Rozrakhunkovi_z_vischoyi_matematiki (1)

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Национальный университет пищевых технологий

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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k 2 6k 9 0 ,

f (x) 6xe3 x , 3, r 2, n 1, y Ax B x2e3 x .

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. , – .

	y
-1	0	2	x
	-1
	-4
	. 9.

y	x2					x2 x 2 0;									x		1
	;					x2 x 2 0;										1				.
x y 2 0															x2 2
						2											1				1				2
						2
S										2									3				2
								x				x 2 dx						x				x		2x	4,5 .
								x				x 2 dx						x				x		2x	4,5 .
																	3				2				1
						1											3				2				1
															18.
, .
18.1	y x3 ,				2x y							12, x			0 .
18.2	y							y 4 x, x 0 .
18.2	y			x 2,				y 4 x, x 0 .
18.3	y	2	,		y									x 4 .
		2							x 1,
									x 1,
		x
18.4	y x2 2, y											4 x .
18.5	y 2 x2 ,							y x3 ,						y 0 .
18.6	y 4 x 2 ,							y				x 2 2x .
18.7						2	,		y		2			x 1.
18.7	y x 1						,		y					x 1.
18.8	x 4 y 2 ,							x				y 2 2 y .
18.9	y x 2 3 ,								y				4x 8 .
18.10	x y 2 3 ,								x				2 y,		y 0 .
18.11	y 2x x 2 3, y													x 2 4x 3 .
18.12						2	,		y		2			x 1.
18.12	y x 1						,		y					x 1.

18.13

x 4 y 1 2 , x

y 2 4 y 3 .

18.14

y 3x 2 1,

3x 7 .

18.15

y 3x 2 1,

3x 5.

18.16

y 2x 2 3,

2x 7 .

18.17

y x 2 3x 2, y

x 2 .

18.18

2 .

18.19

y ex ,

x y

ln x, x 3 .

18.20

x2 4 y,

x2 4

18.21

y 8x x 2 , y

x2 18x 12 .

18.22y 3x x 2 , 5x y 8 0 .

18.23 y	x2	, y2 4x x2 .

2

	y		1		,	y	x2
18.24										.
							2
	1 x2
	y	x	2	y				2	x2 .
18.25			,			4

	3						3
18.26	y 2x,			y		x2 8 .
18.27	y 4x, y					2x2 12 .
18.28	y x2 2x 5, y										4x x2 5 .
18.29	x y2 2 y 1, x2										y 1.
18.30	y 4 x2 , y x2 2x .

	y 2sin x,						x	0,		x		,				y 2
	y 2sin x,						x	0,		x		,				y 2
	.										2
	.

		2		2		2			2										1	2
V			2		dx		(2sin x) dx				4			0				4		1 cos 2x dx
V			2		dx		(2sin x) dx				4			0				4	2	1 cos 2x dx
		0				0							2						2	0
	2					1						2			2		2
	2					1						2			2		2
2		2 x					sin	2x		2	2							.
2		2 x				2	sin	2x		2	2							.
						2				0

															19.
						,										OX
.
19.1	y tgx,					x				,		y 0 .

							4
19.2	y				,	y		1	, x				4,	y 0 .
			x

								x
19.3	y ln x,					x		e,			y		0 .
	y	x3				y	3 x,						y 0 .
19.4				,
		8

19.5	y 4						x				17,		y		0 .
			x 1,
19.6	y x2 1,						x 0,					x 1,			y 0 .
19.7	y sin x, x 0, x												, y			0 .
19.8	y2 9x,					y 3x .
19.9	xy 4,					x 1,					x	4,		y	0 .
19.10	y 2 x,						y x2 .
19.11	x 2 y2 ,						x y2 .

19.12y2 16x, y 4x .

19.13	y cos3x,		y	0, x				0, x						.
19.13	y cos3x,		y	0, x				0, x				6		.
19.14	x y3 ,	y 2,		x 0 .								6
19.14	x y3 ,	y 2,		x 0 .
19.15	x ln y, y		e, x			0 .
19.16	y 3sin2 x, x				0,	x		,			y	0 .
19.17	y 1 x2 , y 0 .
19.18	y x2 ,	y 4 .
19.19	y sin 2x, x			0,		x			,		y	0 .
19.19	y sin 2x, x			0,		x	2		,		y	0 .
19.20	y2 4x,	y 2x .					2
19.20	y2 4x,	y 2x .
19.21	xy 9,	x 1,		x	9,		y			0 .
19.22	y x2 , y		x 2 .
19.23	x 8 y2 ,		x y2 .
19.24	y2 25x,		y 5x .
19.25	y cos 2x,		y	0,		x	0,			x			.
19.25	y cos 2x,		y	0,		x	0,			x		4	.
19.26	8x y3 ,	y 4,			x	0 .						4
19.26	8x y3 ,	y 4,			x	0 .
19.27	y sin2 2x, x				0, x					,	y 0 .
19.27	y sin2 2x, x				0, x		2			,	y 0 .
							2

19.28	y 2x , y	x 2,	y 0 .
19.29	xy 5, x 1,	x 5,	y 0 .

