Правила округления результатов измерений и значений погрешности

1.Погрешность результата измерения указывается двумязначащими цифрами, если первая из них равна 1 или2, и одной – если первая цифра 3 и более.

2.Результатизмерения округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.

3.Округление производится лишь в окончательном результате, а все предварительные вычисления проводят с одним-двумялишнимизнаками.

Недостаток: относительная погрешность от округления изменяетсяскачком:

от 0,29 к 0,3: (0,30 – 0,29)/0,30 = =3 %,		от 0,3 к 0,4: (0,4 – 0,3)/0,3 = 30 %
Способ устранения: каждую декаду возможных значений округляемой
погрешности делить на три части:
от 0,1 до 0,2 – шаг 0,02	от 0,2 до 0,5 – шаг 0,05		от 0,5 до 1,0 – шаг 0.

Разрешенные округленные значения:

0,10 – 0,12 – 0,14 – 0,16 – 0,18 – 0,20 – 0,25 – 0,30 – 0,35 – 0,40 – 0,45 – 0,50 – – 0,60 – 0,70 – 0,80 – 0,90 – 1,0.

Пример: при измерении получено значение силы тока 2,65 А.

•Если погрешность составляет ±0,06145А, то результат: I = (2,65 ± 0,06) А

•Если погрешность составляет ±0,006145А, то результат: I = (2,650 ± 0,006) А

Случайные погрешности и их вероятностное описание

Понятие случайной величины

Теория погрешностей, использующая математический аппарат теории вероятностей, основывается на аналогии между появлением случайных погрешностей при многократно повторяемых измерениях и совершением случайныхсобытий.

Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принять то илииноезначение, неизвестнозаранее – какоеименно.

Дискретная случайная величина - величина, принимающая только отделенные другот другазначения, которые можнозаранее перечислить.

Непрерывная случайная величина - величина, возможные значения которых не отделены друготдругаинепрерывнозаполняют некоторый промежуток.

При измерениях часто принимают допущение о том, что измеряемыевеличиныявляютсянепрерывными.

Либо наоборот, непрерывные величины иногда представляются как дискретные, то есть изменяющиеся равными ступенями.

Дискретные и непрерывные случайные величины

Характеристикидискретных величин

Пустьприпомощиомметрасдискретностью 1 Омполученыдесятьзначений:

26,24, 26,28, 23,24,25, 24,26,25 Ом.

или,всортированном виде:

23,24, 24,24, 25,25,26, 26,26,28 Ом.

Значениеслучайнойвеличинысучетомповторяемости:

Значение xk, Ом				23						24			25							26		27	28
Числореализаций nк				1							3			2							3	0	1
Вероятностьpк (Fк)			0,1							0,3			0,2							0,3		0	0,1
Среднееарифметическое	:∑ =1						=					10		∑ =1,		или:							(5)
̅=																							(6)
	̅=							10					=								,		(7)
				23+24 3+25 2+ +28
								∑							=
Относительная частота: k =				к								lim
												= .
F			n		/N,			причем=1				→∞

Законраспределения вероятности (PD) случайной величины - всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Ряд распределения случайной величины – простейшая форма задания PD:

X

x1

x2

x3

x4

x5

…

P

p

p

p

p

p

…

Условие нормировки:

1

2

∑ =13

= 1

4

5

(8)

Графическийвидрядараспределения:

Математическое ожидание - сумма произведений всех возможных значений

=

+

+ +

=

∑ =1

.

величинынавероятностьэтихзначений

2

1

1

2

(9)

Дисперсия - математическое

ожидание

квадрата

отклонения

случайной

= [ − ( )] =

[ − ( )]

2

.

(10)

величиныотеематематическогоожидания2.

=

∑ =1

( ).

(11)

Среднееквадратическоеотклонение

- квадратныйкореньиздисперсии:

Пример: Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, которая задаетсяцифройнаграни прибросании игральной кости:

= 1 1⁄6

+ 2 1⁄6 + 3 1⁄6 + 4 1⁄6 + 5 1⁄6 + 6 1⁄6 = 7⁄2 .

2

1

⁄

6 +

2 −3,5

2

1

⁄

6 + 3 − 3,5

2

1

⁄

6 +

4 − 3,5

2

1

⁄

6

= (1 −3,5)

+ 5 − 3,5 2

1⁄6 +

6 − 3,5 2

1⁄6 = 2,9167.

Дискретные и непрерывные случайные величины

Характеристики непрерывных величин

Непрерывная случайная величина – случайная величина, возможные значения которой образуют некоторый интервал. Для характеристики такой величины пользуются функциейраспределения (Cumulative= < distribution, 0 ≤ function≤ 1 ):

(12)

1Свойства. 1 >CDF:2: 1 > 2 2. lim ( ) = 0

→−∞

3. lim ( ) = 1

→+∞

Дифференциальный закон распределения вероятностей= ′( ). (плотность):

(13)

Условиенормированияплотности: +∞

= 1 .

−∞

Равномерное распределение:

=		2	1	1	при 1	< < 2,
			−			> 2.
	0			при < 1

Нормальное распределение:

• Аксиома симметрии:при большом числеотсчетов случайныеотклонения от среднего значения,равные по величине,но различныепо знаку, встречаются одинаково часто.

• Аксиома монотонного убыванияплотности вероятностей: чаще всего встречаются
σ	= 12	22	,	(14)
		(−)2
меньшие отклонения, а большиеотклонения встречаются тем реже, чемони больше.
̅– среднеезначение;	– среднееквадратическоеотклонение

Композиция - закон распределения суммы двух независимых случайных величин, каждаяиз которых имеет свое распределение.

Композиция	Композициянормального и
равномерных	равномерного
распределений	распределений

Распределение	Композиция
Симпсона	треугольных
	распределений

Момент – числовая характеристика свойства закона распределения случайной величины.

Начальныймомент – усредняемые значения отсчитываются от начала координат

Центральный момент– усредняемые значения отсчитываются от центра закона
распределения
Общее правилообразованияначальных моментов:
̅=				,
	∞
	−∞

Первыйначальный момент– математическое∞ ожидание (среднее значение):

̅= ( ) ,

−∞

Свойства M(x):

1.М(а) =а, а = const.

2.М(ах) = аМ(х).

3.М(х + у– z) = М(х) + М(у)– M(z).

4.М(хуz) = М(х)М(у)M(z).

5.М[х – М(х)] = 0.

Общее правило образования центральных∞ моментов:

( − ) = ( −̅) .

−∞

Второй центральный2 =момент=– дисперсия( − )2=:∫−∞∞( −̅)2 .

Свойства D(x):

1.D(a) = 0, а = const.

2.D(ax) = a2D(x).

3.D(x + y – z) = D(x) + D(y) + D(z).

4.D(x) = М(х2) – М2(х).

Мера рассеяния – СКО: = + 2.