Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова. Кафедра физики

Концепции современного естествознания (Материалы для самостоятельной работы студентов)

Семинары: Тема 6. Строение атомов. Закон радиоактивного распада (с. 35 – 36)

Атом – наименьшая частица химического элемента, состоит из положительно заряженного атомного ядра и отрицательно заряженных электронов, число которых определяет порядковый номер элементов в Периодической системе Менделеева и равно числу протонов в ядре; размеры атомов по порядку величины равны (10^-10 – 10^-9) м, массы определяются числом нуклонов (протонов и нейтронов) в ядре; в свободном состоянии атомы могут существовать в газах, в связанном состоянии они входят в состав жидких и твердых тел, а также молекул различных веществ, соединяясь химически с атомами того же элемента или других элементов.

Атомное ядро – составная часть атома с объемом много меньше объема атома, но массой, почти равной массе всего атома состоит из протонов и нейтронов (общее название нуклоны); диаметры атомных ядер по порядку величины равны (10^-15 – 10^-14) м.

Изотопы – разновидности атомов одного и того же химического элемента, ядра которых имеют одинаковое число протонов, но различное число нейтронов, напр., протий, дейтерий и тритий – изотопы водорода. Сегодня известно около 2140 различных изотопов, из них только 260 стабильных.

Атомная единица массы (а.е.м) часто применяется для измерения масс молекул, атомов и субатомных частиц, равна 1/12 части массы атома изотопа углерод-12, или 1,66.10^-27 кг. Масса протона m_p = 1,67265.10^-27 кг = 1,00728 а.е.м.; масса нейтрона m_n = 1,67495.10^-27 кг = 1,00866 а.е.м.; масса электрона m_e = 0,911.10^-30 кг = 5,4858.10^-4 а.е.м. Таким образом, отношение m_p/m_e = 1836, что не имеет объяснения в современной физике.

Структура электронной облака вокруг ядра определяется решением уравнения Шредингера, которое описывает взаимодействие электронов с ядром, и принципом Паули (в одном состоянии может находится только один электрон). Состояние электрона в атоме определяется четырьмя квантовыми числами, которые принимают дискретные значения: 1) главным квантовым числом n = 1, 2, 3,…, определяющим энергию электрона в атоме Е_n; 2) орбитальным (азимутальным) квантовым числом l = 0, 1, 2,…(n – 1), т. е. при данном n число l принимает n различных значений, это число определяет момент импульса орбитального движения электрона вокруг ядра; 3) магнитным квантовым числом m = l, l – 1,…0, –1,… –l, т. е. при данном l это число принимает 2l + 1 значений, определяет проекцию момента импульса орбитального движения электрона на любую выбранную ось, или проекцию магнитного момента, связанного с орбитальным движением электрона; 4) спиновое квантовое число s = +1/2 или –1/2, которое определяет проекцию спина (собственного момента импульса) электрона на произвольную ось (или проекцию спинового магнитного момента). Таким образом, полное число состояний, или орбиталей (орбиталь – область электронного облака, где преимущественно находится электрон) равно 2n². Состояния с l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,… обозначаются соответственно буквами s, p, d, f, g, h, i,…

В простейшем случае атома водорода (один протон и один электрон) дискретные уровни энергии электрона в атоме определяются формулой Е_n = –Е_i/n², где Е_i – энергия ионизации атома (энергия, необходимая, чтобы «оторвать» электрон от атома и превратить его в ион), знак «минус» выбран условно. Для водорода Е_i = hcR (h – постоянная Планка, с – скорость света, R – постоянная Ридберга, R = 1,097.10⁷ м^-1), т. е. Е_i = 13,6 эВ (1 эВ = 1,6.10^-19Дж). При n = 1 состояние называется основным, при n > 1 возбужденным. Из возбужденного состояния электрон самопроизвольно «скачком» переходит на более низкий энергетический уровень (и в конечном итоге в основное состояние), испуская при этом один квант электромагнитного излучения (фотон), энергия которого, по правилу частот Бора, равна h = hc/ = E_m – E_n (E_m > E_n). Отсюда следует обобщенная формула Бальмера для длин волн спектральных линий излучения атомов водорода (в газообразном состоянии) 1/ = R(1/n² – 1/m²), m > n. Эта формула определяет также длины волн поглощенного излучения атомами водорода, когда электроны переходят из основного в возбужденные состояния. При n = 1 получаем спектральные линии серии Лаймана в ультрафиолетовой области спектра (переходы на основной уровень), при n = 2 – линии серии Бальмера в видимой области спектра, при n = 3 – линии серии Пашена в инфракрасной области и т. д.

Дефект массы и энергия связи атомного ядра. Из-за сильного взаимодействия нуклонов в атомном ядре между собой масса ядра всегда немного меньше суммарной массы отдельных нуклонов, входящих в это ядро, т. е. закон сохранения массы при образовании и разрушении ядер, а также в ядерных реакциях нарушается. Эта разность масс m = Zm_p + (A – Z)m_n – m_яд (Z, A), где Z – число протонов в ядре (порядковый номер ядра) и А – число нуклонов в ядре (массовое число ядра), и называется дефектом массы ядра. Величина Е_св = mс² называется полной энергией связи ядра (энергия, необходимая, чтобы полностью «разбить» ядро на его составные части), а отношение  = Е_св/A – удельной энергией связи (на один нуклон). Последняя определяет устойчивость ядра (нуклида) к различным трансформациям и тем самым распространенность данного нуклида (изотопа) в природе. С ростом А величина  вначале в целом растет (немонотонно) и, достигнув максимума, также немонотонно понижается. Для большинства ядер   (6 – 8) МэВ. Наибольшую удельную энергию имеет ядро изотопа железо-56 (8,8 МэВ), наименьшую – ядро дейтерия (1,1 МэВ). Это приводит к выделению энергии при синтезе легких ядер в более тяжелые (термоядерные реакции, которые служат источником энергии излучения звезд) и при делении тяжелых ядер на более легкие (что используется в ядерных реакторах).

