные погрешности результатов измерений

В процессе обработки результатов измерений могут быть получены только оценки F(x), p(x) иихмоментов.

•Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины.

•Оценка являетсянесмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины.

•Если можно найти несколько несмещенных оценок, лучшейиз них считается та, которая имеет наименьшую дисперсию. Такаяоценка называется

эффективной.

	1	= + 1;
Пусть выполнено n измерений и Q – среднее значение результата:
	2	= + 2;
	3	= + 3;
- случайная величина. Тогда
	= + ,
1
		= + 1 .
=1		=1

При → ∞ :
	≈ 0.
Тогдасреднееарифметическое:	=1	1
–	=	.
		=1

Среднееарифметическое состоятельная, несмещеннаяиэффективнаяоценка.

Средняяквадратическаяпогрешность, СКО(длянормального распределения):
=		−1			.
	∑ =1( − )			2

Зависимость между СКП единичного измерения и СКП среднего
арифметического :	=
Дляравномерногозакона:			.	,
СКО:	̅=	2
математическое ожидание:	=	2−31 .
		1+ 2

Возможные характеристикислучайнойпогрешности:

•Предельная погрешность

•Интервальные (квантильные) оценка

•Оценкичисловыххарактеристикзаконараспределения

Предельная погрешность – это максимальная погрешность, которая может появиться в конкретном измерительном эксперименте. Правомерна, если существует такое значение ± max, которое ограничивает возможные значения случайнойпогрешности сдвухсторонот центрараспределения.

Квантильныеоценки:

Q1 – 25 %-наяквантиль

Q2 – 75%-наяквантиль.

[Q1, Q2] – доверительный интервал

Доверительный интервал – интервал между квантилями. Вероятность попадания случайной величины в доверительный интервал – доверительная

вероятность.

Границы доверительного интервала указывают симметрично относительно среднего арифметического значения, а половину доверительного интервала устанавливаюткратнойСКП (tS):

Доверительный интервал Доверительные границыслучайнойпогрешности= ± , :

При интервальном оценивании случайной погрешности необходимо указывать значениепринятойдоверительной вероятности:

U = (3,0 ± 0,2)В при Р = 0,95

Зависимость t от вероятности± Р того, что искомое значение измеряемой величинылежитвпределах :

P, %	38	55	68	79	87	92	95,4	98,8	99,7	99,99
t	0,50	0,75	1,00	1,25	1,50	1,75	2,00	2,50	3,00	4,00

Для оценки погрешности суммированием ее составляющих сложение числовых

оценок дисперсиипроизводят поформуле :				2	.
	=	∑ =1
Σ

Для того чтобы отдельные составляющие случайной погрешности можно было суммировать расчетным путем, они должны быть представлены своим СКП, а не предельнымиилидоверительными границами.

Методы исключения и компенсации систематических погрешностей

Исправленный результат измерения и поправки, влияющие факторы

•Неисправленный результат измерения – это значение физической величины, полученное в результате измерения до введения поправок.

•Исправленный результат измерения – это значение физической величины,

полученное в результате измерений и уточненное путем введения в него необходимых поправок.

•Поправка– это значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с целью исключения составляющих систематической погрешности:

Q=X + Ca

•Поправочный множитель – это числовой коэффициент, на который умножают неисправленный результат измерения с целью исключения влияниясистематическойпогрешности:

	Q = СмХ	−	,
Пример:	=t – tn1=+

м = 1 +Δt,∆.= ∆.

(1)

(2)

(3)

•Факторы, влияющие на систематические погрешности:

1.Объект измерения

2.Субъект измерения

3.Средства измерения

4.Методы измерения

5.Условия измерения

Объект измерения

•Долженбытьдостаточно хорошоизучен

•Чем полнее модель соответствует исследуемому объекту, тем более точные результатыизмерениймогутбытьполучены

•Модели объектовнеобходимыдажеприпростейшихизмерениях

•Необходимо добиваться разумного компромисса между полнотой и сжатостьюописанияобъекта

Субъект (экспериментатор)

•Человеческий фактор: условия проведения измерительного эксперимента, особенности средств измерений и выбранного метода измерений должны соответствовать психофизическимсвойствамивозможностямчеловека.

