Косвенные, совокупные и совместные измерения

При косвенных измерениях значение величины находят расчетным путем на основе результатов измерения других величин, связанных с искомой величиной известной зависимостью

Q = f (x1, x2,..., xm )

(3)

Погрешность определения величины Q зависит от погрешностей, с которыми былиопределены значениявеличин xi.

Доля отдельных погрешностей ∆xi в результирующей погрешности ∆Q может быть различной в зависимости от вида функции (3) и соотношения между собой независимыхпеременных хi. Например:

•Q = х1 + х2, причем x1 >> x2, к примеру x1 = 100x2. В этом случае погрешность 1%, допущенная при измерении х2, внесет в результат Q относительную погрешность всего 0,01 %. Такая же погрешность 1%, допущенная при измерении х1 практическиполностью войдетвпогрешность.

•Если Q = x1 5x2 , то независимо от соотношения междуx1 и х2 погрешность измерения ∆x1 полностью входит в погрешность , а погрешность ∆x2 – только 1/5 своей частью.

Метод частных производных:

∂Q = ∂f (x1, x2,..., xm ) ,

∂xi ∂xi

∆iQ = ∂Q ∆xi ∂xi

Если известно СКП Si, дляотдельных xi, то СКП соответствующих составляющих результирующей абсолютной погрешности ∆Q будут

SQ	=	∂Q Si
i		∂x
		i

Общее выражение дляпогрешности функции нескольких переменных, если погрешности xi независимы и случайны:

	m		∂Q	2
∆Q = ∑			∂x	∆xi .
	i=1		i

Особенность метода частных производных для расчета результирующей погрешности результата косвенных измерений: он правомерен только для абсолютных погрешностей.

Правила для оценки погрешностей простых функций:

Q = x1 + x2 +... + xm :

						m
				∆Q = ∑(∆xi )2
						i=1
	Q = x1x2	...xm :
			lnQ = ln x1		+ln x2		+... +ln xm

dQ	= dx1	+ dx2	+... + dxm .
Q	x	x	x
	1	2	m

δQ =δx1 +δx2 +... +δxm,

δQ = ∆Q / Q,

	δxi	= ∆xi / xi
			m
	δQ =		∑(δxi )2
			i=1

(4)

(5)

(6)

(7)

К совместным измерениям относятся проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для нахождения зависимостей междуними.

Значения искомых величин получают расчетным путем, решая систему уравнений, связывающих их с другими величинами, определяемыми посредством прямых или косвенных измерений. Измеряются несколько комбинацийзначенийвеличин.

Одним из наиболее общих способов отыскания оценок истинных значений величин, определяемых при совместных измерениях, является метод наименьших квадратов. Рассмотрим пример совместных измерений для определениялинейнойзависимости y = A+Bx.

Сумма квадратов отклонений расчетных значений аппроксимирующей функции отэкспериментальных значений должнабытьминимальной.

Результатыизмерений (xi, yi) должны удовлетворять условиям:

•Значения аргументов xi, известны точно.

•Систематические погрешности исключены, и результаты измерений yi содержат только случайные погрешности, которые независимы и имеют одинаковые СКП.

•Результатизмерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности.

Если две переменные у и х в зависимости y = A+Bx известны с абсолютной точностью, то график зависимости представляет собой наклонную прямую линию,которая пересекаетосьординатвточке А (рисунок слева).

В действительности каждая экспериментальная точка попадает в поле прямоугольника со сторонами, соответствующими границам погрешности измерения (xi, yi). Если принять допущение, что значения аргументов хi, известны точно, экспериментальные точки будут иметь отклонения от идеальной прямой тольковпределахпогрешности измерения ∆yi (рисунок справа).

Наилучшие оценки для неизвестных постоянных A и В – это те, для которых

	минимальновыражение	m	2
			[yi −(A + Bxi )]
	χ2	= ∑		(8)
			Sy2
		i=1

где Sy – СКПизмерения у.

Продифференцируем (8) по А и В и приравняем эти производные к нулю, в результате получим систему уравнений для определения А и В. Решаяее, получим выражения для расчета оценок постоянных:

	m	m	m	m			G	(9)
A = ∑xi2 ∑yi −∑xi ∑xi yi
	i=1	i=1	i=1 i=1
		m	m	m		G		(10)
	B = m∑xi yi −∑xi ∑yi

i=1 i=1 i=1

m	m	2
G = m∑xi2	− ∑xi
i=1	i=1

Результаты измерения yi подчиняются нормальному закону распределения вероятности с одинаковой СКП, которая может быть известна до начала измерениялибовычисленапорезультатамизмерения:

		1	m
	Sy2 =		∑[yi −(A + Bxi )]2.
		m −2 i=1

Оценки для А и В – это точно определенные функции измеренных значений уi. Следовательно, погрешности А и В определяют простым расчетом погрешностей вкосвенныхизмерениях,исходяизпогрешностей уi:

SA2	m	SB2 = mSy2 G.
	= Sy2 ∑xi2 G;
	i=1

При выполнении совокупных измерений одновременно производятся измерения нескольких одноименных величин, при которых искомую величину определяют решением системы уравнений, получаемых при прямых измерениях различныхсочетанийэтихвеличин.

Пример: Необходимо определить массу гирь с номинальными значениями 1, 2, 2*, 5, 10 и 20 кг (звездочкой отмечена гиря, имеющая то же самое номинальное значение).

Определение массы гири производится по одной эталонной гире, например по гире массой 1 кг. Для этого выполняют серию измерений, каждый раз меняя комбинацию гирь (цифровые индексы обозначают массу отдельных гирь, индекс «1эт» обозначает массуэталонной гири):

m1 = m1эт + a;m1 + m1эт = m2 +b;m2* = m2 +c;

m1 + m2 + m2* = m5 + d и т.д.,

где а, b, с, d – массы гирек, которые приходится прибавлять к массе гири, указанной в правой части уравнения, или отнимать от нее. Решив эту систему уравнений, можноопределитьмассукаждойгири.