Rozrakhunkovi_z_vischoyi_matematiki (1)

) y sin 3x arccos x ;

8.28.) y lg2 x cos 1 ;

x

) y x 7 x 3 4 ;

x 2 2

8.29. ) y sin2 x cos 3x ; 3

) y 3x 1 2 x 6 ;

8.30.) y arctg x 1 ;

x1

3

) y ln 8x x6 ;

) x t sin t .
	y 1 cos t
) ex y xy 0 ;
) x 2t t2 .
	y 3t t3
)	x ln y arctg				y	;
					x
			2t
)	x e
		2 .
	y
		e	4t

) ex y y 3x 0 ;

) x 2t t3 .y 2t2

.

lim tg4x x , .

x 0

.

lim tg4x x 00	lim x ln tg 4 x	e0 1 ,
	ex 0
x 0

ln tg4x

ln

tg4x

lim x ln

tg4x

0

lim

lim

1

x 0

x 0

x 0

1

x

1

4

x

2

8x2

tg4x

cos

2

4x

0

lim

lim

8x

lim

lim

16x

0 .

x 0

1

x 0 sin 8x

0

x 0 sin 8x

x 0 8cos8x

x2

9.

, .

4

9.1. lim cos 2x x2 .

	x 0
			3	x
	9.3. lim 1			.
			x
	x 0

1

9.2. lim 5 2x 2 x .

x 2

1

9.2. lim x 1 x .

x 1

31

1

9.5. lim 1 cos x x 2 .

x

2

1

9.7. lim sin x ln x .

x 0

			1
9.9. lim tgx			x		.
x			4
	4

1

9.11. lim 2 x x 1 .

x 1

2

9.13. lim 3x 8 x 3 .

x 3

1

9.15. lim cos x x2 .

x 0

1

9.17. lim ln x x .

x

1

9.19. lim 1 2x x .

x 0

3

9.21. lim x x2 1 .

x 1

9.23. lim xsin x .

x 0

1 tgx

9.25. lim . x 0 x

1

9.27. lim 1 2x x .

x 0

9.29. lim sin 3x x .

x 0

.

x t 2 4, y

1

9.6. lim 7 6x 3 x 3 .

x 1

9.8. lim		2x cos x .
x
2
		1

9.10. lim 2x 1 x 1 .

x 1

9.12. lim 5x ctg3x .

x 0

9.14. lim x2 sin x .

x 0

		1		x
9.16. lim 1				.
		x	2
x

1 tgx

9.18. lim . x 0 x

1

9.20. lim 1 ex x .

x

9.22. lim tgx tg 2 x .

x

4

1

9.24. lim x 2x x .

x

1

9.26. lim 1 ex x .

x 0

9.28. lim 1 x2 ctg3 x .

x 0

1

9.30. lim cos5x x .

x 0

8 t3 , Ox .

.

M 0 (x0 , y0 ) - .

:

		yt		3t2		3
	y						t
						2
		xt		2t

y x0 ,

Ox . y x	0 .
0

3 t 0 t 0

2

32

	x	t2 4			4
	0				t 0
	y	8 t3
					8 .
	0				t 0
	, M 0 (x0 , y0 ) M 0 (4,8) .
					10.	x4
	10.1. y						27x 60
						4

x 2 .

10.2.y2 4x3

x3y 1 0 ?

10.3. y x3 2x2 4x 7

	2,1 .
					x3			5x2
	10.4. ,			y						7x 4
					3			2
			Ox .
	4			y
	10.5.					x 4

x3 .

10.6.y x2 6x 6 ,

, .

.

10.7. y x 2 2 y 4 4x x2 ?

.

10.8.y 2x2 1 ,

x2 . .

10.9. x2 3y2 2x 6 y 8 0 ,

. .

10.10. y 2 x

.

10.11. x2 y2 6 x2 4 y2 16 ? 10.12. x2 y2 25 ,

3x 4 y 12 0 . .

10.13. y x3 x 2 ,

y 4x 1.

10.14. y x ln x ,

2x 2 y 3 0 .

33

	10.15.					x sin t ,	y cos 2t
t		.
6
	10.16. x2 y2 8						y2 2x ?
.
	10.17. y		1		,
			x2 1
.						y x3 5x2 7x 2
	10.18.

	1,1 .
		10.19.					y arccos x
	.								3		6
	10.20.							y 1
	x 3 .								x x2
		10.21. x sin t , y cos 2t
	t		.
	6
	10.22.
	x2 y2 xy 11 0 (3, 2) .
		10.23.						y x2 7x 3
	x 1.												x2		y2
	10.24.																1,
												20			5
	4x 3y 7 0 . .
		10.25.					4x2 3y2 8x 12 y 32 0
	x 1.
	10.26.											x 2				cost ,
															3

y 2sin t t . 6

10.27.9 y x3 x y 0 ?

