Метод рішення

Регресійні залежності, нелінійні відносно параметрів не допускають безпосереднього застосування методу найменших квадратів. Щоб зробити це можливим, початкові дані спостережень піддають перетворенням з метою лінеаризації залежностей. У випадку, якщо задана функція має вигляд Y = А₀ × Х₁^А1 × Х₂^А2 , можна перейти до лінійного шляхом логарифмування:

lnY = lnА₀ + А₁ × lnХ₁ + А₂ × lnХ₂ .

Застосовуючи заміну Y¢ = lnY, Х₁¢ = lnХ₁ , Х₂¢ = lnХ₂ , А¢₀ = lnА₀, отримуємо лінійну залежність

Y¢ = А¢₀ + А₁ × Х¢₁ + А₂ × Х¢₂

Для одержання коефіцієнтів регресії складемо і вирішимо систему нормальних рівнянь (на базі матриці логарифмів):

å Y¢ = А¢₀ × N + А₁ åХ¢₁ + А₂ åХ¢₂

å Y¢ Х¢₁ = А¢₀ åХ¢₁ + А₁ å(Х¢₁)² + А₂ åХ¢₁ Х¢₂

å Y¢ Х¢₂ = А¢₀ åХ¢₂ + А₁ å Х¢₁ Х¢₂ + А₂ å(Х¢₂ )²

У результаті розрахунку одержуємо коефіцієнти регресії А¢₀, А₁, А₂ і будуємо рівняння зв'язку:

Y¢ = А¢₀ + А₁ × Х¢₁ + А₂ × Х¢₂

Наприклад: А¢₀ = 1,11, А₁ = 0,124, А₂ = –0,365,

Звідси: Y¢ = 1,11 + 0,124 X¢₁ – 0,365 X¢₂ ,

Виробнича функція буде мати вигляд:

Y = exp(1,11) × Х₁ ^0,124 × Х₂ ^–0,365

Y = 3,034 × Х₁ ^0,124 × Х₂ ^–0,365

Задача.

Маємо вибірку даних, яка характеризує роботу підприємства за останні 10 місяців. У цій вибірці кожному значенню Y – вартість випущеної продукції, тис. грн. відповідають показники Х₁ – вартість основних виробничих фондів, тис. грн. і Х₂ – витрати праці, люд.-год. Потрібно побудувати множинну кореляційну економічну модель у вигляді функції Кобба-Дугласа; оцінити точність і достовірність моделі; визначити тісноту зв'язку між факторами; побудувати ізокванти взаємозамінності факторів моделі і зробити економічний аналіз отриманих результатів за всіма відомими характеристиками виробничих функцій.

Розрахунки виконуються на ПК.

Номер варіанту завдання з табл. 16.2 визначається за варіантом з табл.16.1. Перша цифра – номер стовпця для показника Y, друга – номер стовпця для показника X₁ , а третя – номер стовпця для показника Х₂.

Таблиця 16.1

Варіант	Номери варіантів за завданням		Варіант	Номери варіантів за завданням		Варіант	Номери варіантів за завданням
1	1; 5; 9		11	1; 7; 9		21	1; 5; 10
2	2; 8; 9		12	2; 5; 9		22	2; 8; 12
3	3; 8; 11		13	3; 8; 12		23	3; 5; 9
4	4; 5; 9		14	4; 6; 10		24	4; 7; 11
5	1; 6; 9		15	1; 7; 10		25	1; 8; 12
6	2; 5; 10		16	2; 6; 10		26	2; 7; 11
7	3; 8; 9		17	3; 7; 11		27	3; 5; 10
8	4; 7; 12		18	4; 6; 9		28	4; 8; 9
9	1; 6; 10		19	1; 5; 11		29	1; 5; 12
10	1; 8; 11		20	2; 7; 9		30	3; 6; 10

Таблиця 16.2

Кіль-кість спосте-режень	Варіанти
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	Y	Y	Y	Y	x1	x1	x1	x1	x2	x2	x2	x2
1	151	172	170	17,6	10,53	10,84	11,26	11,10	19,4	19,6	19,5	19,5
2	157	180	182	19,1	11,80	11,74	11,83	11,64	20,1	20,9	20,2	20,2
3	163	191	192	19,5	11,45	11,78	11,80	11,17	20,9	21,1	20,8	20,8
4	172	192	191	19,2	11,10	11,54	11,27	11,97	21,1	21,3	20,7	20,7
5	197	205	199	20,6	12,31	12,60	12,94	12,17	21,5	21	21,5	21,5
6	208	209	214	21,9	12,86	12,92	12,35	12,89	22,6	22,2	22,2	22,2
7	213	222	215	22,5	13,96	13,67	13,05	13,44	23,4	23,6	23,5	23,5
8	229	233	233	23,8	12,31	12,70	12,86	12,98	24,1	24,5	24,4	24,3
9	254	260	263	27	13,93	13,69	13,27	13,45	25,3	25,4	24,9	24,9
10	269	277	273	28,1	12,69	12,93	12,97	12,61	25,9	26,4	25,9	25,9
11	307	312	308	31,0	13,23	13,04	13,08	13,38	27,2	27	27,6	27,6
12	308	312	313	32	13,26	13,09	13,93	13,96	28,4	28,5	28,3	28,3
13	319	324	324	32,7	14,77	14,61	14,42	14,65	30,8	30,9	30,8	30,8
14	405	412	413	41,4	15,35	15,62	15,18	15,00	30,4	31,3	30,9	30,9
15	416	412	414	42,2	16,20	16,05	16,44	16,39	31,1	30,8	30,9	30,9