Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова. Кафедра физики

Концепции современного естествознания (Материалы для самостоятельной работы студентов)

Семинары: Тема 3. Законы электромагнетизма и выводы теории относительности (с. 29 – 30)

Электромагнитные явления играют важнейшую роль в жизни каждого человека, а их широкое использование – основа всех достижений современной цивилизации. Все химические (в том числе и биохимические) процессы происходят в результате электромагнитного взаимодействия атомов и молекул. Развитие техники и применение самых разнообразных технологических процессов были бы невозможны без массового производства, передачи, сохранения и преобразования электрической энергии. Около 90% всей информации об окружающем мире человек получает через электромагнитные волны (свет, радиоволны). Создание законченной теории электромагнетизма в форме уравнений Максвелла (классической электродинамики) показало единство электрических, магнитных и световых явлений и послужило необходимой предпосылкой для последующего создания теории относительности и более глубокого понимания природы света и процессов в микромире, утвердило понятие физического поля как определяющего фактора всех взаимодействий в природе (концепция дальнодействия).

Законы электромагнетизма были установлены в конце XVIII в. и в первой половине XIX в.

Закон Кулона определяет силу взаимодействия F электрических зарядов q₁ и q₂ (F = kq₁q₂/r², где r – расстояние между зарядами и k – коэффициент, зависящий от выбора единиц измерений). Эта сила в равной степени действует на оба заряда (согласно третьему закону Ньютона) вдоль соединяющей их прямой, при этом одноименные заряда отталкиваются друг от друга, а разноименные притягиваются. Если определять электрическую силу через вектор напряженности электрического поля Е, порождаемого одним зарядом, которое действует на другой (F = qE), то из закона Кулона можно вывести первое уравнение Максвелла, которое определяется пространственную структуру вектора Е в зависимости от плотности порождающего это поле электрического заряда.

Закон Био-Савара-Лапласа определяет направление и величину вектора магнитной индукции В, порождаемого элементом электрического тока (вектор элемент тока есть произведение силы тока на вектор элемента длины). Из него следует второе уравнение Максвелла, которое показывает, что линии магнитной индукции всегда замкнуты в пространстве, охватывая линии тока, и что отдельных магнитных зарядов в природе не существует (по крайней мере они до сих пор не найдены).

Закон Ампера определяет величину и направление магнитной силы, с которой вектор В действует на электрический ток или движущийся заряд (по правилу векторного произведения).

Закон электромагнитной индукции(установлен М. Фарадеем и независимо Дж. Генри) показывает, что изменение магнитного поля во времени порождает вокруг линий магнитной индукциивихревое(круговое) электрическое поле. Из него следуеттретье уравнение Максвелла, показывающее, что источником электрического поля (и соответственно тока) могут быть не только электрические заряды, но и переменное во времени магнитное поле. После открытия этого закона началось быстрое развитие электротехники.

Закон полного тока (из него следует четвертое уравнение Максвелла) показывает, что магнитное поле порождается не только движущимися зарядами (токами проводимости, в соответствии с законом Био-Савара-Лапласа), но и током смещения (термин введен Дж. Максвеллом), который пропорционален изменению во времени электрического поля.

Из уравнений Максвелла следует, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать отдельно от породивших их электрических зарядов и токов, распространяясь в пространстве в виде электромагнитных волн произвольной частоты, при этом скорость их распространения, как показывает опыт, равна скорости света. Существование этих волн было подтверждено в 1888 г. в опытах Г. Герца, а после осуществления первых радиопередач в 1895 г. А. Поповым и Г. Маркони началось быстрое развитие радиотехники, а затем и телевидения. В настоящее время в науке и технике используется весь спектр (по частотам) электромагнитных колебаний и волн, начиная от радиоволн до рентгеновского и гамма-излучения.

Специальная теория относительности (СТО, или теория единого пространства-времени без учета сил тяго-тения) основывается на двух постулатах, подтверждаемых опытами: 1) принципе относительности о незави-симости физических процессов от постоянной скорости системы отсчета и 2) принципе постоянства скорости света (она одинакова во всех инерциальных системах отсчета). Из конечности скорости света (максимальной скорости передачи любых физических взаимодействий и скорости движения материальных тел) следует относительный характер результатов измерений пространственных и временных интервалов для движущихся тел, а также одновременности двух событий в различных системах отсчета. При этом принцип причинности, т. е. порядок следования событий во времени не нарушается (причина предшествует следствию в любой системе отсчета). По результатам измерений неподвижного наблюдателя для движущихся тел течение времени замедляется и размеры тел в направлении движения сокращаются. Однако эти реляти-вистские эффекты становятся заметными только для очень больших скоростей, близких к скорости света.

Но наиболее важный вывод СТО – возможность превращения массы в энергию и наоборот. Любая масса m содержит в себе энергию покоя Е₀ = mc² (c – скорость света). При очень сильных взаимодействиях (частиц внутри атомных ядер и в ядерных реакциях) закон сохранения массы нарушается, но остается в силе закон сохранения полной энергии (с учетом ее изменения при изменении массы Е = mc²). На этом эффекте основано получение энергии при использовании ядерных процессов (атомное оружие и атомные электростанции). При рождении пары частица-античастица масса рождается из энергии, а при их аннигиляции масса полностью исчезает. Следует также подчеркнуть, что сегодня ни один опыт не противоречит выводам СТО.