.

10.28.x2 y2 25 ,

3x 4 y 12 . .
10.29.		y x3 3x2 5,
2x 6 y 1 0 .
10.30.	x t2 1, y 3 t3 ,
.

34

.

y x 4 x 1

1,9 .

.

( ,

).

y 1

2

x

2

.

x

x

, y 0

2 0 x 4 1,9 y

0 x 0 1,9 .

x

x

y f x ,

: y(1) 2 ; y(9) 2 ; y(4) 3.

, min y(x) 3,

max y(x) 2 .

x 1,9

x 1,9

11.

y f x

a,b .

11.1. y ln x2 2x 2 , 0,3 .

11.3. y	2x 1			1
			,				, 0 .
	x 1	2			2

11.5.y ln x2 2x 4 , 1, 3 .

2

3x

11.2. y x2 1 , 0,5 .

11.4. y x 2 e1 x , 2, 2 .

x3

11.6. y x2 x 1 , 1,1 .

11.7. y x 1 3
					,					1,2							.	11.8. y		x x3 ,								2, 2									.
		x2
																			x3 4
11.9. y 4 e x2 ,									0,1 .									11.10. y						,		1,2									.
11.11. y xex ,																					x2
				2,0											.			11.12. y			x	2			ex ,
																																	2,1 .
11.13. y x 1 e							x				,			0,3 .				11.14. y			x			,		2, 2 .
																			9 x2
11.15. y		1 ln x				,						1			,e .			11.16. y e4 x x2 ,								1,3 .
		x
										e
11.17. y		x5 8			,					3, 1 .								11.18. y	e2 x 1						,				1,2								.
		x4																			ex
						1												11.20. y x3e1 x , 4,0 .
11.19. y x ln x ,													,1 .
											2
						e
11.21. y		x2 2x 2															1,3 .	11.22. y x 1																		4
																									3		x			2
															,																,							,3 .
		x 1																																			5

35

	11.23.		y e6 x x2 ,		3,3						.				11.24. y		ln x		,	1, 4		.
																	x
	11.25.		y 3x4 16x3							2 ,					11.26. y x5 5x4						5x3				1,		1, 2				.
													3,1 .
	11.27.		y 3 x e			x	, 0,5 .								11.28. y		x2 2x 2							, 1,3 .
																	x 1 2
	11.29. y 108x x4 ,								1, 4					.	11.30. y		x4	6x3 7 ,							16, 20				.
																	4
	.
y	x 3 2		.
	x 4
	.
	1.	: x ;4 4; .
	2.	:																										0;			9
																															4

3;0 .

3.:

	2 x 3 x 4 x 3 2			x2 8x 33
y					.
	x 4 2			x 4 2
y 0 x2 8x 33 0 x1 11, x2			3 y x3 4 .
; 3 4;11		y 0 ;
3;4 11;		y 0 . ,

x 3 y( 3) 0 ; x 11

y(11) 28.

4. , :

	y			2x 8 x 4	2 x2 8x 33 2 x 4		98
					x 4 4	x 4 3 .
	,				;4 y 0 ; 4;

y 0 . x 4 ,

.

5.

x 4 – .

f (x)

:

y kx b , k lim

,

b lim f (x) kx .

x

x

x

,

k lim

(x 3)2

1, b

(x 3)2

x2 6x 9 x2 4x

lim

x

lim

x x x 4

x x 4

x

x 4

lim

10x 9

10 y x 10 .

x

x 4

36

6.

. 8.

12.

y f x

.

12.1. y

x2

2x 2

.

12.2. y

x3 1

.

x

1

x2

12.3. y

x 1

.

12.4. y

4x x2 4

.

x 1 2

x

12.5. y

x2

.

12.6. y

x3

.

4x2 1

x2 x 1

12.7. y

x2

x 1

.

12.8. y

1 3x

2

.

x2 2x

x

12.9. y x

1

.

12.10. y x 2 2 .

x2

x 1

12.11. y

x2 6

.

12.12. y

x 1

.

x2 1

x 2 2

12.13. y

x3

.

12.14. y

x2 3x 2

.

x 1 2

x 1

37

12.15. y	2x 1	.
	x 1 2

12.17.y x3 4 .

x2

12.19. y x2 8 . x

x5

12.21. y x4 1 .

12.23.y 2 x 1 2 .

x2

x3

12.25. y 9 x2 .

x4

12.27. y x3 1 .

