бильности относительного среднего сбега. Влияние лесорастительных условий нельзя игнорировать при характеристике верхних частей стволов.

2.4. Определение объема срубленных стволов

Существуют следующие группы способов определения объема срубленного древесного ствола и его частей:

а) физические, основанные на законах физики; б) математические, использующие законы стереометрии; в) автоматизированные на ЭВМ.

К физическим способам определения объема ствола относятся ксилометрические и весовые.

Ксилометрические способы базируются на одном из законов Архимеда, согласно которому тело, погруженное в воду, вытесняет равновеликий ее объем. Для реализации этого закона были предложены особые приборы, названные ксилометрами (деревоизмерителями). Первые их конструкции были разработаны Геннертом (1782) и Рейсигом (1837). В 1846 году Гейер предложил ксилометр с постоянным уровнем воды, в котором мера вылившейся воды определяет объем погруженного тела. Р. Гартиг в 1851 году сконструировал прибор – цилиндр с переменным уровнем воды на принципе сообщающихся сосудов. В последующем были предложены и другие конструкции этих приборов.

На отмеченных ксилометрах отсчеты уровня воды по отградуированной шкале берутся до и после погружения тела в воду. Разность этих объемов дает кубатуру измеряемого предмета. Для определения объема всего ствола указанными приборами последний разрезается на несколько частей и объем каждой из них определяется в отдельности.

Весовой способ основан на соотношении между массой тела, его

	плотностью и объемом:
	V	m	,	(2.21)
		p

где V – объем ствола и его частей, м3; m – масса ствола, кг;

ρ – плотность древесины, кг/м3.

Весовой способ учета на практике применяется при невозможности определения объема древесины стереометрическими методами (перевозка дров в железнодорожных вагонах, отпуск саксауловых дров и т.п.). В этом случае плотность древесины устанавливают по ГОСТ 324388 при влажности 25/20 % и 50/33 %. Первое число из них (числитель) означает абсолютную, а второе (знаменатель) – относительную ее вели-

41

чину. В весовых единицах учитывают главным образом ценные древесные породы (самшит, грецкий орех, железное дерево и пр.).

С измерением веса древесины связан также гидростатический способ определения объема ствола, основанный на другом законе Архимеда: тело, погруженное в воду, теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная им вода. При этом способе вес древесины определяют дважды – в воздухе и в воде. Объем ее находят по формуле

V P	P ,	(2.22)
1	2

где V – объем древесины, дм3;

P1 – вес древесины в воздухе, кг; P2 – вес древесины в воде, кг.

В обоих случаях требуется достаточная быстрота замеров, чтобы избежать впитывания воды в древесину.

Стереометрические способы определения объема основаны на приближении ствола к правильным телам вращения и математическом описании кривой образующего ствола. Практически задача определения объема ствола может быть решена методами приближенных вычислений определенных интегралов с доведением результатов до требуемых величин.

Основанием для вывода математических формул для определения объема древесного ствола являются следующие положения:

1. Ствол по своей форме, по крайней мере в подкронной части, как тело вращения близок к параболоиду, образующую которого можно приближенно описать уравнением

d	2	a0 a1 l a2		l		2	a3		3	..	(2.23)
								l
Площади сечений ствола передаются подобной же связью:
g a0 a1 l a2 l			2				3		,,		(2.24)
					a3 l

где d и g – диаметр и площадь поперечного сечения ствола;

l – расстояние от шейки корня до рассматриваемого сечения; а1…а3 – некоторые постоянные коэффициенты;

2. Объем ствола длиной h можно рассматривать как сумму объемов бесконечного количества безгранично коротких отрезков длиной ∆l и площадью сечения g.

Объем элементарного		отрезка				принимается								цилиндрическим:
Vэ = g∙∆l.
Следовательно, объем всего ствола
h			a l			a	2	l 2		a	3	l 3
V g l l a0			1											.	(2.25)
								3				4
0		2
42

По числу замеров на стволах и достижимой точности формулы определения объема ствола подразделяются на простые, упрощенные и сложные.

Простые формулы определения объема ствола. При выводе про-

стых формул ствол рассматривается как единое тело вращения. Если измерить сечение ствола у его основания g0 и на расстоянии l от шейки корня gl , то, подставив их значения в уравнение (2.25), можно определить объем хлыста по формуле

g		0	g	l
V l					. .
			2

Для всего ствола формула приобретает вид

V 0,5 g0 h .