19.30y2 x, x2 y .

xy y y ln y .

y y ylny

x x x.

y u x, y

u x u .

u x u u ln u ,

u ln u

u eCx . y ux , y xeCx

ln u

, ln u Cx,

y x .

u v u v .

. y u v, y

x .

u u v u v

, v x :

2dx

2ln

ln x

v x2 .

, u x

u v x

u x

;

y uv x2 ln

20.

20.1. (x2 2x) y cos2 y .

20.2. y xy x3 .

20.3. x2 y y2 2xy .

20.4. x2 y xy 1 0 .

20.5. y 3 y 5x 1.	20.6. x2 y2 y 2xy .
2	y

20.7. x2 y y e x .

20.9. x4 y 3yx3 y2 0 .

20.11. y x y . x

20.13. x2 y y2 2xy 0 . 20.15. xy 2 y 2x4 . 20.17. xy y x2 y2 . 20.19. 2x 1 y y x .

20.21. xy y 3x2 .

20.23. y y cos x 1 sin 2x . 2

20.25. y 2 y y2ex . 20.27. xy 2xy x4 sin x . 20.29. y 2x x2 y .

20.8. xy xe x y 0 . 20.10. x2 y2 y 2xy .

20.12. y cos x y 1 sin x .

20.14. y 2 ytgx sin x . 20.16. y xy2 2xy . 20.18. xy y x 1 . 20.20. x2 y 2xy y2 0 .

20.22. xy y xtg y . x

20.24.xy y ln y .

20.26. x2 y2 2xyy . 20.28. y tgx y cos x . 20.30. 2xy y 3x2 .

xy 2 y x3 .

y x p x ;

y x p x ,

2 p x

2 p

– ,

p u v , ( . ).

1 x5

; y

–

dx 5 x

20 x

1 y y 2 y 2 0 .

y (x) p( y);

y (x)

p ( y) p ,

0 ,

1 y p p 2 p

p 0,

y C

1 y p 2 p .

, :

2dy

; ln

2ln

y 1

ln C ; p C

y 1 2

;

y 1

C y 1 2

;

C dx;

C x C

;

y 1 2

y 1

C1x C2

– .

y 0

21.

21.1. y tgx y 1. 21.3. y x ln x y .

21.5. (1 x2 ) y 2xy x3 .

					.
21.7. y			y y		.
21.9. x	2	y				x	2	1.
21.9. x		y		xy		x		1.

21.11. 1 x2 y xy . 21.13. yy 1 y 2 . 21.15. y 1 y 5 y 2 .

21.17. xy y ln y . x

21.19. x2 y y 2 . 21.21. y y tgx sin 2x . 21.23. y 2 y tgx sin x . 21.25. xy xy 2 .

21.27.	2 yy y 2 y 4 .
21.29.	3yy y 2 0 .

21.2. 2 yy 3 y 2 4 y2 . 21.4. xy y 2x .

21.6. 2 yy y 2 1.

21.8. yy 2 yy ln y y 2 . 21.10. y 2x y 2 0 . 21.12. 1 y y 5 y 2 0 .

21.14. y ctgy 2 y 2 0 . 21.16. xy y x2ex . 21.18. xy 2 y x3 .

21.20. y 2 y ctgx sin3 x . 21.22. 1 y 2 yy 0 . 21.24. xy y x2 1. 21.26. x3 y x2 y 1. 21.28. y tgy 2 y 2 .

21.30.y 1 y x2 .

y 6 y 9 y 6xe3 x ,

		2 .
	y(0) 1, y (0)

y y y . y

		y		y
			,				,

6Ax 2B e3 x 6xe3 x , 6Ax 2B 6x .

x , A 1 , y x3e3 x ,

B 0

y x3 C1x C2 e3 x . y 3x3 3C1x 3C2 3x2 C1 e3 x .

							2 ,
					y(0) 1, y (0)		2 ,
	1	0	3	C1 0 C2	e	0
	1	0		C1 0 C2	e	.
						.
2 3 03		3C1 0 3C2 3 02 C1 e0

C1 1

C2 1

, y x3 x 1 e3 x – ,

22.

22.1	y	3y	10 y 4e	2 x	, y(0)			1.
						1, y (0)
22.2	y	4 y	3					2 .
			x 2x 5, y(0)			0, y (0)
22.3	y	9 y	5 x				1.
			2e , y(0)		0, y (0)
22.4	y	4 y	3y 3cos 2x, y(0)
							3, y (0) 1.

22.5y 6y 9 y 2e 3x , y(0) 1, y (0) 2 .


22.6	y 9 y	15sin 2x,			y 0		7,	y 0 0 .
22.7	y 4 y 13y			26x 5,		y 0 1, y 0 0 .
22.8	y 6 y 9 y		10e		3 x	y 0	3,	y 0 2 .
					,
22.9	y y	2cos x,		y 0		1,	y 0 0 .
22.10	y 4 y 4 y		e2 x , y 0				2, y 0		3 .
22.11	y y 9xe2 x ,			y 0		0,	y 0 5 .
22.12	y 3y 2 y		xex , y 0				0, y 0		0 .
22.13	y 2 y y		16ex , y 0				1, y 0		2 .
22.14	y 2 y 5 y		xe2 x , y 0				1,	y 0	0 .

