Лекція №7. Звичайні диференціальні рівняння.
План.
7.1. ЗДР першого порядку.
7.2. Обчислювальний блок Given/Odesolve.
7.3. Вбудовані функції rкfixed, Rkadapt, Bulstoer.
7.4. ЗДР вищого порядку.
7.5. Контрольні запитання.
7.1. ЗДР першого порядку.
Диференціальне рівняння називається звичайним (ЗДР), якщо невідома функція є функцією однієї змінної, і диференціальним рівнянням в частинних похідних, якщо невідома функція є функцією багатьох змінних.
Таким чином, звичайним диференціальним рівнянням називають рівняння виду:
, (1)
де
x
– незалежна змінна; y
= y(x)
– невідома функція;
відповідно похідні цієї функції порядку
1, 2,…,n.
Розв’язком диференціального рівняння (1) на деякому інтервалі (a;b) називається диференційована на цьому інтервалі функція y = y(x), яка при підстановці в рівняння (1) перетворює його в тотожність по x на (a;b).
Кожне диференціальне рівняння має безліч розв’язків . Щоб знайти частинний розв’язок рівняння необхідно, задати додаткові умови. Залежно від способу задання додаткових умов розрізняють два типи задач: задача Коші і крайова задача.
Якщо додаткові умови задаються в одній точці, то така задача називається задачею Коші, а ці умови початковими умовами.
Якщо додаткові умови задаються більш ніж в одній точці, то така задача називається крайовою задачею, а умови крайовими або граничними.
Задача Коші полягає в тому, щоб знайти розв’язок y(x) звичайного диференціального рівняння першого порядку
, (2)
який задовольняє початкову умову
. (3)
З
погляду геометрії розв’язати задачу
Коші
це означає виділити з множини інтегральних
кривих (розв’язків) ту, яка проходить
через задану точку
.
Для розв’язання задачі Коші широко використовують чисельні методи, які дають наближений розв’язок диференціального рівняння у вигляді таблиці значень. В основі цих методів лежить покроковий принцип визначення шуканої функції. Найпоширенішими є методи Ейлера та Рунге – Кутта.
В курсі вищої математики доводять теореми про існування та єдиність розв’язку в залежності від тих чи інших умов. Розглянуті два типи задач можна розв’язати за допомогою MathCAD:
Задачі Коші – для яких визначені початкові умови для шуканих функцій, тобто задані значення цих функцій в початковій точці інтервалу інтегрування рівняння;
Крайові задачі – для яких задані деякі відношення зразу на обох границях інтервалу.
В більшості випадків диференціальне рівняння можна записати в стандартному вигляді y'(х)=f(х, y(х)). І тільки з такою формою запису рівняння вміє працювати обчислювальний процесор MathCAD.
7.2. Обчислювальний блок Given/Odesolve.
Обчислювальний блок для рішення одного ЗДР, що реалізує чисельний метод Рунге-Кутта, складається із трьох частин:
Given – ключове слово;
ЗДР і початкові умови, записані за допомогою логічних операторів (початкова умова повинна бути записана у вигляді
);Odesolve (x,x1) – вбудована функція для рішення ЗДР відносно змінної х на інтервалі (х0, х1).
Приклад
№1.
Розглянемо розв’язання задачі
математичної екології, яка описує
динаміку популяції з внутрішньою
конкуренцією. Спочатку виникає ріст
чисельності популяції, близький до
експоненціального, а потім вихід на
стаціонарний
стан.
Рівняння, що описує цей процес має вигляд
.
Знайдемо розв’язок
MathCAD вимагає, щоб кінцева точка інтегрування ЗДР лежала правіше початкової, тобто х0<x1. Як можна зауважити, результатом використання блоку Given/Odesolve є функція у(х), визначена на проміжку (х0,х1). Потрібно скористатися звичайними засобами MathCAD, щоб побудувати її графік або отримати значення функції в будь-якій точці вказаного інтервалу, наприклад у(2)=0.451.
Користувач має можливість вибрати між двома модифікаціями чисельного метода Рунге-Кутта. Для зміни методу необхідно клацнути правою кнопкою миші на області функції Odesolve, визвати контекстне меню і вибрати в ньому один з двох пунктів Fixed (фіксований крок) або Adaptive (адаптивний). За замовчуванням приміняться перший з них.