(2.26)

(2.27)

За рубежом этот способ называют простой формулой Смальяна, а в нашей стране – способом определения объема ствола по длине и среднему сечению.

Подставляя значение нижнего g0 и среднего gl/2 сечений ствола в алгоритм (2.25), получают другую формулу объема:

V g1/ 2 h , или V h .

(2.28)

Она носит название объема ствола по длине и срединному сечению и была внедрена в практику лесной таксации с первых ее шагов (Костнер, 1758; Гартиг, 1817; Губер, 1825). Однако до сих пор за границей (иногда в отечественной литературе) эту формулу неправомочно называют формулой Губера.

Поперечные сечения могут быть взяты на расстояниях 1/3 и l от шейки корня ствола. Аналогичными действиями в этом случае выводится простая формула Госфельда определения объема ствола:

V 3 g	g			h	.	(2.29)
		l
1/ 3			4

Для получения более точного результата, на стволе могут быть взяты три сечения: нижнее g0 , среднее gl/2 и верхнее. В этом случае решением уравнения (2.25) является простая формула Ньютона:

V g		4 g			h	.	(2.30)
	0		l
				6

В практику таксации леса ее впервые внедрил немецкий лесовод Рикке. Поэтому ее называют простой формулой объема ствола Ньюто- на-Рикке. Как показал Ф. Холл (1890), она представляет, по существу, комбинацию формул объема по срединному и среднему сечениям:

	1	g		0	g	l
V							l 2 h .	(2.31)
	3				2

43

В таксации леса в последующем было предложено значительное число других формул нахождения объема ствола по различным его сечениям. Однако они не нашли применения в лесохозяйственной практике и не внесли существенно нового в теорию вопроса.

Недостатки простых формул объема ствола следующие:

1.Простая формула среднего сечения для правильных тел вращения

вобщем виде имеет вид

V g0 h . r 1

Поэтому выведенная для ствола формула

V 0,5 g0 h

оказывается справедливой лишь для квадратного параболоида (r = 1). К тому же площадь основания ствола берется в области корневых наплывов. Поэтому способ дает систематическое преувеличение объема до 50…100 %. Для устранения этого недостатка предлагалось брать сечения ствола на 0,2 и 0,8 его длины. Однако и при этом не исключаются теоретические недостатки формулы.

2. В общем виде простая формула срединного сечения для правильных тел вращения имеет вид

V h	2r	.
	r 1

Следовательно, формула ствола V h справедлива лишь для ци-

линдра (r = 0) и квадратного параболоида (r = 1). Это видно из следующей зависимости процентов ошибок PV в объемах тел вращения от показателей r формы кривой:

r		0		0,66		0,75	1,0		1,5		2,0	3,0
PV		0		4,8		3,9	0		-13,1		-33,3	-100
Для	древесных			стволов		наилучшие		результаты			(PV в	пределах

± 2…3%) по анализируемой формуле достигаются при q2 = 0,70 и высоте ствола 20…25 м. При меньших значениях q2 и h получаются систематически заниженные (до – 36 %), а при больших – завышенные (до 14 %) результаты. У сбежистых стволов проценты ошибок с увеличением высоты снижаются падают, а у малосбежистых – возрастают. При изменении величины q2 на 0,01 проценты ошибок в объемах стволов состав-

ляют 1,5…1,8 %.

3. При укорочении ствола на определенную длину вершины вновь вычисляемый по формуле срединного сечения его объем изменяется от истинного на величину

44

P	2 P	P ,
V	d	l

где ∆РV – процент изменения объема ствола от истинного;

Рd – процент увеличения нового срединного диаметра хлыста по сравнению с фактическим его значением на стволе;

Рl – процент длины отбрасываемой вершины в измеряемом хлысте. Указанное изменение объема, по исследованиям разных авторов,

происходит в пределах 0,9…7,8 %.

4.Простая формула Госфельда определения объема ствола теоретически применима к большинству правильных тел вращения. Лишь при использовании ее к нейлонду (r = 3) результаты оказываются приуменьшенными на – 11 %.

5.Простая формула Ньютона-Рикке определения объема ствола по отношению к правильным телам вращения выступает в качестве универсальной.

Однако образующая древесного ствола в различных частях обычно отклоняется от законов стереометрии. К сказанному добавляется наличие закомелистости и местных ненормальностей в замеряемых сечениях ствола. Все это ведет к тем или иным погрешностям в нахождении объемов стволов при практическом применении любых достоверных простых формул.

