Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова. Кафедра физики

Концепции современного естествознания (Материалы для самостоятельной работы студентов)

Семинары: Тема5. Концепции молекулярно-кинетической теории. Цикл и теорема Карно (с. 33 – 34)

Молекулярно-кинетическая теория газов основана на предположении о беспорядочном (тепловом) движении атомов (молекул) газа, которые произвольным образом изменяют направление своего движения и величину скорости при столкновениях между собой и стенками сосуда. В состоянии термодинамического равновесия (в том числе и с окружающей средой) устанавливается максвелловское распределение молекул газа по скоростям и больцмановское распределение концентрации молекул в пространстве, при этом средняя по ансамблю кинетическая энергия поступательного движения молекул (без учета других степеней свободы) определяет абсолютную (термодинамическую) температуру Т газа по формуле <E_K> = 3kT/2, где k – постоянная Больцмана (k = 1,38.10^-23 Дж/К).

Из уравнения состояния идеального газа (у которого пренебрегается потенциальной энергией взаимодействия молекул газа между собой), т. е. из уравнения Клапейрона-Менделеева, следуют все известные газовые законы и формулы для различных термодинамических характеристик газа (теплоемкости, энтропии и др.). Для реальных газов (у которых нельзя пренебречь конечным объемом молекул и межмолекулярным взаимодействием) эти законы и формулы выполняются приближенно, более точно – при низких давлениях и высоких температурах, вдали от критического состояния.

Закон Бойля-Мариотта (Р. Бойль, 1662 г., независимо Э. Мариотт, 1676 г.): объем данной массы газа при постоянной температуре обратно пропорционален его давлению (pV = const), определяет изотермический процесс в газе.

Закон Шарля (Ж. Шарль, 1787 г.): давление данной массы газа при постоянном обьеме пропорционально его температуре (p  T), определяет изохорный процесс в газе.

Закон Гей-Люссака (Ж. Гей-Люссак, 1802 г., независимо Дж. Дальтон, 1801 г.): объем данной массы газа при постоянном давлении пропорционален его температуре (V  T), определяет изобарный процесс в газе.

Закон Дальтона (Дж. Дальтон, 1801 г.): давление в смеси газов равно сумме парциальных давлений газов, составляющих смесь (парциальным называется такое давление одного из газов, входящих в состав смеси, которое оказывал бы этот газ, находясь один в данном объеме).

Закон Авогадро (А. Авогадро, 1811 г.): при одинаковых температурах и давлениях в равных объемах газов содержится одинаковое число молекул, или один моль любого из веществ в газообразном состоянии при одинаковых температурах и давлениях занимает вполне определенных объем.

Моль – количество вещества, которое содержит столько же структурных элементов (атомов, молекул и др.), сколько атомов содержится в 12 г изотопа углерода ¹²С, и равное постоянной (числу) Авогадро N_A = 6,02.10²³ 1/моль. Через постоянную Авогадро определяется атомная единица массы: 1 а.е.м. = (10^-3 кг.моль^-1)/N_A = 1,66.10^-27 кг и универсальная газовая постоянная R, входящая в уравнение Клапейрона-Менделеева (R = kN_A = 8,31 Дж/(моль.К)).

Цикл Карно и теорема Карно.

Любая циклическая тепловая машина, получив за цикл некоторое количество теплоты Q₁ и совершив работу А, должна отдать оставшееся неотработанным тепло Q₂ охладителю (во многих случаях это окружающий воздух), при этом коэффициент полезного действия (КПД) машины, в соответствии с первым законом термодинамики, равен  = A/Q₁ = (Q₁ – Q₂)/Q₁ = 1 – Q₂/Q₁. КПД тепловой машины не может достигать 100% (т. е. всегда Q₂  0), поскольку это запрещает второй закон термодинамики. С. Карно (1824 г.) показал, что минимальные потери тепла и следовательно максимальный КПД будет иметь тепловая машина, работающая по идеальному циклу Карно.

Цикл Карно – обратимый круговой процесс, состоящий из двух изотермических и двух адиабатных процессов (адиабатным, или изоэнтропийным называется процесс, при котором система не получает и не отдает тепло). Вначале рабочее вещество приводят в тепловой контакт с нагревателем, имеющим температуру Т₁, затем оно изотермически расширяется, получая от нагревателя теплоту Q₁. После этого рабочее вещество адиабатно расширяется с охлаждением до температуры охладителя Т₂. Затем устанавливают тепловой контакт с охладителем и изотермически сжимают рабочее вещество, отбирая у него неиспользованное количество теплоты Q₂. Завершает цикл адиабатное сжатие рабочего вещества (с нагреванием), возвращая его в исходное состояние. При этом полная работа за цикл равна разности положительной работы рабочего вещества при расширении и затраченной работы на сжатие рабочего вещества при возвращении его в исходное состояние.

