§ 4. Умовний екстремум

Часто в математиці зустрічаються задачі пов’язані з відшуканням екстремуму функції, аргументи якої задовольняють додатковим умовам зв’язку. Екстремуми такого типу називаються умовними.

Розглянемо приклад. Знайти екстремуми функції U=x²+y² при умові, що х і у задовільняють умові зв’язку х+у-1=0. Таким чином ми шукаємо екстремум функції не на всій площині, а лише на прямій х+у-1=0. Для розв’язання цієї задачі в рівняння функції U=x²+y² підставляємо значення y=-x+1, знайдене з рівняння зв’язку. Цим самим ми звели поставлену перед нами задачу до задачі про відшукання звичайного екстремуму функції U=2x²-2x+1. Оскільки похідна U=4x-2 дорівнює нулю при х=1/2 і U(1/2)=4>0, то при х=1/2 дана функція має мінімум, який дорівнює 1/2. Таким чином функція U=x²+y² при умові зв’язку х+у-1=0 має умовний мінімум U=1/2 в точці (1/2; 1/2). Слід відмітити, що мінімум функції досягається в точці (0,0) і дорівнює 0.

Перейдемо до загальної задачі про відшукання умовного екстремуму. Нехай треба знайти екстремум функції т+п змінних.

U=f(y₁,y₂,…,y_m,x₁ x₂,…,x_n) (4.1)

При наявності т-умов зв’язку

(4.2)

Означення 4.1 Будемо говорити, що в точці М₀(у₁⁽⁰⁾,...,у_т⁽⁰⁾,х₁⁽⁰⁾,...,х_п⁽⁰⁾) координати якої задовольняють умовам зв’язку (4.2), функція (4.1) при наявності зв’язків (4.2) має умовний максимум (мінімум), якщо існує окіл цієї точки такий, що для всіх точок М з даного околу, координати яких задовольняють рівнянням зв’язку (4.2), виконується нерівність: f(M)f(M₀) (f(M)f(M₀)).

Для знаходження умовного екстремуму функції (4.1) при наявності зв’язків (4.2) припустимо, що функції, які стоять в лівих частинах рівностей (4.2) диференційовані в деякому околі точки М₀, при цьому частинні похідні цих функцій по змінних у₁,...,у_т неперервні в цій точці і якобіан

(4.3)

не дорівнює нулю. В цьому випадку внаслідок теореми (3.1) (розділу 4 цієї частини) існують додатні числа ₁,...,_т і окіл точки М₀(х₁⁽⁰⁾,...х_п⁽⁰⁾) такий, що в цьому околі визначені т функцій

(4.4),

які задовільняють умови у₁-у₁⁽⁰⁾<₁,...,у_т-у_т⁽⁰⁾<_m і які є єдиним диференційованим розв’язком системи (4.2).

Підставивши знайдені функції (4.3) в (4.1) ми зводимо нашу задачу про існування умовного екстремуму до задачі про існування звичайного екстремуму функції.

U=f(₁(x₁,…,x_n),…,_m(x₁,…,x_n), x₁,…,x_n,)=Ф(х₁,...,х_п) (4.5).

Розглянемо, як не знаходячи розв’язків системи (4.2) можна встановити необхідні умови існування умовного екстремуму в точці М₀. Нехай функція диференційовна в точці М₀ і має умовний екстремум при наявності зв’язків (4.2) або те саме, що функція (4.5) має звичайний екстремум в точці М₀. Звідси слідує, що , а значить

(4.6)

при довільних дх₁,...,дх_п. На основі інваріантності форми диференціала формулу (4.6) можна записати можна записати наступним чином:

(4.7)

(при цьому частинні похідні беруться в точці М₀). Зазначимо, що dy₁,dy₂,…,dy_m є диференціалами функцій (4.4) і тому рівність (4.7) не є тотожністю відносно цих диференціалів. Якщо в рівняння зв’язку (4.2) замість у₁,...у_т підставити функції (4.4) то одержимо тотожності. Диференціюючи їх одержимо (4.8).

