4.10. Теорема об ускорениях точек плоской фигуры

Продифференцируем соотношение (4.2) по времени:

,

тогда

. (4.8)

Здесь – касательная составляющая ускорения,

–нормальная составляющая ускорения,

–ускорение точки В вследствие вращательного движения плоской фигуры относительно полюса D. Теорема: Ускорение точки плоской фигуры равняется геометрической сумме ускорения точки, выбранной в качестве полюса и ускорения этой точки вследствие вращательного движения плоской фигуры относительно полюса.

Соотношение (4.8) изображено на рис. 35 для различных направлений углового ускорения.

Рис. 35

На основании формул (3.14) и (3.15) получим:

, следовательно,

, . (4.9)

Примечание

Формула (4.8) может быть использована для определения ускорений точек, если ввести аналогично мгновенному центру скоростей понятие мгновенного центра ускорений P^w (=0), который в общем случае не совпадает с мгновенным центром скоростей.

Решение задач по определению ускорений точек плоской фигуры с помощью теоремы об ускорениях точек плоской фигуры чаще оказывается более удобным.

4.11. Аналитический метод рассмотрения движения плоской фигуры

На рис. 36 изображены:

–неподвижная система координат;

D – полюс, В – произвольная точка плоской фигуры;

Dху – подвижная система координат, жестко связанная с плоской фигурой.

Рис. 36

Положение плоской фигуры в любой момент времени будет определено, если известны координаты полюса D и уголмежду осямииDх (это и будут обобщенные координаты плоскопараллельного движения НМС):

(4.10)

Уравнения (4.10) называются уравнениями плоскопараллельного движения.

Зная уравнения (4.10), можно аналитическим путем найти все кинематические характеристики движения точек плоской фигуры.

Перепишем соотношение (4.1):

.

Обозначим через ,координаты точки В плоской фигуры в неподвижной системе координат, а через х_В, у_В координаты той же точки в подвижной системе (х_В, у_В – величины постоянные в подвижной системе координат, но разные для различных точек плоской фигуры).

Спроектируем соотношение (4.1) на оси и(рис. 36):

(4.11)

Уравнения (4.11) определяют закон движения точки В плоской фигуры относительно неподвижной системы координат , одновременно они будут уравнениями траектории точки В плоской фигуры в параметрической форме с параметром t.

Взяв производную по времени от соотношений (4.11), с учетом того, что от времени не зависят, можно определить скорость и ускорение точки В плоской фигуры. Первая и вторая производные по времени от угла, координатдают соответственно угловые скорость и ускорение плоской фигуры:и составляющие скоростей и ускорений точек В иD плоской фигуры:

Кроме формул (4.11), для аналитического определения скорости точки плоской фигуры может быть использована формула (4.2):

. (4.12)

Введя единичные вектора неподвижных осей , можно представить соотношение (4.12) в виде:

(4.13)

Проектируя выражение (4.13) на неподвижные оси и, получим:

(4.14)

Аналогично для аналитического определения ускорения МТ плоской фигуры, кроме формул (4.11), может быть использована формула (4.8):

. (4.15)

Соотношение (4.15), используя представление векторного произведения через определитель, имеет вид:

Проектируя это выражение на неподвижные оси и, получим:

(4.16)