3.2. Графіки функцій однієї змінної в декартовій системі координат .

Графік функції y=f(x).

Рис. 5. Графік функції y=f(x).

При виконанні команди Inset -> Graph -> Plot у документі з’являється рамка-шаблон із двома незаповненими осередками для побудови графіка. (Клавіша [@]).

В осередку, що розташовується під віссю абсцис, вказується незалежна змінна x. Її варто визначити заздалегідь як змінну, що приймає значення із проміжку (ранжирувана змінна).

В осередку поруч із віссю ординат необхідно задати функцію f(x), графік якої ми хочемо побудувати. Якщо ця функція була задана заздалегідь, то в осередок досить ввести f(x), у противному випадку варто ввести зображувану функцію в явному вигляді (наприклад, cos(x)).

Після введення x і f(x) у графічній області з'являться ще чотири осередки, які не обов'язково заповнювати. MathCAD автоматично знаходить підходящі значення для x_min, x_max, y_min, y_max. Якщо ж запропоновані MathCAD значення вас не влаштовують, ви можете задати свої.

В MathCAD існує можливість будувати графік функції, не задаючи попередньо проміжок зміни незалежної змінної. За замовчуванням цей проміжок приймається рівним [-10, 10].

Для подання на одній діаграмі графіків декількох функцій необхідно виділити осередок поруч із віссю ординат і через кому ввести другу функцію. За замовчуванням графік цієї функції буде представлений пунктирною лінією іншого кольору.

Криві на площині, задані параметрично.

Рівняння x=f(t), y=y(t) , де f(t) і y(t) неперервні при t з (a, b), які встановлюють залежність декартових координат (x,y) точок площини від значення параметра t, визначають на площині криву, задану в параметричній формі.

Рис. 6. Криві на площині, задані параметрично.

3.3. Двовимірні графіки в полярній системі координат.

Побудова полярних графіків.

Для побудови полярного графіка необхідно виконати команду Inset -> Graph -> Polar Plot. При цьому в документ з’явиться графічна область із двома незаповненими осередками для побудови графіка. (Клавіші [Ctrl +7]).

Рис. 7. Побудова полярних графіків

У нижній осередок вводиться полярний кут q. Його варто визначити заздалегідь як змінну, що приймає значення із проміжку (ранжирована змінна). У лівий осередок вводиться полярний радіус r(q) або Re(r(q)) і Im(r(q)). Функція r(q) або задається заздалегідь, або її визначення вводиться безпосередньо в осередок.

Графік у полярних координатах можна побудувати й за допомогою команди X-Y Plot. Тільки в цьому випадку необхідно додатково задати наступні функції: x(q)=r(q)cos(q) і y(q)=r(q)sin(q), а в осередках для абсцис й ординат вказати відповідно x(q) і y(q).

Якщо для деяких кутів q функція не визначена (не існує радіуса з дійсним значенням, він приймає чисто уявнє значення), то MathCAD відображає на графіку тільки дійсні значення радіуса. Але за допомогою функцій Re й Im можна представити на одній круговій діаграмі графіки як дійсної, так і уявної частини функції r(q).

3.4. Графіки в тривимірному просторі.

Побудова графіка функції z=f(x,y) у вигляді поверхні в декартовій системі координат.

Для побудови графіка поверхні можна скористатися двома способами:

1. Якщо вам потрібно тільки подивитися загальний вигляд поверхні, то MathCAD надає можливість швидкої побудови подібних графіків. Для цього досить задати функцію f(x,y) і виконати команду Insert -> Graph -> Surface Plot або натиснути відповідну кнопку складальної панелі Graph (комбінацією клавіш[Ctrl+7]). У графічній області, що з'явилася, під осями на місці шаблона для введення потрібно вказати ім'я (без аргументів) функції. MathCAD автоматично побудує графік поверхні. Незалежні змінні x і y приймають значення із проміжку [-5,5].

Рис. 8. Побудова графіка функції g=f(x,y).

При необхідності цей проміжок може бути зменшений або збільшений. Для цього необхідно виділити графік і скористатися командою Format -> Graph -> 3D Plot або клацнути правою кнопкою миші за графіком і у контекстному меню вибрати команду Format. У вікні, що з'явилося, 3-D Plot Format на вкладці QuickPlot Data можна встановити інші параметри зміни незалежних змінних x та y.

Для побудови графіка поверхні в певній області зміни незалежних змінних або з конкретним кроком їхньої зміни необхідно спочатку задати вузлові точки x_i та y_j, в яких будуть визначатися значення функції. Після (а можна й до) цього потрібно визначити функцію f(x,y), графік якої хочете побудувати. Після цього необхідно сформувати матрицю значень функції у вигляді: A_i,j=f(x_i,y_j).

Тепер після виконання команди Insert -> Graph -> Surface Plot у графічній області, що з'явилася, досить ввести ім'я матриці (без індексів).

Якщо ви хочете, щоб вузлові точки були розташовані через рівні проміжки, скористайтеся формулами, зображеними вище.

Рис. 9. Побудови графіка поверхні в певній області.

Для побудови графіка ліній рівня даної функції необхідно виконати такі ж дії, які було описано вище, тільки замість команди Surface Plot (Поверхні) варто вибрати команду Contour Plot (Контурний). Аналогічно, за допомогою команди 3D Bar Plot (3D Діаграми) можна побудувати тривимірний стовпчастий графік даної функції, за допомогою команди 3D Scatter Plot (3D Точковий) - тривимірний точковий графік, а за допомогою команди 3D Patch Plot (3D Кусочний) - тривимірний графік поверхні у вигляді незв'язаних квадратних площадок - площин рівня для кожної точки даних, паралельні площини X-Y.