Теорема Карно: КПД тепловой машины, в которой используется цикл Карно, равен _К = (Т₁ – Т₂)/Т₁ = 1 – Т₂/Т₁, т. е. зависит только от абсолютных температур нагревателя и охладителя и не зависит от природы рабочего вещества и устройства машины, при этом КПД любого другого цикла тепловой машины не может превышать _К, если он осуществляется при тех же температурах нагревателя и охладителя.

Таким образом, для повышения КПД тепловой машины надо повышать температуру нагревателя или понижать температуру охладителя.

В 1848 г. У. Томсон (лорд Кельвин) показал, что, используя теорему Карно, можно построить абсолютную термодинамическую шкалу температур, которая не зависит от свойств термометрического вещества и устройства термометра. В 1954 г. на десятой Генеральной конференции по мерам и весам было установлено построение абсолютной температуры по тройной точке воды, которая принимается равной 273,16 К (точно). Из второго закона термодинамики также следует, что абсолютная термодинамическая температура не может принимать отрицательных значений, т. е. существует абсолютный нуль температуры (0 К), и то, что охладить тело ниже абсолютного нуля невозможно. В квантовой статистике возможны неравновесные состояния системы с формально отрицательной температурой (напр., в лазерах), что не противоречит термодинамике, которая определяет температуру лишь для термодинамически равновесных состояний.

Примеры решения задач.

Задача 5.1. Сколько примерно молекул поглощает человек, выпивая 100 г воды?

Решение и ответ. Один моль воды имеет массу 18 г и содержит 6,02.10²³ молекул (постоянная Авогадро). Следовательно, выпивая 100 г. воды, человек поглощает 100.6,02.10²³/18 = 3,3.10²⁴ молекул.

Задача 5.2. Вычислить плотность воздуха при нормальных условиях, считая его идеальным газом. Во сколь-ко раз плотность воздуха зимой (при температуре –15 С) больше плотности воздуха летом (при +25 С)?

Решение и ответ. 1) Из уравнения Клапейрона-Менделеева находим=m/V=p/RT, где– молярная масса воздуха равная 29.10^-3кг/моль,R– универсальная газовая постоянная (8,31 Дж/(моль.К)),pиТ– давление и температура воздуха. При нормальных условиях (по определению)p= 1,01.10⁵Па,Т= 273 К. Подставляя указанные значения в формулу для плотности, получим= 1,29 кг/м³. 2) Из формулы для плотности следует₁/₂=T₂/T₁, где индексы 1 и 2 относятся к значениям плотности и температуры соответственно зимой и летом. Подставляя значения температуры (в кельвинах!), находим₁/₂= (273 +25)/(273 – 15) = 1,16, т. е. зимний воздух плотней летнего на 16%.

Задача 5.3.Вычислить среднеквадратичную (тепловую) скорость молекул воздуха при температуре +20 С.

Решение и ответ. Среднеквадратичная скорость определяется из условия, что средняя кинетическая энергия молекул <E> =m<v>²/2 выражается через абсолютную температуру <E> = 3kT/2, гдеm– масса молекулы иk– постоянная Больцмана. В свою очередь, масса молекулы определяется из молярной массы и постоянной Авогадроm=/N_A. Таким образом, <v> =(3RT/), где учтено, чтоkN_A=R. ПриТ= (273 + 20) К = 293 К получим <v> =3.8,31.293/29.10^-3= 500 м/с, что сравнимо со скоростью пули.

Задача 5.4.Вычислить (в процентах) КПД цикла Карно для паровоза при температуре нагревателя +100С и температуре охладителя +20С. Что выгоднее для увеличения КПД – повысить температуру нагревателя на 20С или же понизить температуру охладителя на те же 20С ?

Решение и ответ. 1) КПД цикла Карно при заданных значениях температуры равен (1 – 293/373).100% = 21%. 2) При повышении температуры нагревателя КПД станет равным (1 – 293/393).100% = 25%, а при соответствующем понижении температуры охладителя получим (1 – 273/373).100% = 27%. Таким образом, понижение температуры охладителя более выгодно.

***