5. Конечное вероятностное пространство

Пусть производится некоторый опыт (испытание), который имеет конечное число исходов В этом случае пространство элементарных событий- конечное пространство,алгебра событий, состоящая из всехподмножеств множества.

Каждому элементарному событию ставим в соответствие число, которое называется «вероятностью элементарного события », другими словами зададим начисловую функцию, удовлетворяющую двум условиям:

1.Условие неотрицательности:для любого

2. Условие нормированности:.

Вероятность для любого подмножестваопределим

(),

т.е. вероятностью. событияназовём сумму вероятностей элементарных событий,

составляющих событие. Ввёденная таким образом вероятность удовлетворяет аксиомам Колмогорова (А1-А3)

=,

если, т.е.и два несовместных события.

Таким способом определённая тройка - естьконечное вероятностное пространство, называемое «дискретным вероятностным пространством».

Частным случаем определения вероятности () являетсяклассическое определение

вероятности, когда все исходы опыта равновозможные

согласно условию нормированности

.

Тогда равенство () примет вид:

,

где здесь число случаев, благоприятствующих появлению событияА, т.е. в равенстве

Тема 4. Теорема суммы вероятностей, формула полной системы событий, условная вероятность, теорема умножения вероятностей

1. Теорема суммы вероятностей

Как уже было отмечено неоднократно, вероятность суммы двух несовместных событий определяется аксиомой А3, поэтому выводится следующее утверждение.

Теорема 1.Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

.

Доказательство. Пустьобщее число возможных элементарных исходов испытания;число исходов, благоприятствующих событиючисло исходов, благоприятствующих событию. Ввиду независимости рассмариваемых событий общее число благоприятствующих исходов равно сумме этих событий, т.е.. Следовательно,

.

Утверждение доказано.

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого из них, равна сумме вероятностей этих событий:

(1) .

Доказательство. Обозначим буквойсобытие:. По условию событиеиявляются несовместными. Тогда по теореме 1 получим:. Далее, проводя аналогичные рассуждения, для величиныпослепоследовательных шагов рассуждения, получим полное доказательство равенства (1).

Следствие 2.Сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий, равна единице, т.е.

(2) .

Доказательство. Так как для полной группы событий выполняется равенство, следовательно, тогда применяя равенство (1) с учётом свойства аддитивности вероятности получим непосредственно справедливость равенства (2).

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице

(3) .

Доказательство формулы (3) непосредственно вытекает из того, что противоположные события образуют полную группу событий, т.е. .

Замечание 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена числом, то вероятность другого события обозначают числом. Следовательно, в силу теоремы 1 получим равенство

Замечание 2.При решении задач на нахождения вероятности событыячасто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, затем найти искомую вероятность по формуле

Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение:Появление цветного шара означает появление красного или синего.

Пусть выражает появление красного шара,– появление синего шара. Тогда,, т.к. событияАиВнесовместны, то теорема сложения вероятностей применима, и искомая вероятность равна:

.

Пример 2.Стрелок стреляет по мишени разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую равна 0,35. Найти вероятность того, что стрелок попадает либо в первую, либо во вторую область.

Решение:СобытияА - стрелок попал в первую область, событиеВ- стрелок попал во вторую область, эти события несовместимы (т.к. попадание в одну область исключает попадание в другую, при одном испытании), следовательно теорема сложения в данном случае применима. Искомая вероятность равна:Р (А+В) = 0,45+0,35=0,8.

Пример 3. На Павлодарском заводе выпущены 65% всех имеющихся в крестьянском хозяйстве области тракторов. Требуется найти вероятность того, что выбранный трактор

окажется не произведенным на Павлодарском заводе.

Решение: Вероятность противоположного события ,поэтому

= 1 - 0,65 = 0,35.

_{Пример 4. В ящике имеется n деталей, из которых m стандартных. Найти вероятность того, что среди k наудачу извлечённых деталей (событые A) есть хотя бы одна стандартная.}

_{Решение. События «среди извлечённых деталей есть хотя бы одна стандартная» и «среди извлечённых деталей нет ни одной стандартной» являются противоположными.}

_{Следовательно,}

Найдём вероятность противоположного события . Общее число способов, которыми можно извлечьдеталей средидеталей, равно. Число нестандартных деталей равноиз этого числа можноспособами извлечьнестандартных деталей. В связи с этим вероятность того, что среди извлечённыхдеталей нет ни одной стандартной, равна

.

Следовательно, искомая вероятность равна

.

Теорема 2 (совместность двух событий).Вероятность появления хотя бы одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий, без вероятности их совместного появления, т.е.

(4) .

Доказательство.Так как сумму любых двух событий можно представить в виде двух несовместных событий, то представим суммуив виде суммы двух несовместных событий равенствами:. Тогда;Отсюда легко следует наше утверждение. См схему (рис.9)

Рис. 9

Аналогичные формулы можно выписать для суммы трёх и более числа произвольных событий. Приведём формулу для трёхсобытий:

.

Справедливость последнего равенства более наглядно поясняется схемой Эйлера-Венна.

Рис.10.

Замечание. Можно проще определить вероятность суммы нескольких совместных событий. Пусть, тогда, используем равенство, где согласно закону де Моргана (см. свойства операций над событиями) событиепротивооложно событию.

Пример 5. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность появления хотя бы одной пятёрки?

Решение. Пусть обозначает событие - «появление хотя бы одной петёрки на первой кости», -«появление хотя бы одной петёрки на второй кости». Тогда событиеобозначает событие - «пояление хотя бы одной пятёрки при бросании костей». Событияисовместные. По формуле (4) находим

.

Предложим ещё один способ решения этой задачи. По закону де Моргана . Находим величину, гдепротивоположно к событыю. Следовательно,.