Общая теория относительности (ОТО, или релятивистская теория тяготения) основана на принципе эквивалентности (локальной неразличимости) сил тяготения и сил инерции, что подтверждается состоянием невесомости для свободно падающих тел. Из ОТО следует, что любая масса искривляет пространство и замедляет течение времени около себя. Степень этого искривления и замедления для точечной или шарообразной массы m определяется безразмерным потенциалом поля тяготения  = Gm/rc², где G – гравитационная постоянная, r – расстояние от центра тяготения, с – скорость света. В сильном поле тяготения (при очень большой концентрации массы в малом объеме, когда   1) закон всемирного тяготения становится неприменимым и для описания физических явлений в этих условиях необходимо использовать уравнения ОТО (уравнения Эйнштейна). Из них в частности следует существование таких явлений, как гравитационные линзы, черные дыры, нестационарность (расширение) нашей Вселенной и др.

Примеры решения задач.

Задача 3.1. Ускоритель дает пучок протонов с кинетической энергией 10 ГэВ. Какую долю скорости света составляет скорость протонов в пучке?

Решение и ответ. Так как кинетическая энергия протонов Е_К больше их энергии покоя (Е₀ = 0,938 ГэВ), то для расчета скорости необходимо применять формулу теории относительности: Е_К = ( – 1)Е₀, где  (релятивистский фактор) = 1/(1 – ²),  = v/c. После алгебраических преобразований получим ² = (1 + Е_К/Е₀)² и  = (1 – 1/²). Подставляя числовые значения и произведя вычисления, находим  = 0,405. Применение для вычисления скорости формулы классической механики (Е_К = mv²/2) даст заведомо неправильный результат, так как при этом скорость протонов получится больше скорости света, что невозможно.

Задача 3.2. Мюоны (нестабильные лептоны), которые получили на ускорителе кинетическую энергию в 11 раз больше их энергии покоя, удерживались магнитным полем на круговой орбите в течение свыше 150 мкс. Рассчитать их среднее время жизни с учетом релятивистского замедления времени, если для неподвижных (медленных) мюонов оно составляет 2,2 мкс.

Решение и ответ. Релятивистский фактор для ускоренных мюонов (см. решение предыдущей задачи) равен  = 1 + Е_К/Е₀ = 12. Поэтому среднее время жизни, согласно формуле теории относительности для замедления течения времени у движущихся тел, равно 2,212 = 26,4 мкс. Такой опыт был проведен в 1974 г. на ускорителе в ЦЕРНе (Европейский центр по ядерным исследованиям в Швейцарии) и полученное время жизни ускоренных мюонов в пределах ошибок опыта совпало с рассчитанным результатом, что подтвердило на опыте так называемый «парадокс близнецов». Отметим также, что современные ускорители, у которых энергия частиц сравнима или превышает энергию покоя, не смогли бы работать без учета при их проектировании выводов теории относительности.

Задача 3.3. Вычислить среднюю плотность вещества и безразмерный гравитационный потенциал на поверхности нейтронной звезды, у которой радиус равен 10 км и масса равна массе Солнца (2.10³⁰ кг).

Решение и ответ. 1) Используя формулу для объема шара, находим для средней плотности вещества нейтронной звезды:  = m/V = 3m/4r³. Подстановка заданных значений дает для плотности величину:  = 4,8.10¹⁷ кг/м³, что соответствует плотности атомных ядер.

2) Применяя формулу для безразмерного гравитационного потенциала ( = Gm/rc²), после подстановки заданных значений и вычислений получим:  = 0,15. Эта величина свидетельствует о заметном искривлении пространства и замедлении хода часов у поверхности нейтронной звезды.

Задача 3.4. Во сколько раз электростатическое притяжение протона и электрона по закону Кулона больше их гравитационного притяжения по закону всемирного тяготения?

Решение и ответ.Отношение силыF_элэлектростатического притяжения протона и электрона по закону Кулона к силеF_грих взаимного притяжения по закону всемирного тяготения на любом расстоянии между ними равноke²/Gm², гдеk – коэффициент, зависящий от выбора единиц измерений (в СИk = 9.10⁹Н.м²/Кл²),G= 6,67.10^-11Н.м²/кг²– гравитационная постоянная,e – элементарный электрический заряд,m_pиm_е– соответственно массы протона и электрона (e= 1,6.10^-19Кл,m_p= 1,67.10^-27 кг,m_е= 0,911.10^-30кг). Подставляя эти значения в формулу для отношения сил, находимF_эл/F_гр= 2,3.10³⁹. Эта огромная величина для отношения фундаментальных сил природы до сих пор не имеет объяснений в физике. Отметим также, что она близка к квадрату отношения диаметра Солнца (размер типичной звезды) к диаметру атома водорода.

***