3. Формула для геометрического закона распределения вероятности

Рассмотрим следующий опыт: пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность наступления события равнаи, следовательно, вероятность его непоявления равна. Испытания завершается, как только появится первый раз событие. Таким образом, если событиепоявиться вм испытании, то оно в предшествующихиспытаниях не появилось.

Пусть случайная величина, число испытаний, которое нужно провести по схеме Бернулли до первого появления события . Из контекста следует, что возможными значениями являются натуральные числа: . Предположим, что в первыхиспытаниях событие не наступило, а в м испытании наступило. Вероятность этого «сложного события» по теореме умножения вероятностей независимых событий, определяется так называемой формулой геометрического закона вероятности случайного события

(6) .

Полагая в равенстве (6) получаем последовательность чисел, образующих убывающую геометрическую прогрессию с начальным членом и знаменателем .

(7)

По этой причине равенство (6), называется формулой геометрического распределения вероятности.

Очевидно, что числовая последовательность (7) как числовой ряд сходится и сумма его равна единице:

(8) , (т.к.).

т.е. последовательность событий:

(9)

образуют полную группу событий. Этим обстоятельством (т.е. предельным равенством (8)) мы будем пользоваться в последующих разделах.

Пример 8. Из орудия проводится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания расчёта в цель равна 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена при третьем выстреле.

Решение. По условию . Искомая вероятность согласно формуле геометрического распределения равна

.

Замечание. Следует отметить, что формула геометрического закона вероятности является частным случаем так называемого распределения Паскаля, которое задаётся формулой

(10)

где целое число.

Для случая последнее равенство совпадает с геометрическим распределением, а при- совпадает с распределением суммы независимых случайных величин, каждый из которых, имеют геометрическое распределение. При этом оно описывает число опытов в схеме Бернулли, необходимых для того, чтобы получить значение единицы ровнораз.

Распределение Паскаля имеет приложение к статистике повторных нежелательных случаев: неудачи в опыте, заболеваний, несчастных случаев и т.д.

Следует кратко напомнить ещё об одной формуле вероятности закона для случайных событий.

4. Формула для гиппергеометрического закона

распределения вероятности

Рассмотрим следующую задачу: в урне шаров, из нихбелых, а остальные чёрные. Из урны извлекается шаров. Требуется найти вероятность того, что среди извлечённых шаров будет равно белых (остальные чёрные). Следовательно, величиначисло белых шаров среди извлечённых шаров.

Говорят, что случайная величина имеетгипергеометрическое распределение вероятностей, если она принимает значения с вероятностями

(11)

где натуральные числа.

Для иллюстрации такого распределения вероятностей рассмотрим следующий пример.

Пример 9. В коробке находятся 12 белых и 8 чёрных шаров. Найти вероятность того, что среди наугад вынутых 5 шаров 3 из них окажутся чёрными?

Решение. Выбрать 5 шаров из 20 можно различными способами (все выборки – неупорядоченные подмножества, состоящее из 5 элементов), определим число случаев, благоприятствующих событию (среди 5 извлечённых шаров 3 из них окажется черными). Число способов выбрать 3 черных шара из 8, находящихся в урне, равно. Каждому такому выбору соответствуетспособов выбора 2-х белых шаров из 12 белых шаров в урне. Следовательно, имеем.

Согласно формуле (11) , получим

.