Лекция 7

Обработка результатов измерений

Статистическая обработка многократных показаний

Главная особенность измерительного эксперимента, проводимого с использованием статистической обработки полученных данных - получение и использование большого объемаапостериорной измерительной информации.

Задачи, решаемыепристатистическойобработке:

1.оцениваниеобластинеопределенности экспериментальныхданных;

2.нахождениеболееточного усредненногорезультатаизмерения;

3.оценивание погрешности этого усредненного результата, то есть более узкой областинеопределенности.

Основной смысл усреднения многократных показаний: найденная усредненная оценка координаты их центра имеет меньшую случайную погрешность, чем отдельные показания, покоторым онанаходится.

Основныеформулы дляоценкирезультатовмногократных измерений: 1. Среднееарифметическое:

Q = 1 ∑n Qi n i=1

2. СКО (СКП) результатовединичныхпоказанийдлянормального закона:

n

∑(Qi −Q)2

S = i=1 n −1

3. СКПсреднего арифметического:
	SQ =	S
			n

4. Доверительныеграницыслучайной погрешности:

ε = ±tS

Важный момент: необходимо проверять допущение, что показания подчиняются нормальному законураспределениявероятности.

Предварительнаяоценказаконараспределения:

1. Область L = Qmax – Qmin делят наинтервалы одинаковой ширины ∆Q и определяют число показаний nK,попавших в каждыйиз полученныхинтервалов.

2. На оси абсциссоткладывают полученные показания с обозначениемграниц интервалов между ними, а по оси ординат – величинуnK /n∆Q.

3. Вероятность попадания в конкретный интервал равна nK /n

Рис. 1. Гистограммаиполигон 4. Эмпирическаяплотность распределения: pk = nK /n∆Q

Полигон - ломаная кривая, соединяющая середины верхних оснований столбцов гистограммы.

Формализованная проверка законараспределения (составной критерий): 1. ПЕРВЫЙэтап:

n

1

1

n

d =

∑

Qi −Q

∑(Qi −Q)2

n i=1

n i=1

ипроверяетсявыполнение условия

dmin < d < dmax

(dmin, dmax зависятот вероятности Р*, числапоказаний n инаходятсяпотаблицам):

n	P* =0,90		P* =0,95		P* =0,99
	dmin	dmax	dmin	dmax	dmin	dmax
11	0,7409	0,8899	0,7153	0,9073	0,6675	0,9359
16	0,7452	0,8733	0,7236	0,8884	0,6829	0,9137
21	0,7495	0,8631	0,7304	0,8768	0,6950	0,9001
26	0,7530	0,8570	0,7360	0,8686	0,7040	0,8901
31	0,7559	0,8511	0,7404	0,8625	0,7110	0,8827
36	0,7583	0,8468	0,7440	0,8578	0,7167	0,8769
41	0,7604	0,8436	0,7470	0,8540	0,7216	0,8722
46	0,7621	0,8409	0,7496	0,8508	0,7256	0,8682
51	0,7636	0,8385	0,7518	0,8481	0,7291	0,8648

2. ВТОРОЙэтап

1.n < 20: допустимо отклонение одного из независимых показаний Qi от среднего арифметического не более чем на 2,5S, где S – СКП среднего арифметического;

2.20 < n < 50: допустимо не более двух отклонений, превышающих 2,5S, что соответствует доверительной вероятности Р** = 0,98. При этом гипотеза о соответствии нормальному законупринимаетсясвероятностью

P= P * +P ** −1

3.n > 50: применяютсядругиекритерии, напримеркритерийПирсона.

4.n < 15: нельзяприменитьниодинкритерий.

Исключение промахов. Вопрос о том, содержит ли результат измерения грубую погрешность, решается путем применения определенных статистических критериев. Однимизтакихкритериевявляется«правилотрехсигм»:

если при многократном измерении одной и той же величины постоянного размера сомнительноепоказаниеотличаетсяотсреднегоарифметическогозначенияболеечемна

3S, тоесть

Qi −Q >3S

где S – СКП измерений, то с вероятностью 0,997 оно является ошибочным и может быть исключеноизполученногомассиваданных

Критерийнадеженпри n > 20.

Важно: при нормальном законе распределения вероятности результата измеренияинебольшом количестве экспериментальныхданных (n < 50) среднее арифметическое подчиняется закону распределения Стьюдента со средним значением Q. При этом доверительный интервал с уменьшением числа показаний расширяется по сравнению с нормальным законом распределения при той же доверительной вероятности. Для оценки границ доверительного интервала используется коэффициент tq (вместо коэффициента t), который зависит не только от выбранной доверительной вероятности, но и от числа показаний. Коэффициенты Стьюдента выбираются по таблицам, приведенным в справочникахпометрологии.

Оценка неисключеннойсоставляющей систематическойпогрешности:

	m
Θ = k ∑Θi2 ,			(1)
	i=1

Θi2 – граница i-й НСП; k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р = 0,95 k = 1,1); n – количествоучитываемыхсоставляющих.

Оценка соотношения межуНСП ислучайнойпогрешностью:

Θ<0,8SQ - НСПможнопренебречь
Θ >8SQ	- можнопренебречь случайнойпогрешностью
иначе:
			m	2	+ SQ2 .
		SΣ = ∑Θi						(2)
			i=1	3

Алгоритм обработки результатовизмеренийсмногократнымипоказаниями:

1.Вводятся поправки для исключения всех известных систематических эффектов.

2.Вычисляетсясреднее арифметическое исправленных показаний, а также оценка СКП.

3.При необходимости применяются критерии дляпроверки гипотезы о том, что показания принадлежат нормальному распределению.

4.Проверяется наличие грубых погрешностей и промахов. Показания, содержащие грубые погрешности, исключают из массива данных и заново повторяются вычисления, указанные в п. 2.

5.При вычислении доверительного интервала (доверительных границ случайной погрешности) при недостаточном объеме экспериментальных данных применяетсяраспределение Стьюдента

6.Оцениваются границы НСП.

7.ВычисляетсяСКП результата измерений SΣ .