Так, як якобіан (4.3) не дорівнює нулю в точці М₀, то з цієї системи можна знайти dy₁,…,dy_m. Вони є лінійними функціями відносно dx₁,…,dx_n, якщо знайти ці вирази і підставити в (4.7), то одержимо:

А₁dx₁+…+A_ndx_n=0, (4.9)

де А₁,...,А_п виражаються через частинні похідні f, F₁,…,F_m в точці М₀. Так, як в (4.9) фігурують тільки диференціали незалежних змінних, то А₁=А₂=...=А_п=0. Приєднуючи до цих рівностей т умов зв’язку (4.2), одержимо необхідну умову існування умовного екстремуму, яку записують у такому вигляді:

А₁=0,...,А_п=0, F₁=0,…,F_m=0 (4.10),

що являє систему т+п рівнянь з т+п невідомими.

При знаходженні точки можливого умовного екстремуму методом, який ми розглянули, часто виникають труднощі, зв’язані з тим, що частина змінних х₁,...,х_п розглядаються нами, як незалежні, а інші – як функції від цих змінних. Лагранж запропонував метод, який спрощує цю незручність. Розглянемо функцію:

(у₁,...,у_т,х₁,...,х_п)=f(у₁,...,у_т,х₁,...,х_п)+₁F₁(у₁,...,у_т,х₁,...,х_п)+…

…+_mF_m (у₁,...,у_т,х₁,...,х_п ) (4.11),

де _1,...,_т– довільні сталі. Цю функцію називають функцією Лагранжа. Легко бачити, що якщо рівність (4.8) помножити відповідно на _1,...,_т і одержані рівності скласти почленно з рівнянням (4.7), то одержаний результат можна записати у вигляді:

(4.12).

Так, як при наявності зв’язків (4.2) F(M)-F(M₀)=(M)-(M₀) екстремуми функцій (4.3) і (4.11) співпадають. Підберемо ₁,...,_т так, щоб

(4.13).

Це можна зробити бо ці рівності приводять до лінійної системи рівнянь відносно ₁,...,_т

визначник якої рівний якобіяну (4.3), відмінний від нуля. При таких ₁,...,_т рівність (4.12) матиме вигляд

(4.14).

Оскільки х₁,...,х_п – незалежні змінні, то з (4.14) слідує, що

(4.15).

Приєднавши до рівнянь (4.13) і (4.15) умови зв’язку (4.2), ми одержимо систему п+2т рівнянь

(4.16)

для визначення п+т координат точки умовного екстремуму і множників ₁,...,_т.

Практично для реалізації цього методу поступають наступним чином: складають функцію Лагранжа і для неї знаходять точки можливого звичайного екстремуму. Для виключення ₁,...,_т застосовують умову зв’язку.

Розглянемо один із шляхів дослідження точок можливого умовного екстремуму. Припустимо, що в точці М₀ виконуються необхідні умови умовного екстремуму (4.16). Крім цього, нехай в деякому її околі функції (4.1) і (4.2) - двічі диференційовані і всі частинні похідні другого порядку – неперервні в точці М₀. Так, як при наявності зв’язків (4.2) екстремуми функцій U=f(y₁,…,y_m,x₁,…,x_n) і Лагранжа співпадають, то з результатів параграфу де розглядалися достатні умови існування екстремуму слідує, що якщо при наявності умов зв’язку (4.2) другий диференціал d² в точці М₀ є додатньо визначеною квадратичною формою, то в точці М₀ функція має умовний мінімум, а якщо d² є від’ємно визначеною квадратичною формою, то функція має умовний максимум.

Зазначимо, що другий диференціал d² в точці М₀ можливого умовного екстремуму можна вираховувати так, якби всі змінні x₁,…,x_n ,y₁,…,y_m були незалежними. Дійсно:

.

Але, оскільки, , то

(4.17).

Оскільки нам потрібно встановити знаковизначеність d² при наявності зв’язків (4.2), то в формулу (4.17) замість dy₁,…,dy_m потрібно підставити іх значення, знайдені з системи (4.8) і після цього досліджувати знаковизначеність квадратичної форми d².

Розглянемо приклад. Знайти умовні екстремуми функції: U=x₁^m+…+x_n^m, якщо х₁+...х_п=па, а>0, n>1.

Складаємо функцію Лагранжа . З системи

знаходимо =-та^т-1 і координати х_і=а, точки М₀ можливого екстремуму. Знаходимо другий диференціал d² функції ,. В точціМ₀(а,...,а) . Так, як d²(a,…,a)>0, то в точці М₀ функція U має мінімум, U_min=na^m.