6.Простую формулу вычисления объема ствола по среднему сечению нельзя смешивать со способом определения его по средним диаметрам этих сечений:

		d		0	d	l	2
V		l						,	(2.32)
	4				2

известным еще в XVIII веке. Она справедлива лишь для цилиндра и квадратного параболоида. Для стволов отклонения в объемах достигают недопустимых величин (– 28…– 36 %).

Упрощенные формулы определения объема ствола. В ХIХ веке акад. П.Л. Чебышев предложил оригинальный принцип упрощенного нахождения объемов отдельных стволов. Согласно этому подходу, измеряемые симметричные сечения устанавливают в зависимости от их числа на следующих относительных высотах дерева:

n = 2	0,21	0,79
n = 3	0,15	0,50	0,85
n = 4	0,10	0,41	0,59	0,90
n = 5	0,08	0,31	0,50	0,69	0,92
n = 6	0,07	0,29	0,37	0,63	0,71	0,93.

На основе этого принципа П.Д. Козицын (1895) выдвинул две формулы упрощенного определения объема ствола:

45

V 0,5236 D	S	n	h ;				S	n		2
				V						h ,	(2.33)
0	n				4		n

где D0 – диаметр основания ствола;

Sn = Σdn – сумма диаметров на измеряемых сечениях; n – число отрезков ствола;

h – высота ствола.

Втаком виде способ показывает систематическое приуменьшение результатов, составляющее -18…-25 %.

Впоследующем Чебышев придал указанным формулам более правильный вид:

	V	gn	h ,	(2.34)
		n

где Σgn – сумма площадей сечений на замеряемых точках.

В таком выражении погрешность способа составляет, в зависимости от числа сечений, лишь – 0,7…5,4 %.

Проф. Н.В. Третьяков (1915) пришел к выводу, что в нижней половине ствола сосредоточено около 80 % объема древесины и поэтому преимущественное значение в формулах объема следует придать диаметрам, приходящимся на эту зону. Он предложил следующую упрощенную формулу определения объема ствола:

V 0,5795 h d1	d1 d2 ,		(2.35)

где h – высота ствола;

d1 и d2 – диаметры на ¼ и ½ высотах ствола, м. Точность этого способа – в пределах 3…5 %.

Б.А. Шустов (1932) придал формуле определения объема ствола по двум диаметрам вид

V 0,534 d	d	2	h 0,53 d 2	q	2	h.	(2.36)
1,3			1,3

А.Н. Карпов (1933) нашел, что в формуле (37) постоянный коэффициент 0,53 приобретает различные значения зависимости от q2 деревьев:

q2	0,60	0,65	0,70	0,75	0,80
K	0,53	0,54	0,55	0,56	0,57

Точность рассматриваемого способа аналогична формуле Третьяко-

ва (2.35).

Сложные формулы определения объема ствола. По сравнению с целым древесным стволом отдельные его части более приближаются к

46

правильным телам вращения, что значительно облегчает определение их объемов.

Сложными формулами объема называют такие, для применения которых таксируемый ствол разделяют на равные секции (длиной в 1…2 м или в 0,1 высоты) и на вершинную часть. Измерения диаметров производят в каждой из них. Общий объем ствола при этом получают как сумму величин отмеченных отрезков:

Vств V1 V2 V3 ... Vn Vвер ,

(2.37)

где V1 ,V2, V3 …Vn – объемы соответствующих секций ствола; Vвер – объем вершинной части ствола.

Исследования Н.В. Третьякова (1915) показали, что погрешность, допущенная при определении объема вершины, лишь незначительно отразится на объеме всего ствола. Так, для правильных тел вращения относительная доля вершины передается формулой

	l		вер	r 1
P 100					,	(2.38)
V			h

где РV – относительная доля объема вершины в общем объеме ствола; lвер – длина вершины;

h – общая высота ствола.

Даже при погрешности вершины в 20 % и ее длине в 0,5h ошибки в общем объеме ствола составляют: 6,3 % при r = 2/3; 5,0 % при r = 1;

2,5 % при r = 2; 1,2 % при r = 3.

Обычно длина вершины значительно меньше и погрешности в определении ее объема редко достигают указанных величин. Поэтому точность определения объема вершины не имеет большого значения и его находят упрощенно по формуле конуса:

V	g2n lвер	,	(2.39)
вер	3

где g2n – площадь основания вершины на последней секции ствола; lвер = h - l m – длина вершины ствола;

l– длина секций;

m– число выделяемых секций ствола.

