6.4. Пошук екстремумів функцій.
Екстремум функції однієї змінної.
Пошук екстремуму функції містить у собі завдання знаходження локального і глобального екстремуму. Ці задачі називають ще завданнями оптимізації. Розглянемо конкретно, наприклад, функцію f(x), яка показана графіком (на рис. 29) на інтервалі (-4,2). Вона має глобальний максимум на правій границі інтервалу, локальний мінімум, локальний максимум, локальний мінімум і локальний максимум на лівій границі інтервалу (у порядку з права на ліво).
В MathCAD за допомогою вбудованих функцій вирішується тільки завдання пошуку локального екстремуму. Щоб знайти глобальний максимум (або мінімум), потрібно або спочатку обчислити всі їхні локальні значення й потім вибрати з них найбільше(найменше), або попередньо протабулювати із деяким кроком функцію в розглянутій області, щоб виділити з неї підобласть найбільших (найменших) значень функції й здійснити пошук глобального екстремуму, уже перебуваючи в його околі.
Рис. 29. Графік функції f(х) =х4+5х3-10х.
Для пошуку локальних екстремумів є дві вбудовані функції, які можуть застосовуватися як в межах обчислювального блоку, так і автономно.
Minimize(f, x1, ... ,хm) – виводить вектор значень аргументів, при яких функція f досягає мінімуму;
Maximize(f, х1, ... ,хm) – виводить вектор значень аргументів, при яких функція f досягає максимуму;
f (x1, ... , хm,...) - функція;
x1, ... , xm - аргументи, по яких проводиться мінімізація (максимізація).
Всім аргументам функції f попередньо варто присвоїти деякі значення, причому для тих змінних, по яких проводиться мінімізація, вони будуть сприйматися як початкові наближення. Приклади обчислення екстремумів функції однієї змінної без додаткових умов показані на рис.30. Оскільки ніяких додаткових умов в них не вводиться, пошук екстремумів виконується для будь-яких значень.
Рис. 30. Мінімум та максимум функції однієї змінної.
Рис. 31. Умовний екстремум функції.
У завданнях на умовний екстремум функції мінімізації і максимізації повинні бути включені в обчислювальний блок, тобто їм повинно передувати ключове слово Given (див. рис. 31). У проміжку між Given і функцією пошуку екстремуму за допомогою булівських операторів записуються логічні вирази (нерівності, рівняння), що визначають обмеження на значення аргументів мінімізуючої функції.
Рис. 32. Екстремум функції багатьох змінних
Обчислення екстремуму функції багатьох змінних не несе принципових особливостей у порівнянні з функціями однієї змінної. Тому обмежимося прикладом (рис. 32) знаходження мінімуму функції, показаної у вигляді графіків тривимірної поверхні й ліній рівня на рис. 33.
Рис.33. Графіки функції f (х, у).
6.5. Контрольні запитання.
За допомогою якої вбудованої функції системи MathCAD можна розв’язати алгебраїчне рівняння?
Скільки аргументів може мати функція root ?
В чому особливості використання функції root, яка включає два аргументи?
Назвіть дві особливості використання функції root , що залежить від чотирьох аргументів?
Як знайти уявні корені за допомогою функції root ?
Як розв’язати рівняння за допомогою функції root, коли функція f(х) може бути функцією не тільки х, а будь-якої кількості аргументів ?
За допомогою якої вбудованої функції можна знайти всі корені алгебраїчного рівняння f(x)=0, якщо функція f(х) є поліномом?
Опишіть процес використання функції polyroots.
Які чисельні методи можна реалізувати для функції polyroots ?
Як можна вибрати один із двох чисельних методів для функції polyroots?
Як застосувати спеціальний обчислювальний блок Given/Find для рішення системи n нелінійних рівнянь із m невідомими ?
Як обчислювальний блок використовує константу CTOL і константу TOL ?
Як за допомогою обчислювального блоку Given/Find можна знайти корінь рівняння з однією невідомою ?
Що означає знайти локальні і глобальні екстремуми?
Як знайти локальні і глобальні екстремуми за допомогою системи MathCAD ?
Пояснити застосування вбудованих функцій Minimize(f, x1, ... ,хm) Maximize(f, х1, ... ,хm).
Пояснити особливості застосування вбудованих функцій Minimize, Maximize у завданнях на умовний екстремум функції мінімізації і максимізації.