Тема 6. Предельные теоремы в схеме Бернулли,

формула Пуассона, локальная и интегральная

теоремы Муавра – Лапласа

В предыдущем разделе мы видели, что формулой Бернулли, пользоваться при больших значениях n и достаточно трудоёмко, поскольку требуется выполнения действий над громоздкими числами. Так, в примере, где общее число испытанийчисло наступления некоторого событияв этом испытании равнопри этом каждый раз с вероятностью, тогда формула Бернулли принимает вид

Подсчитать этот результат практически невозможно. Или в другом примере возникает аналогичная ситуация, где весьма проблематично применение точной формулы Бернулли.

Пример 1. Предположим, что в некотором химическом складе имеется два сосудаи, каждый объёмом ви в каждом из них содержится помолекул газа. Сосуды приведены в соприкосновение так, что между ними происходит свободний обмен молекулами, но отсутствует общения с внешней средой.

Найти вероятность того, что по истечению некоторого времени в одном из сосудов число молекул будет отличаться от числа молекул в другом как минимум на одну десятимиллиардную часть?

Решение. Заметим, что общее число молекул в сосудах равно. Для каждой молекулы вероятности того, что оказаться в одном из определённом сосуде одинаково, поэтому она равна.

Таким образом, как бы производится испытаний, в каждом из которых вероятность попасть в сосудравна. Обозначим черезчисло молекул, попавших в сосуд, следовательно,число молекул, попавших в сосуд.

Нам нужно найти вероятность того, что

Другими словами, нужно найти вероятность

.

Согласно теореме сложения , где сумма распространена на те значения, для которых

Рассмотренные примеры показывают, что при решении конкретных задач возникают задачи, требующие приближенного вычисления величин или.

Вычисление вызывает также затруднения при малых значенияхи. Возникает необходимость в отыскании приближенных формул для подсчета величины, обеспечивающих необходимую точность. Такие формулы дают нам предельные теоремы. Они содержат так называемыеасимптотические формулы, которые при больших количествах испытаний дают сколь угодно малую относительную погрешность. Именно, одной из таких формул является предельная формула Пуассона.

1. Предельная теорема Пуассона

Пусть производится по схеме Бернулли серия из n испытаний. Вероятность появления события А, в каждом испытании ; причём когда, –зависит от номера испытания.Такая последовательность называетсяпоследовательностью редких событий.При этом, если число испытаний неограниченно увеличивается () и вероятность наступления события в каждом испытании неограниченно уменьшается(), но так, что их произведение является постоянной величиной (.

Тогда вероятность удовлетворяет предельному равенству

(1)

Выражение (1) называется асимптотической формулой Пуассона.

Доказательство. Преобразуем формулу Бернулли с учётом того, чтои

имеем

.

В обеих частях последнего выражения устремим , и с учётом равенства

(второй замечательный предел),

а также принимая во внимание того, что mфиксировано, следовательно, выполняется предельное равенство

то в итоге получим

(2) .

Из предельного равенства (2) для достаточно больших значений и малых вытекает, что справедлива приближённая формула

(3) .

Формула Пуассона часто применяется в теории массового обслуживания. Нас интересует оценка вероятности того или иного события числа успехов, когда оно само по себе являетсяредким событием. Примерами таких событий могут служить: рождение близнецов, опечатки в книгах, достижение столетнего возраста, рождение великого учёного, выдающего целителя (например, Абу Али Ибн Сино), появление великого писателя, крупного спортивного достижения и т.д.

Замечание. Для полноты изложения докажем, что сумма вероятностей числа появления события в независимых испытаниях, вычисленных по закону Пуассона, равна единице.

Предполагается, испытание проводится бесконечное количество раз.

Действительно. На основании формулы Пуассона (3) имеем

Используем известное разложение функции в ряд Тейлора-Маклорейна

Поскольку, этот ряд сходится при любом значении поэтому, положивполучим

Найдём искомую сумму вероятностей учитывая, чтоне зависит оти можно вынести за знак суммы:

Распределение Пуассона является важным примером, когда испытание проводится бесконечное (но счётное) количество раз, образует полную группу событий.

Рассмотрим несколько примеров на применение формулы Пуассона.

Пример 2. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 непригодных изделия для использования.

Решение. По условиям задачи

Следовательно, по формуле Пуассона имеем

Пример 3. Некоторая фирма в г. Астану отправила некую свою готовую продукцию (компьютера) в количестве 1500 единиц. Вероятность того, что одна единица этой продукции в пути приходит в негодность, равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути приходит в негодность не более 4-х отправленной продукции.

Решение. Искомая вероятность равна

Так как , то Тогда вероятность событиясогласно формуле Пуассона равна

_{Пример 4. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна p = 0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью P не меньшей, чем 0,95?}

_{Решение. По условию вероятность выигрыша мала, а число билетов, которое нужно купить, очевидно, что должно быть велико. Поэтому случайное число выигрышных билетов имеет приближённо распределение Пуассона. Воспользуемся, тем что события «ни один билет из купленных билетов не является выигрышным» и «хотя бы один билет - выигрышный» являются противоположными. Поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:}

В формуле Пуассона получим,Следовательно,По условию,или

(4)

По таблице значений функции находимУчитывая, что функцияприубывающая функция, заключаем, что неравенство (4) выполняется приСледовательно, приТаким образом, надо купить не менее 300 билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них.

Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

1. (Дни рождения). Какова вероятность того, что вВУЗе из 500 студентов ровноиз них родились 1 сентября?

Если эти 500 человек выбраны случайно, то можно применить схему из 500 испытаний Бернулли с вероятностью успеха Для пуассоновского приближения положимТеоретически биномиальные вероятности и их пассоновские приближения имеют вид:

Берн. вер. :

Пуасс. вер.

2. Если равно среднему число вызовов обонентов, поступающих за один час на данную телефонную станцию, то число вызовов, поступающих за одну минуту, приближенно распределится по закону Пуассона, при этом.

Из предельной теоремы Пуассона вытекают следующие приближённые формулы

Исследование вопроса о точности этих приближенных формул показывают, что (которые сформулируем без доказательства) имеет место неравенство

(4) ,

где любое подмножество:.

В частности, для одноэлементного множества (т.е. если состоит из одного числа ), то

(5) .

Обратим на замечательное свойство предельной формулы (2), чтобы найти вероятность того, или иного числа успехов, вовсе не требуется знать ни , ниВсе определяется в конечном счёте числомкак средним число успехов. Для выражения , рассмариваемая как функция двух переменныхи, составлена таблица значений, она приведена в конце книги в приложение.