Сложная формула объема ствола по длине и срединным сечениям имеет вид

V					...	2n1	l	g2n lвер	,	(2.40)
		1		3
ств							3

где γ1, γ3 … γ2n-1 – площади поперечных сечений посредине выделяемых секций ствола.

47

Объем ствола по сложной формуле по длине и средним сечениям определяется алгоритмом

g		0	g	2n					g2n lвер		(2.41)
Vств					g2 g4	... g2n 2		l		,
			2						3

где g0 – площадь нижнего сечения ствола;

g2, g4,… g2n-2 – площади верхних сечений выделяемых секций ствола, кончая предпоследней.

По сложной формуле Госфельда объем ствола находится по уравнению

V	g		g		... g		3 P	P	... P		l		g2n lвер	,	(2.42)
		2		4		2n
ств							1	2	n		4	3

где Р1, Р2,… Рn – площади сечений на 1/3 длины основания каждой секции.

Наконец, сложная формула объема ствола Ньютона-Рикке имеет вид

V	g		g		2 g		g		... g		4				...			l		g2n lвер	, (2.43)
ств		0		2n		2		4		2n 2		1		3		2n 1	6		3

Если же ln = h, то g2n = 0 и вершинная часть входит в число секций. Для нее отдельный объем по формуле конуса не вычисляют.

Погрешности всех отмеченных сложных формул определения объема ствола одинаковы. Предельная ошибка по ним достигает ±3 %, а средняя равна ± 1 %. Однако наиболее проста формула (41). По многим исследованиям, точность ее зависит от количества замеряемых на стволах секций, правильности конфигурации площадей сечений, точности измерения диаметров и ряда других факторов.

При повышенных требованиях к результатам определения объема число замеряемых секций на стволе, по исследованиям проф. М.Л. Дворецкого (1964), должно быть принято не менее 10…12 шт.

Автоматизированные способы определения объема древесного ствола и его частей на ПК в настоящее время находят применение в науке и производстве.

В качестве примера автоматизации расчета объема ствола рассмотрим работу комплекса программ «Автоматизация расчетов по результатам измерений на пробной площади» (Черных, 2000, 2004).

Интерфейс программ показан на рис. 2.4. Комплекс предназначен для ввода, контроля, корректировки входной информации по модельным деревьям на пробной площади, выполнения расчетов таксационной характеристики модельных деревьев, элементов леса и ярусов.

48

Рис. 2.4. Интерфейс комплекса программ «Автоматизация расчетов по результатам измерений на пробной площади»

По результатам расчета формируются базы данных и текстовые файлы, а также формируются файлы исходных данных.

По каждому модельному дереву рассчитываются показатели объемов стволов в коре, без коры, «n» лет назад, дается характеристика товарности дерева в абсолютных и относительных единицах по категории-

			ПП № 5.		Модель № 37.				Порода -		10 - С
Результаты измерений									Результаты расчета
H	Дв/к	Тк	Zd						Объемы, м3
1,3	28,3	2,0	1,6		Vв/к = 0.6303			Vб/к = 0.5670				Va-n = 0.4748
0,0	36,0	4,6	2,2					Объемы в процентах, %
1,0	29,2	2,0	1,8		Pдел = 71.34		Pтех = 18.97				Pтоп = 0.38 Pотх = 9.31
3,0	25,5	1,8	1,0					Прирост по объему, м3:
5,0	24,0	1,6	1,2		Текущий = 0.00923					Средний = 0.00788
7,0	22,7	0,6	1,4						Приросты, %:
9,0	22,3	0,4	2,2		PZvтек	PZvсред			D		H	G	K
11,0	18,5	0,4	1,8		1.63	1.39			0.57	0.84		1.25	1.25
13,0	15,0	0,4	2,6						Видовые числа
15,0	12,5	0,3	1,8		Fвкс = 0.4210			Fбкс = 0.4386				Fвкн = 0.5122 Fбкн =
17,0	10,7	0,2	3,0					Коэффициенты формы
19,0	6,4	0,2	3,6		q0 = 1.2721		q1 = 0.8462			q2 = 0.5994			q3 = 0.3255
									Классы формы
					q0.25 = 0.7083			q0.5 = 0.5430			q0.75 = 0.3846

Рис. 2.5. Результаты расчета по модельному дереву сосны №37 и пробной площади № 5 (фрагмент)

49