- •Инновационный евразийский университет
- •Кафедра «Математика и информатика» Инновационный евразийский университет
- •Содержание (нужно разбить на главы после завершения)
- •Глава 1 Случайные события и их вероятности
- •Тема 1. Случайные события
- •1. Понятие испытаний, события
- •2. Виды случайных событий, пространство элементарных событий
- •3.Теоретико-множественная трактовка, алгебра событий
- •1. ;
- •Тема 2. Элементы комбинаторики и применение
- •1. Правило суммы и произведения.
- •2. Размещение с повторениями
- •3. Размещения без повторений, перестановки, подстановки
- •4. Cочетания, бином Ньютона
- •Тема 3. Определение вероятности, относительная частота, аксиоматическое определение вероятности
- •1. Классическое определение вероятности
- •2. Статистическое определение вероятности
- •3. Геометрическое определение вероятности
- •4. Аксиоматическое определение вероятности
- •5. Конечное вероятностное пространство
- •Тема 4. Теорема суммы вероятностей, формула полной системы событий, условная вероятность, теорема умножения вероятностей
- •2. Теорема умножения вероятностей
- •3. Применение комбинаторики к подсчёту вероятностей
- •4. Теоретические задачи.
- •5. Принцип практической невозможности маловероятных событий
- •Тема 5. Формула полной вероятности, вероятности гипотез,
- •1. Формула полной вероятности (фпв)
- •2. Вероятность гипотез (формулы Байеса).
- •3. Повторные испытания, схема Бернулли
- •4. Наиболее вероятностное число успехов
- •Тема 6. Предельные теоремы в схеме Бернулли,
- •1. Предельная теорема Пуассона
- •2. Простейший поток событий
- •3. Формула для геометрического закона распределения вероятности
- •5. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •6. Интегральная теорема Муавра - Лапласа
2. Теорема умножения вероятностей
Наступление одного события (скажем)может повлиять на возможность наступления другого события . Для характеристикизависимости одних событий от другихвводится понятиеусловной (относительной) вероятности.
Определение. Вероятность события, вычисленная при условии, что уже произошло событие , называется условной вероятностью события и обозначается
(5) или.
Замечание. Вероятность каждого событияв данном испытании связана с наличием заданного комплекса условий. При определении условной вероятности предполагается, что в этот комплекс условий обязательно входит и событие. Таким образом, мы фактически имеем другой комплекс условий, соответствующий испытанию в новой обстановке. Вероятностьпоявления событияпри этих новых условиях называется его условной вероятностью, в отличие от вероятности, которая может быть названа безусловной вероятностью события.
Аналогично, определяется условная вероятность события, вычисленная при условии, что произошло событие , называется условной вероятностью событияи обозначается:
(6) или.
Например.В урне имеются 7 белых и 3 цветных шара. Какова вероятность появления:
1) извлечение белого шара из урны (событие )
2) извлечение цветного шара из урны (событие )
3) извлечение цветного шара из урны после удаления белого шара (событие )
4) извлечение белого шара из урны после удаления белого шара (событие )
5) извлечение цветного шара из урны после удаления цветного шара (событие )
6) извлечение белого шара из урны после удаления цветного шара (событие )
Решение.В урне имеются 7 белых и 3 цветных шара.
Вероятность появления белого шара при одной выборке , а цветного.
Пусть выбранный шар (событие А) оказался белым. Тогда после первого произведенного испытания вероятность появления цветного шара (событие) условная вероятность событияравна
,
т.е. условная вероятность наступления события увеличилась.
Аналогично вычисляются вероятности остальных событий. (Вычислите самостоятельно)
На практике часто бывает увеличение условной вероятности наступления события, а также уменьшение условной вероятности. В нашем примере, если бы первоначально выбранный шар оказался цветным, то вероятность наступления событие имело бы условную вероятность, т.е. условная вероятность наступления событияуменьшилась.
Следует заметить, что условная вероятность удовлетворяет аксиомам Колмогорова:
если . Поэтому для условной вероятности справедливы все следствия (свойства) из аксиом, полученные ранее в пункте 3.
Вероятность произведения событий, независимость событий.
Теорема умножения вероятностей.Вероятность произведения (совмещения) двух событийиравна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило. Эти формулы записываются в форме равенств
(7) .
или имеют место равносильные равенства
,;,.
Доказательство. Проведём для одного из случаев, другое рассматривается также. Пусть событиюблагоприятствуютравновозможных элементарных исходов, а событиюблагоприятствуютравновозможных элементарных исходов из общего количества. Тогда
(8)
Но если событие произошло, то в этой ситуации возможны лишь теэлементарных исходов, которые благоприятствовали поялению событии, причём,из них, очевидно, благоприятствуют событию. Следовательно, согласно определению
Отсюда на основании (8) и определении условной вероятности (см. формулу (5)), имеем
Так как то равенства (7) доказаны.
Равенства (7) называются правилом илитеоремой умножения вероятностей. Это правило обобщается на случай событий
=
В частности, для трёх событий формула имеет вид
(9)
Пример 1. В урне находится 4 белых, 3синих и 2 чёрных шара. Наудачу последовательно вынимают три шара. Какова вероятность того, что 1-й шар белый, 2-й синий, 3-й – чёрный.
Решение. Введём следующие события: интересующее событие Согласно правилам умножения вероятностей первым извлекли белый шар, вторым – синий,
третьим будет чёрный шар. Тогда
Но
Следовательно, перемножая полученных значений, имеем .