•Личностный фактор: Качество измерений в значительной степени зависит от профессиональной пригодности экспериментатора, его подготовки к конкретнымизмерениям,внимательности, состоянияздоровья ит.д.

Средство измерений

•Неправильнаяградуировка

•Наличиезазоров

•Потери энергииит.д.

Методы и способы измерения

•Во многих методах измерения обнаруживаются погрешности, являющиеся следствием тех или иных допущений или упрощений, применения эмпирическихформулифункциональныхзависимостей

Условия измерения

•Погрешности являются следствием внешних возмущающих воздействий (тепловыеивоздушныепотоки, магнитныеиэлектрическиеполяит.д.)

•Наибольшую опасность представляют величины, действующие непрерывно в течениепроцесса измерения.

Исключение систематических погрешностейпри планировании и выполнении измерений

•Основнаяидея: устранение источников погрешностей до начала измерений, на этапе их планирования

•Внешние влияющие факторы:

1.климатические;

2.электрические и магнитные;

3.внешние нагрузки;

4.ионизирующие излучения, газовый состав атмосферы и т.д.

Некоторые номинальные значения влияющих физических величин

Влияющаявеличина	Номинальноезначениевлияющейвеличины
Температураокружающей среды	20 °С (293 К)
Давлениеокружающего воздуха	101,3 кПа
Относительнаявлажностьвоздуха	65%
Плотностьвоздуха	1,2кг/м3
Магнитная индукция (напряженность магнитного	Соответствует характеристикам поля Земли в данном
поля)инапряженность электростатическогополя	географическомрайоне

Мероприятия по исключению влияющих факторов:

•Устранение влияниятемпературы (термостатирование)

•Устранение влияниямагнитныхполей (экранирование)

•Устранение возмущающих вибрацийисотрясений

•Выборболеесовершенныхсредствизмерения

Методы исключения систематических погрешностей

•Метод замещения – разновидность метода сравнения с мерой. Сравнение производится путем замены измеряемой величины известной величиной, воспроизводимой мерой, таким образом, чтобы воздействием известной величины привести средство измерения в то состояние, которое оно имело привоздействииизмеряемойвеличины.

Метод замещения широко используется при измерениях параметров электрическихцепей – электрического сопротивления, емкости, индуктивности.

•Метод противопоставления (перестановки) заключается в том, что из-

мерения проводят два раза, причем так, чтобы причина, вызывающая погрешность при первом измерении, оказала противоположное действие на результатвторого измерения.

MXl1 = MNl2
∆ =		1 − 1 .
Систематическаяпогрешность (принеравных плечах):
1	= 2.		:
Исключениепогрешности методомперестановки2
1 = 2.
=		.

(1)

(2)

(3)

(4)

• Метод компенсации погрешности по знаку предусматривает проведение

	измерения в два этапа, выполняемых так, чтобы постоянная систематическая
	погрешность входила в показания средства измерения на каждом этапе с
	разными знаками. Результат измерения - среднее арифметическое двух
	измерений,			при	этом	систематические			погрешности взаимно	ком-
		1	и 12	=	+ Θ;	2 = − Θ;			= 0,5 1 + 2 ,
	пенсируются:
										(1)
	Q		Q – результаты двух измерений;						– систематическая погрешность
•	Второй вариант						погрешность входит в показания средства
				: систематическая				Θ
	измерений с одинаковым знаком, но сам эксперимент ставится так, что
			1	= + Θ;		2 = − + Θ;			= 0,5 1 − 2 .	(2)
	меняетзнакискомоезначение Q, оставаясьнеизменнымпомодулю:

= 0,5 1 − 2 = 0,5[ + т −(− + т)].

•Исключение погрешности, изменяющейся по линейному закону. Если

известно, что при измерении величины постоянного размера Q0 систематическаяпогрешность изменяетсялинейнововремени,

с = At (А = const),	(1)
= 0 + .	1, и 2
топриизмерениибудетполученозначение
	(2)
Дляисключенияпогрешностидостаточновыполнитьдва наблюдения Q	Q

при фиксированных значениях времени t1 и t2 (рис. 14). Тогда искомое значе-
0 =	2−1	.	(3)
	1 2− 2 1
ниеизмеряемойвеличиныможетбытьвычисленосогласновыражению