12.29. y 5x4 3 . x

12.16. y

x 1

2

.

x

2

12.18. y

x3

.

x4

1

12.20. y

4 2x

.

1 x2

12.22. y

x3

.

4 x2

12.24. y

2 x

.

x 1 2

12.26. y

4x

.

x2

4

12.28. y

2x2 2 4x

.

2 x

12.30. y

x3

.

16 x2

.

.

z x3 y3 3xy .

.

: zx 3x2 3y; zy 3y2 3x .

2

3y 0;

M 0 (0;0),

M1(1;1) .

3x

3y2 3x 0

:

z 2

6x; z 2

6 y;

z

3

x

y

xy

zxx

zxy

:

zxy

zyy

(M 0 )

0 9 9 0 , , M 0 .

z 2

(M1 )

6 6 9

27 0 , , M1 .

(M

1

) 6 0 , M

1

– .

x

zmin (M1 ) 13 13 3 1 1 1

38

13.

z f (x, y) .

13.1.z x2 y2 3xy 8x 7 y 5 .

13.2.z 3x2 y2 xy 12x 2 y 4 .

13.3.z 2x2 y2 2xy 2x 8 y 1.

13.4.z x2 4xy y2 6x 6 y 3 .

13.5.z 2x2 xy y2 3x 6 y 10 .

13.6.z x2 3xy y2 x 4 y 1.

13.7.z 2x2 2xy y2 8x 6 y 1.

13.8.z 3x2 2xy y2 10x 2 y 2 .

13.9.z x2 2xy 2 y2 6x 10 y 2 .

13.10.z 2x2 3xy y2 2x 2 y 3 .

13.11.z x2 xy 3y2 6x 14 y 3.

13.12.z 2x2 2xy y2 2x 4 y 1.

13.13.z x2 xy 2 y2 x 11y 1.

13.14.z 2x2 xy y2 9x 4 y 2 .

13.15.z 2x2 xy 2 y2 2x 7 y 3 .

13.16.z 3x2 xy y2 13x 4 y 4 .

13.17.z 2x2 3xy y2 2x 3y 4 .

13.18.z 3x2 xy 2 y2 10x 6 y 3.

13.19.z x2 2xy 3y2 8 y 3 .

13.20.z 3x2 3xy y2 3x 3y 2 .

13.21.z 2x2 2xy y2 10x 8 y 2 .

13.22.z x2 xy 4 y2 4x 17 y .

13.23.z 2x2 3xy 3y2 10x 15 y .

13.24.z 2x2 2xy y2 10x 6 y .

13.25.z 3x2 xy 2 y2 13x 6 y .

13.26.z 3x2 4xy 2 y2 20x 16 y .

13.27.z 2x2 2xy 2 y2 10x 14 y .

13.28.z 2x2 xy y2 5x 4 y .

13.29.z 3x2 xy y2 3x 5 y .

13.30.z 4x2 2xy y2 16x 10 y .

.

39

			.
u xy2 z3 5 ; M (1; 2;1) l 1;2; 2
	u
		(M ) gradu(M ) .

l

.

:

u

x

u

x

M	y2 z3			4 ;
		1; 2;1
M	2xyz3			4 ;
				1; 2;1

u						3xy2 z2									12 .
	x									1; 2;1
					M
gradu(M ) 4i 4 j 12k .
	l		12 22 2 2 3;
				1											2					2
cos ;							cos										;	cos				.
															3					3
u				3
				(M ) 4			1					2						2		28
									4						12								.
							3					3								3
	l																	3

14.

z f x; y ,

A x0 , y0

a1; a2 .

a

z A

.

a

14.1

z ln(x3 6 yx), A(1;0),

( 1;2) .

a

x3

14.2

z

, A(1;1), a (6; 8) .

y

1

),

14.3

z arcsin(x2 y2 ), A(

;

3

(5; 12) .

a

2

2

14.4

z x3 y2 (x y)2 , A(1; 2),

a

( 1;1) .

14.5z x y 1 x2 y y, A(2;2), a (0,6;0,8) .

14.6

z ln

3; 4 .

xy2 1 , A 1;1 , a

14.7

z x2

xy y2 , A 1;1 ,

2; 1 .

a

14.8

z 2x2

y2 x 4 y, A 2;2 ,

6; 8 .

a

14.9

z 2x2

3yx y2 , A 2;1 ,

3; 4 .

a

14.10

z x2

yx2 y3 , A 1; 2 ,

6; 8 .

a

14.11

z ln

3;

4 .

x2 y3 , A 2;1 , a

40