4.7. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры

Возникает естественный вопрос, а нельзя ли для применения формулы (4.2) выбрать в качестве полюса точку, скорость которой равна в данный момент времени нулю. Это позволило бы свести рассмотрение плоскопараллельного движения к вращательному движению вокруг такого полюса (на основании п. 4.4 этот полюс будет мгновенным центром вращения).

Определение: Точка, неизменно связанная с плоскостью фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю, называется мгновенным центром скоростей.

Теорема существования мгновенного центра скоростей: Мгновенный центр скоростей существует, если в рассматриваемый момент времени плоская фигура не совершает поступательного движения.

Доказательство: Пусть известна скорость и угловая скоростьплоской фигуры в данный момент времени (рис. 29).

Рис. 29

Восстановим в точке B перпендикуляр к направлению скорости и направим его в ту сторону, чтобы направление поворота отк этому перпендикуляру совпадало с направлением вращения плоской фигуры. На перпендикуляре найдем точку Р^v, положение которой определяется расстоянием:

. (4.5)

На основании соотношения (4.2) можно записать:

.

Так как модуль скорости , то после подстановки соотношения0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000(4.5) модуль скорости примет вид:

Следовательно (рис. 29),

и тогда ,

т.е. точка Р^v – мгновенный центр скоростей и мгновенный центр вращения.

Можно показать, что эта точка является единственной при всяком непоступательном движении плоской фигуры.

4.8. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей

Определим скорости точек плоской фигуры В и D на основании формулы (4.2), выбрав в качестве полюса мгновенный центр скоростей Р^v:

, .

Так как , то,, поэтому для скоростей точек плоской фигуры В и D получим:

т.е. скорость любой точки плоской фигуры в данный момент времени представляет собой скорость вследствие вращательного движения плоской фигуры вокруг мгновенного центра скоростей, который является и мгновенным центром вращения (рис. 30).

Найдем зависимость между скоростями точек плоской фигуры в рассматриваемый момент времени, используя тот факт, что угловая скорость плоской фигуры одинакова для всех точек плоской фигуры в каждый момент времени:

, (4.6) или . (4.7)

Рис. 30

Модули скоростей точек плоской фигуры в каждый момент времени пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра скоростей.

Для того чтобы определить скорости точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей, необходимо сначала найти положение мгновенного центра скоростей.

4.9. Способы определения положения мгновенного центра скоростей плоской фигуры

Существует несколько способов определения положения мгновенного центра скоростей:

4.9.1. Если плоская фигура катится без скольжения и проскальзывания по неподвижной поверхности, тогда мгновенный центр лежит в точке соприкосновения фигуры и неподвижной поверхности (рис. 31).

Рис. 31

4.9.2. Если известны в данный момент времени непараллельные прямые, по которым направлены скорости двух точек плоской фигуры В и D, то мгновенный центр скоростей плоской фигуры определяется как точка пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках плоской фигуры D и В к этим прямым (рис. 32).

Рис. 32

4.9.3. Если известны в данный момент времени скорости точек плоской фигуры В и D, которые параллельны между собой и при этом лежат на общем перпендикуляре к скоростям этих точек, то мгновенный центр скоростей плоской фигуры определяется как точка пересечения прямых, проведенных через начала и концы векторов скоростей инезависимо от того направлены они в одну или разные стороны (рис. 33).

Если (равны по величине и совпадают по направлению), то мгновенный центр скоростей будет находиться в бесконечности и, т.е. плоская фигура совершает мгновенное поступательное движение.

Рис. 33

4.9.4. Если скорости точек плоской фигуры В и D параллельны и не перпендикулярны к ВD в данный момент времени, то мгновенный центр скоростей плоской фигуры находится в бесконечности, т.е. плоская фигура совершает мгновенное поступательное движение и скорости всех ее точек равны (рис. 34).

Рис. 34