4. Теоретические задачи.

Задача 1. (О расчёте надёжности электрических цепей).Пусть дана некоторая цепь элементов, которые соединены между собой последовательно или параллельно. К примеру, рассмотрим цепь вида:

Из чертежа видно элементы {1;2} соединены параллельно, а элементы {3;4} соединены последовательно. Предположим, что все элементы выходят из строя независимо друг от друга. Какова вероятность того, что вся цепь выйдет из строя, т.е. через неё не пойдет ток?

Решение. Сначала нужно рассчитать вероятности отказа элементарных цепей{1;2}и{3;4}.

Обозначим события {выход из строя элементаk;k=1,2,3,4}. Тогда. Элементарная цепь (1) выходит из строя, когда событияинаступают одновременно. Следовательно, вероятность событияP(цепь {1,2}выходит из строя) с учётом теоремы умножения, равна

Элементарная цепь вида (2) выходит из строя, когда наступает либо событие либо

Следовательно, вероятность этого события цепь {3,4} выходит из строя) с учётом теоремы сложения равна

.

Далее, нашу сложную цепь можно упростить с помощью, так называемого способа «укрупнения». Элементарные цепи рассматриваем как новые элементы (в рис.3 они выделены пунктирными линиями), вероятности отказа которых мы уже знаем: это числа и. Но упрощенная цепь будет снова вида {1,2}, т.е. параллельное соединение как в (1) , см. рис.4., и вероятность её отказа будет равна:

В последней формуле задавая значения вероятностей можно получать различные выводы (при соответствующих задачах и условий для цепей) , в том числе вероятность стабильного функционирования электрической цепи.

Замечание.Методом «последовательного укрупнения схем» можно рассматривать вероятности отказа любых цепей, если вероятности отказов элементов известны.

Задача2. В ящике имеютсябелых ичёрных шаров. Шары тшательно перемешаны.

Из ящика наудачу извлекаются сразу два шара. Какова вероятность того, оба шара белые (событие С)?

Эта задача была решена в разделе классического определения вероятностей (задача о шарах). Тогда была применён комбинаторный подход с последующим применением классического определения вероятности. Здесь, при решении этой задачи применяем формулу произведения вероятностей.

Решение. Взять наудачу два шара сразу или сначала взять один шар, а потом другой - это одно и то же, ведь руку можно не вынимать из ящика, когда берётся один шар, а затем берётся другой. События {оба шара белые} и {1-й шар белый и второй шар белый} совпадают. Поэтому достаточно вычислить вероятности второго события, которое представимо в виде прозведения событий {1-й шар белый},{2-й шар белый}. Легко видеть, что

Кроме того,

потому, что событие уже произошло и в ящике осталсяшар, среди которыхбелых, вероятность снова извлечь белый шар будет равна.

Теперь воспользуемся формулой произведения вероятностей:

Выбирая параметры иили, меняя соответствующим образом условия задачи, мы можем рассматривать много различных частных случаев этой задачи, встречающие в других практических вопросах.