Рис. 11. Побудова графіків: ліній рівня, 3D діаграми та 3D точкового.

Побудова графіка поверхні, заданої параметрично.

Якщо поверхня задана параметрично, це означає, що всі три координати - x,y, z - задані як функції від двох параметрів u та v. Спочатку необхідно задати вектори значень параметрів u_i та v_j. Потім необхідно визначити матриці значень функцій координат x(u,v), y(u,v) і y(u,v).

Після вибору команди Surface Plot в MathCAD документі з'явиться графічна область. У вільному осередку внизу області потрібно вказати в дужках імена (без аргументів й індексів) трьох матриць - x,y,z.

Рис. 12. Побудова графіка поверхні, заданої параметрично.

Крива в просторі.

Тривимірні точкові графіки можна використати для побудови зображення просторових кривих. Просторові криві задаються, як правило, у вигляді (x(t),y(t),z(t)), де t являє собою неперервний дійсний параметр.

Оскільки при побудові тривимірної точкової діаграми MathCAD дозволяє відображати на графіку тільки окремі точки та з'єднуючі їх лінії, необхідно спочатку визначити три вектори координат - x_i, y_i, z_i.

Просторова крива створюється командою Insert -> Graph ->Scatter Plot (3D Точковий). Можна використати складальну панель Graph, вибравши відповідну піктограму. Для з'єднання точок необхідно на вкладціAppearance вікна форматування графіків вказати опцію Line .

Рис. 13. Крива в просторі.

Векторні та градієнтні поля.

Команда Insert -> Graph -> Vector Field Plot (Векторне поле) служить для подання двовимірних векторних полів v=(vx, vy).

При цьому векторне поле необхідно початку визначити як функцію-вектор-функцію двох координат - x та y. Потім задаються вектори значень вузлових точок x та y. За допомогою цих векторів компоненти векторного поля vx(x,y) і vy(x,y) генеруються у вигляді матриць значень vx_{i, j} і vy_{i, j}.

Рис. 14. Векторне поле.

Подібним чином можна побудувати градієнтне поле скалярної функції f(x,y).Градієнтне поле для функції двох змінних являє собою двовимірне векторне поле. Як і в інших випадках, зовнішній вигляд зображення векторного поля можна легко змінити, виконавши подвійне натискання миші в області графіка й змінивши необхідні опції в діалоговому вікні, що відкрилося, 3-D Plot Format.

Рис. 15. Графік поверхні та її градієнтне поле.

Поверхні, отримані обертанням кривих навколо осей.

Цікаві об'ємні фігури можна одержати, обертаючи деяку криву навколо тієї або іншої осі. Побудова цих фігур обертання те саме що параметрично задані поверхні.

При цьому необхідно забезпечити перерахунок координат точок фігури по відомим з геометрії формулам. В MathCAD вбудована функція CreateMesh, за допомогою якої можна побудувати параметрично задані поверхні.

Рис. 16. Поверхні, отримані обертанням кривих навколо осей.

3.5. Анімація в MathCAD.

Починаючи з 6-ї версії, в MathCAD з'явилася можливість створювати анімації. Для її створення будуємо графік функції командою X-Y Plot з підменю Graph меню Insert. Для анімації задається проміжок зміни цілочислового параметра FRAME (за замовчуванням від 0 до 9).

Цей параметр повинен входити у визначення функції, графік якої ви бажаєте прослідити при зміні якогось параметра (насправді ви можете визначити свій параметр довільним чином, аби тільки в ньому був присутній лічильник кадрів Frame) Тепер для створення анімації необхідно виконати наступні дії: Вибрати команду Animate (Анімація) з меню View (Вигляд). При цьому з'явиться діалогове вікно Animate (Анімація). Вкласти побудований графік у маркований прямокутник.

Задати мінімальне й максимальне значення параметра FRAME (поля From й To). Задати в поле At кількість відтворених кадрів у секунду. Виконати натискання на кнопці Animate. При цьому в діалоговому вікні ви побачите анімаційні кадри.

Щоб відтворити анімацію клацніть на кнопці Play у вікні, що з'явився, Playback (Програвач). Щоб внести зміни в анімацію натиснути на кнопці відкриття меню у вікні Playback. За допомогою команди Save As можна зберегти анімацію у файлі з розширенням AVI.

Вбудовування анімації в MathCAD-документ виконується за допомогою Windows Explorer. Для цього необхідно: Запустити Windows Explorer. Натиснути у вікні Windows Explorer на імені AVI-файлу. Перетягнути AVI-файл у відповідний MathCAD-документ. Відтворити анімацію можна за допомогою подвійного натискання в графічній області.

Анімацію можна також відтворити виконавши подвійне натискання на динамічно пов'язаній з відповідним AVI-файлом піктограмі. Для того щоб вмонтувати таку піктограму в MathCAD-документ необхідно:

1. Вибрати команду Object (Об’єкт) з меню Insert (Вставити).

2. Встановити опцію Створити з файлу.

3. Вибрати потрібний AVI-файл за допомогою кнопки Огляд.

4. Встановити опції Зв'язок і У вигляді значка, після чого натиснути на кнопці OK.

При створенні анімаційних картинок потрібно відключити всі опції автоматичного масштабування графіків і перейти до ручного задання масштабу. Автоматична зміна масштабу може привести до стрибкоподібної зміни розмірів графіка, хоча на практиці він повинен мінятися без стрибків, з дискретністю, обумовленою тільки зміною FRAME=1,2,3... тощо.