7.3. Вбудовані функції rкfixed, Rkadapt, Bulstoer.
Чисельні рішення задачі Коші для диференціальних рівнянь і систем рівнянь можуть бути реалізовані функціями:
rkfixed(y,x1,x2,n,F) - повертає матрицю рішень системи диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутта 4-го порядку при фіксованому кроці по x.
rkadapt(y,x1,x2,n,F) - шукає рішення зі змінним кроком ( там, де рішення змінюється повільніше, крок збільшується, а в області швидкої зміни рішення крок функції зменшується). Функція працює швидше, ніж rkfixed.
Bulstoer(y,x1,x2,n,F) - дає більш точне рішення (методом Bulirsch-Stoer).
Де:
y - вектор початкових умов;
x1,x2 - границі інтервалу для пошуку рішення;
n - кількість точок на інтервалі;
F(x,y) - вектор-функція перших похідних.
Приклад №2. Розглянемо рішення задачі математичної екології за допомогою вбудованої функції rкfixed.
7.4. Здр вищого порядку.
ЗДР
з невідомою функцією у(х),
в яку входять похідні цієї функції
навіть до
,
називаються ЗДРn-го
порядку. Якщо маємо таке рівняння, то
для коректної постановки задачі Коші
потрібно задати n
початкових умов на саму функцію у(х)
та її похідні від першого до (n-1)-го
порядку включно. В MathCAD
можна вирішувати ЗДР вищих порядків,
як з допомогою обчислювального блоку
Given/Odesolve,
так і шляхом зведення їх до системи
рівнянь першого порядку.
У середині обчислювального блоку:
ЗДР повинно бути лінійне відносно старшої похідної, тобто фактично повинне бути представлене в стандартній формі;
початкові умови повинні мати вигляд у(х)=b або
,
але не більш складний (наприклад
).
В іншому, рішення ЗДР вищих порядків нічим не відрізняється від рішення рівнянь першого порядку.
7.5.Контрольні запитання.
Що називається звичайним диференціальне рівняння і диференціальним рівнянням в частинних похідних?
Що називається розв’язком диференціального рівняння ?
Як знайти частинний розв’язок диференціального рівняння?
Які задачі розрізняють в залежності від способу задання додаткових умов?
В чому полягає задача Коші?
Який має вигляд та як застосовується обчислювальний блок Given/Odesolve, що використовується для рішення одного ЗДР за допомогою методу Рунге-Кутта ?
Якими функціями можуть бути реалізовані чисельні рішення задачі Коші для диференціальних рівнянь і систем рівнянь?
Які особливості рішення ЗДР n-го порядку в MathCAD ?
Література
Інформатика. Комп’ютерна техніка. Комп’ютерні технології. Під ред.. проф. Пушкаря О.І. ─ К.: ВЦ „Академія”, 2003. ─ 704с.
Ляшенко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник. ─ К.: Либідь, 1996. ─ 288 с.
MathCAD 12. Для студентов и инженеров: Валерий Очков — Санкт-Петербург, БХВ-Петербург, 2005 г.- 464 с.
MathCAD 12: Е. Р. Алексеев, О. В. Чеснокова — Санкт-Петербург, НТ Пресс, 2005 г.- 352 с.
MathCAD 13 на примерах (+ CD-ROM): Алексей Васильев — Санкт-Петербург, БХВ-Петербург, 2006 г.- 528 с.
MathCAD 14 для студентов и инженеров. Русская версия: Валерий Очков — Москва, БХВ-Петербург, 2009 г.- 512 с.
MathCAD в инженерных расчетах (+ CD-ROM): Брент Максфилд — Санкт-Петербург, Корона-Век, МК-Пресс, 2010 г.- 368 с.
Вычисления в MATHCAD 12: Д. Гурский, Е. Турбина — Санкт-Петербург, Питер, 2006 г.- 544 с.
Самоучитель MathCAD 13: Дмитрий Кирьянов — Санкт-Петербург, БХВ-Петербург, 2006 г.- 528 с.
Зміст
Вступ. 3
Лекція 1. Основи роботи в системі MathCAD 4
Лекція 2. Виконання обчислень над векторами та матрицями 23
Лекція 3. Графіка в системі MathCAD. 31
Лекція 4. Символьні обчислення в системі MathCAD. 44
Лекція 5. Програмування засобами MathCAD. 51
Лекція 6. Рішення рівнянь та систем рівнянь. Пошук екстремумів функцій. 61
Лекція №7. Звичайні диференціальні рівняння. 71