Событие иВ называется взаимно- независимыми, если появление события А, не зависит от события В, то и появление события В не зависит от события А.
Тогда имеют место равенства и .
Равенства (7)для независимых событий принимает вид
Несколько событий называют независимыми в совокупности (или простонезависыми), если независимы каждое два из них и независимы каждое событие и всевозможные произведения остальных. Например, если событиянезависимы в совокупности, то независимы событияииииии. Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, того что наступили какие – либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности.
Таким образом, вытекает из попарной независимости событий;(любые два из них взаимно - независимы) не следует их независимость в совокупности (обратное верно!), т.е. требованиенезависимости событий в совокупности сильнее, чем требование их попарной независимости. Для пояснения сказанного рассмотрим следующий пример.
Пример 2. Производится выбор (наудачу) флага из 4-х, имеющихся цветов в наличии:
красного, голубого, белого и трёхцветного (красно-бело- голубого). Исследвать на независимость события, если соответственно обозначим события:
К - выбранный флаг имеет красный цвет;
Г - выбранный флаг имеет голубой цвет;
Б - выбранный флаг имеет белый цвет;
К- красно-бело-голубого цвета.
Возможных исходов выбора всего 4; из них событию К благоприятствуют два исхода (красный цвет имеется у двух флагов). Поэтому . Аналогично находим, что
Событиям:;иблагоприятствуют всего по одному исходу. Поэтомуто события К и Г независимы. Аналогично убеждаемся в независимости событий К и Б; Б . Следовательно, события К , Г, Б попарно независимы. По условию задачи с одной стороны
(из четырёх возможных случаев только один флаг благоприятствует).
С другой стороны на основании теоремы умножения имеем:
Таким образом, полученные разные значения (противоречие) показывает, что события К , Г и Б не являются независимыми в совокупности.
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
(10)
Пример 3.В двух ящиках имеются по 12 деталей. В одном ящике 8, а в другом 9 стандартных деталей. Из каждого ящика вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что: а) вынутые детали будут стандартными; б) что одна деталь стандартная, а другая – нет.
Решение:А– событие, что деталь из первого ящика стандартная, В – событие, что деталь из второго ящика стандартная. Тогда
а) ,.
Так как события АиВнезависимые, то
.
б) С– событие, что одна деталь стандартная, а другая – нет, то
и
Пример 4.В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором – черный, и при третьем – синий.
Решение:Пусть событиеА- появление белого шара,В- появление черного шара,
С- появление синего шара. Тогда. Вероятность появления черного шара во втором испытании, при условии, что в первом испытании выпал белый шар, т.е. условная вероятность равна:. Вероятность появления синего шара в третьем испытании, при условии, что в первом испытании выпал белый шар, а во втором черный, т.е. условная вероятность равна:. Таким образом, искомая вероятность равна:
(5/12)·(4/11)·(3/10)=1/22.
(из четырёх возможных случаев только один флаг благоприятствует).
Приведём одну классическую задачу на применении теорем сложения и умножения вероятностей.
Задача о разорении игрока. Рассмотрим игру в «орлянку», когда игрок выбирает «герб» или «решетку», после чего бросается монета. Если выпадёт сторона монеты, названная игроком, то он выигрывает, получая 1 руб., в противном случае столько же он проигрывает. Предполагается, что начальный капитал игрока составляет руб. и игрок ставил себе целью довести свой капитал доруб.,. Игра продолжается до тех пор, пока, либо игрок наберёт заранее определённую суммуy, которую он наметил, либо разорится, проиграв весь имеющийся у него капитал. Какова вероятность того, что игрок разорится?
Решение. Введём обозначения событий {игрок выиграл на первом шаге},{игрок проиграл на первом шаге},{игрок разорится, имея начальный капиталруб.}. Обозначим черезискомую вероятность, очевидно, эта вероятность определена для любого, а также. Поскольку монета симметрична, тоЕсли наступает событие, то капитал игрока стал, а если наступает событие, то капитал игрока стал. После этого можно считать, что игра начинается снова и согласно принятому обозначениюгде- любое число, . Посколькуи событияинесовместны, то по формуле сложения вероятностей
Применяя формулу умножения вероятностей, получим
Это в силу принятых обозначений даёт следующее рекуррентное уравнение для вероятностей :
Известно, что решением этого уравнения является только линейная функция где- произвольные коэффициенты. Эти коэффициенты можно определить, пользуясь граничными условиями, подставляя их в выражение длязначенияи.Имеем . Откуда следует, что и значит,
В частности, если игрок желает увеличить свой вклад до () , то вероятность такого пожелания игрока равна.
Задача (Де Мере). Ещё в ХVIIвеке Шевалье Де Мере задался вопросом: какая сумма очков имеет больше шансов выпасть при бросании двух игральных костей. Число(событые) или(событие)? Сумму 11 могут составить лишь два числа; 5 и 6, а сумму 12 тоже два числа, 6 и 6. На первый взгляд шансы у этих событий равны. Так ли это?
Решение.Будем считать игральные кости различные. Пусть (мысленно) одна будет красной, а другая – жёлтой. Согласно правилу кобинаторики, различные комбинаций очков на разноцветных костях всего возможно. Из них для наступления первого событияблагоприятствует два элементарных события, а для наступления событиявсего одно элементарное событие. Таким образом, вероятность. Поэтому,, т.е. шансов наступления событиев два раза больше по сравнению с шансов наступления событие.
В завершении этого раздела остановимся несколько подробно о практической невозможности маловероятных событий.