1. ;

2. ;

3.

Решение: Расшифруем каждого из трёх случаев

1.А+В- в цель попал либо первыйАлибо второйВстрелок или оба стрелка.

2.АВС- в цель попали все три стрелка.

3.АВ+АС+ВС- в цель попали либо первый и второй стрелки, либо первый и третий стрелки, либо второй и третий стрелки.

Разностью событийи ( обозначается(или )называется такое множество, которое содержит элементы событияА, не принадлежащие событиюВ.

рис.3

Говорят, что событие влечёт за собой событие(обозначается), если каждый элементы событие содержится в . (см. рис.3).

По определению невозможного события имеет место , для любого .

Определения суммы и произведения событий справедливы для трех и более событий.

Невозможное событие будет обозначать , а достоверное.

Операции над событиями обладают следующими свойствами (аналогичные свойствам указанных операций над множествами):

1.

2.

3.

4.

5.

.

6.

и (законы де Моргана).

Для проверки вышеуказанных свойств событий хорошо применяется графический метод (схема Эйлера-Вена иллюстрации к событиям). Рекомендуем в качестве самостоятельной работы проверить свойства операций над событиями. Отметим ещё некоторые тривиальные свойства операции над событиями:

Если для элементарных событий выполнены условия и,то говорят, что эти события образуютполную группу элементарных событий.

Полную группу событий образуют, любое событие и его противоположное:.

В случае несчётного пространствав качестве событий рассматривается не все подмножества, а лишь некоторые классы этих подмножеств, называемыеалгебрамии -алгебрамимножеств.

Класс полученное (образованное) из подмножеств пространства_, называетсяалгеброй множеств (событий), если выполнены одновременно следующие требования:

1.

2. Из того, чтовытекает, что;

3. Из,вытекает, что;

Алгебру событий образует, например, система подмножеств Действительно, в результате применения любой из вышеприведённых операций к любым элементам классаснова получается элемент данного класса: .

При расширении операций сложения и умножения на случай счётного множества алгебра множества называется - алгеброй,если из того, что следует следующие предельные свойства:

.

Для этого достаточно выполнения одного из этих условий. Также отметим, что если пространство элементарных событий конечно или счетное, то множество всех подмножеств образует алгебру.

Замечание. Ввиду того, что имеется прямое сходство операций над множествами и над событиями, поэтому все основные аналоги свойства операций над множествами без существенных изменений имеют место и для множества событий.

Используя выше приведённые действия над множествами, можно доказать новые и весьма полезные утверждения. Здесь мы приведём одно из них, а именно для любых двух событий иимеет место утверждение.

Сумму любых двух событий можно представить в виде суммы двух несовместных событий.

Действительно, имеем

.

Геометрическое доказательство рассматриваемого свойства можно изобразить по схеме Эйлера-Венна в виде равенства двух картинок. Выполните чертёж.