Ядерные реакции – взаимопревращения (трансмутации) атомных ядер при их взаимодействиях. Как и химические реакции они могут идти с выделением или поглощением энергии, только величина этой энергии может быть в сотни тысяч и миллионы раз больше, чем в химических процессах. Кроме законов сохранения полной энергии и импульса в ядерных реакциях выполняются также законы сохранения электрического заряда (зарядового числа Z) и массового числа A (если энергии недостаточно для образования пар нуклоны-антинуклоны) и ряд других законов сохранения. В природе играют важную роль в процессах звездного нуклеосинтеза (образования в недрах звезд ядер различных химических элементов), а также определили первичный (космологический) нуклеосинтез в первые минуты после рождения нашей Вселенной.

Радиоактивный распад – самопроизвольное превращение нестабильных микрообъектов (также атомных ядер) в более стабильные. Закон радиоактивного распада показывает, что это чисто случайный и непредсказуемый процесс. Мы не можем указать, когда именно распадется конкретный микрообъект, но можем измерить только его статистические характеристики

Закон радиоактивного распада в интегральной форме: N(t) =N₀exp(–t); вдифференциальной форме:dN= –Ndt(приdt<< 1/). ЗдесьdN– число частиц, распавшихся за времяdt, знак «минус» показывает, что число нестабильных частиц при распаде уменьшается.

Величина dtестьвероятностьраспада данного микрообъекта за времяdt,– вероятность распада в единицу времени,= 1/–среднее время жизниданного микрообъекта,Т=ln/= 0,693– период полураспада (время, за которое распадается половина от начального числа нестабильных частиц).

Произведение N=dN/dt, т. е.скорость распада, называетсяактивностьюрадиоактивного распада. В СИ измеряется вбеккерелях(1 Бк = 1 распад/с). Применяется также внесистемная единица активностикюри(1 Ки = 3,7.10¹⁰Бк), это активность примерно одного грамма радия-226.

Примеры решения задач.

Задача 6.1.Вычислить длину волны головной линии серии Бальмера.

Решение и ответ. Длина волны головной (самой яркой) линия серии Бальмера определяется из обобщенной формулы Бальмера приn = 2 иm= 3, т. е. 1/=R(1/2²– 1/3²), откуда= 36/5.1,097.10⁷м = 656 нм (в красной области видимой части спектра).

Задача 6.2.Какую длину волны должен иметь фотон, чтобы его энергия была равна энергии покоя электрона?

Решение и ответ. Из условия и формулы Планка для энергии фотона получимhc/=m_ec², откуда=h/m_ec.

Подставляя табличные значения h,cиm_e, найдем= 2, 43.10^-12м. Эта величина называетсякомптоновскойдлиной волныэлектрона и характеризует, согласно принципу неопределенности квантовой механики, «размытость» (неопределенность положения) электрона при максимально возможном значении его импульса.

Задача 6.3.Ядра дейтерия (тяжелого водорода) и трития (сверхтяжелого водорода), сталкиваясь при высокой температуре, образуют ядро гелия (альфа-частицу) с испусканием еще одной частицы. Установить, что это за частица и, пользуясь табличными значениями масс ядер дейтерия, трития и гелия (соответственно 2,0142, 3,0160 и 4,0015 а.е.м), вычислить энергию (в МэВ), выделяющуюся в этой термоядерной реакции.

Решение и ответ. В ядерных реакциях выполняются законы сохранения полной энергии, электрического заряда и полного числа нуклонов (при не очень больших энергиях, когда не образуются пары нуклон-антинуклон). Поэтому уравнение данной реакции имеет вид²D₁+³T₁⁴He₂+¹n₀, где верхние индексы обозначают число нуклонов, а нижние – зарядовое число нуклида (т. е. электрический заряд в единицах элементарного заряда). Таким образом испускаемая частица в этой реакции – нейтрон (его масса равна 1,0087 а.е.м.). Энергия, выделяющаяся в реакции, определяется из закона сохранения полной энергии с использованием коэффициента пересчета от массы к энергии 931,5 МэВ/а.е.м и равна ((2,0142 + 3,0160) – (4,0015 + 1,0087)).931,5 = 18,6 МэВ. Именно эту реакцию предполагается использовать в будущих термоядерных реакторах.

Задача 6.4.Период полураспада радиоактивного изотопа стронций-90 (⁹⁰Sr) равен 28 лет. Какое количество атомов этого изотопа (от его первоначального числа) останется через 5 лет?

Решение и ответ. По закону радиоактивного распадаN(t)/N₀=exp(–t), гдеexpобозначает основание натуральных логарифмов (e2,718). Используя формулу=ln2/Tи подставляя заданные значения, после вычислений получимN(t)/N₀= 0,88 (т. е. 88% от первоначального числа атомов).

***