§ 3. Диференціали вищих порядків

Нехай маємо функцію U=f(x₁,…,x_n), яка диференційовна в деякій області D. Тоді в кожній точці цієї області існує диференціал , який є функцією від зміннихх₁,...х_п.

Припустимо, що в точці М₀(х₁⁽⁰⁾,...,х_п⁽⁰⁾) наша функція двічі диференційовна. Тоді диференціал від диференціала 1-го порядку, називається другим диференціалом або диференціалом 2-го порядку і позначається d²U=d(dU).

Нехай х₁,...х_п– незалежні аргументи, тоді

.

Врахувавши, що змішана частинна похідна не залежить від порядку диференціювання, одержимо:

Введемо символ . Тоді dU можна записати у вигляді ;

.

Аналогічно під диференціалом 3-го порядку будемо розуміти d(d²U). Якщо х_і незалежні аргументи, то міркуючи аналогічно можна одержати, що

.

Аналогічно вводиться диференціал k-го порядку функції U і символічна форма його буде такою:

.

При цьому піднесення символа до степеня k виконується аналогічно, як піднесення многочлена до цього степеня.

Коли ми розглядали диференціал 1-го порядку, то його форма не залежала від того чи х_і незалежні змінні, чи є функціями від інших змінних.

Подивимось, чи зберігається форма диференціала, для вищих порядків. Для простоти, розглянемо функцію 2-х змінних.

Нехай U=f(x;y) і при цьому х і у є функціями від інших змінних. Тоді d²U=d(dU)=d(f_xdx+f_ydy)=d(f_xdx)+d(f_ydy)=dxd(f_x)+f_xd(dx)+dyd(f_y)+f_yd(dy)=

.

Як бачимо, тут появилося два доданки, яких не було в диференціалі 2-го порядку, коли х і у незалежні змінні. Отже, диференціал 2-го, а значить і вищих порядків, не має властивості інваріантності форми, якою володіє диференціал 1-го порядку.

Проте, легко бачити, що якщо х_і лінійно залежать від змінних t₁,…,t_k, то диференціали d²x₁=d²x₂=…=d²x_n=0 і при цьому форма диференціала зберігається. В цьому випадку можна записати:

.

§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних

Як відомо, для функції U=F(t) (п+1) раз диференційовної в околі точки t₀, має місце рівність:

,

де 0<<1.

Запишемо дещо по-іншому цю формулу. Нехай t-t₀=t, тоді:

F(t)-F(t₀)=F(t₀)

(4.1)

Дивлячись на цей вигляд формули Тейлора, неважко догадатись, що її можна перенести і на функції багатьох змінних.

Теорема 4.1(Формула Тейлора для функції багатьох змінних)

Нехай функція U=F(x₁;x₂;…;x_k) (n+1) раз диференційовна в деякому околі точки М₀(х₁⁽⁰⁾,....,х_к⁽⁰⁾), тоді справедлива рівність:

, (4.1)

де і точкаN(х₁,...,х_к) належить заданому околу. В диференціалах, які стоять справа, dx_i=x_i=x_i-x_i⁽⁰⁾, останній доданок цієї формули, називається залишковим членом формули Тейлора у формі Лагранжа.

Доведення. Для простоти викладу доведемо цю формулу для функції двох змінних.

Нехай функція U=F(x₁;x₂), яка (п+1) разів диференційовна в околі точки М₀(х₁⁽⁰⁾;x₂⁽⁰⁾).

Візьмемо точку М₁(х₁⁽⁰⁾+х₁;x₂⁽⁰⁾+x₂). Проведемо через точки М₀ і М₁ пряму, рівняння якої буде: ;

Звідки ; .

При цьому, якщо t0;1, то М(х₁;x₂) пробіжить відрізок М₀М₁.

Розглядатимемо функцію U=F(x₁;x₂) лише в точках відрізка М₀М₁. На цьому відрізку ця функція є функцією однієї змінної t: U=F(x₁⁽⁰⁾+tx₁;x₂⁽⁰⁾+tx₂)=f(t). З того, що х₁, і х₂ є лінійними функціями від t і задана функція (п+1) разів диференційовна в околі точки М₀ слідує, що ця складна функція по t є (п+1) раз диференційовною в околі точки t₀=0. Тоді з формули (4.1), одержуємо:

(4.2).

Замітимо, що в нашому випадку

f(0)=F(x₁⁽⁰⁾+x₁;x₂⁽⁰⁾+x₂)-F(x₁⁽⁰⁾;x₂⁽⁰⁾)=f(1)-f(0)=

Оскільки, як ми встановили вище, диференціали вищих порядків мають властивість інваріантності форми, якщо змінні лінійно залежать від інших аргументів, (від t), то всі інші доданки формули (4.2) матимуть вигляд ; k=1,2,…n

, де NМ₀;M₁. Врахувавши це все, і, підставивши у формулу (4.2), ми одержимо формулу Тейлора, де в точці N, буде деяка точка на М₀;М₁. Теорему доведено.

Дана формула Тейлора дозволить нам в наступних параграфах вирішувати проблеми екстремумів функцій багатьох змінних.