22.15	y 3y 4 y		17sin x,			y 0		4,			y 0			0 .
22.16	y y	ex ,	y 0	0,		y 0		0 .
22.17	y 5 y 6 y		12x 7 ex ,				y 0			0,		y 0				0 .
22.18	y 5 y 6 y		x2 x,		y 0 0,					y 0				1	.

													9
22.19	y 2 y 5y		5x2 4x 2,					y 0		0,			y 0 2 .
22.20	y 6 y 9 y		x2 x 3,				y 0		4		,	y 0				1	.
									3							27
22.21	y 4 y 3 y		e5 x ,	y 0			3,	y 0				9 .
22.22	y 8 y 16 y		e4 x , y 0				0, y 0					1.
22.23	y 4 y	6x2 1,		y 0		2,		y 0 3 .
22.24	y 4 y	e 2 x , y 0			0, y 0					0 .
22.25	y 3y	3x2 x,		y 0 0,				y 0 2 .
22.26	y 9 y	15sin 2x,		y 0			7,		y 0 0 .
22.27	y 5 y 6 y		12sin 2x,			y 0 1,					y 0 3 .
22.28	y y	x2 2x,		y 0		4,		y 0 2 .
22.29	y 9 y	6e3 x , y 0			0, y 0					0 .
22.30	y 4 y	sin x, y 0			1,		y 0			1.

x 3x y

y 8x y

: x 3x y .

y , x 3x 8x y , y

, x 3x 8x x 3x , x 4x 5x 0 .

	k 2 4k 5 0 ,
k1 1		. x(t) C1e t C2e5t .
	k2 5
	y x 3x , x C1e t 5C2e5t .
y(t) 4C e t 2C			e5t . :
	1	2
x(t) C1e t C2e5t
y(t) 4C e t		2C		e5t .
	1		2

23.

23.1.x 3x yy x y

23.3.x x 5 yy x 3y

23.5.x x 5yy 7x 3y

23.7.x 2x 3yy x 4 y

23.9.x 5x yy 3x 9 y

23.11.x 2x 3yy x 4 y

23.13.x 2x yy x y

23.15.x x 2 yy 3x 6 y

23.17.x 5x 4 yy 2x 3y

23.19.x x 2 yy 4x 3y

23.21.x 2x 8 yy x 4 y

23.23.x x 2 yy 3x 6 y

23.25.x x 3yy 3x y

23.27.x 3x 2 yy 2x y

23.29.x x yy 3x y

23.2.	x x 2 y
23.2.
	y 2x 2 y
23.4.	x 3x y
23.4.
	y x 3y
23.6.	x x y
23.6.
	y x 3y
23.8.	x x 4 y
23.8.
	y 2x 3y
23.10.		x 2x 3y
23.10.
		y x 4 y
23.12.		x 4x y
23.12.
		y 8x y
23.14.		x x 3y
23.14.
		y 3x y
23.16.		x 2x y
23.16.
		y x y
23.18.		x 4x 2 y
23.18.
		y 4x 6 y
23.20.		x x y
23.20.
		y x 4 y
23.22.		x x y
23.22.
		y 2x y
23.24.		x 5x 4 y
23.24.
		y 4x 5 y
23.26.		x x y
23.26.
		y x y
23.28.		x x 4 y
23.28.
		y x y
23.30.		x 3x y
23.30.
		y 4x y

						f x, y dxdy ,
D : y x 1 2 ,						D
D : y x 1 2 ,			x y 1 0				SD .
	.
	D .
	0;1 3;4 .
	y
	4
	1
	-1	1	3	x
	0	1	3
	.10.
	D OX , 0;3 .
D y							y x 1 2
		f x, y dxdy		3		x 1
	y x 1. , :	f x, y dxdy		dx		f x, y dy .
		D		0	x 1 2

.													x : x 1																y
x y 1. D														OY ,													0;4 .
											D										:				x 1
											D										:				x 1			y
x 1				, y 0;1 , y 1;4 – x y 1 x 1																						.
x 1		y		, y 0;1 , y 1;4 – x y 1 x 1																					y	.
										1											1
					f x, y				1	1		y						4			1	y
:					f x, y			dxdy	dy				f x, y				dx dy						f x, y				dx .
					D				0	1		y						1			y 1
															3		x 1					3				x 1
D: SD												dxdy					dx			dy							2
D: SD												dxdy					dx			dy			y				dx
										D					0		x 1 2					0			x 1
	3							2			3			3	9				8		1		9
			x 1 x 1 2 dx				x	x x 1							9	3			8		1		9	.
			x 1 x 1 2 dx					x x 1							2	3								.
						2			3					0	2			3 3 2
	0													0

24.

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