§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних

В попередньому параграфі ми показали, що, якщо функція диференційовна в точці, то в даній точці існують часткові похідні. Обернене твердження взагалі кажучи не вірне. Але при цьому має місце наступна теорема.

Теорема 2.1. Нехай функція U=(x₁; x₂;…;x_n) в деякому околі точки А(х₁⁽⁰⁾; x₂⁽⁰⁾;…;x_n⁽⁰⁾) має всі частинні похідні. Якщо вони є функціями неперервними в точці А, то дана функція – диференційовна в цій точці.

Доведення. Для простоти викладу будемо вважати, що наша функція залежить від двох змінних, U=f(x; y), A(x₀; y₀).

Надамо х₀, у₀ прирости такі, що точка належить околу, в якому існують часткові похідні. Використовуючи теорему Лагранжа, одержимо:

, де , . Оскільки за умовою f ^/_x і f ^/_y – неперервна в точці х₀, у₀, то величини і прямують до нуля, коли . Знайшовши з останніх двох рівностей перші доданки справа і підставивши їх у суму, одержимо: , а це означає, що наша функція в точці А є диференційовною. Теорему доведено.

§ 3. Диференційовність складної функції.

Коли ми розглядали поняття диференційовності функції, то в представленні вважалося, що одночасно не можуть дорівнювати нулю. Тобто функції _і не визначені в точці (0,...,0). Якщо доозначимо _і в точці (0,0,...,0), поклавши _і(0,...,0)=0, то рівність (1.1) матиме зміст і тоді, коли всі .

Нехай функції

(3.1)

визначені в області D₁R^k, а функція U=f(x₁,…,x_n) визначена в області DRⁿ при чому, якщо точка (t₁,…,t_k)D₁, то точка (₁(t₁,…,t_k ),…, _n(t₁,…, t_k))D. Тоді ми одержимо складну функцію U=f(₁(t₁,…,t_k ),…, _n(t₁,…, t_k)), яка визначена в області D₁.

Теорема 3.2. Нехай всі функції (3.1.) диференційовні в А(t₁⁽⁰⁾,…,t_k⁽⁰⁾), а функція U=f(x₁,…,x_n) диференційовна в точці В(x₁⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾), де х_і⁽⁰⁾=_I(t₁⁽⁰⁾,…,t_k⁽⁰⁾), тоді складна функція U(t₁,…,t_k) –диференційовна в точці А і при цьому її часткові похідні обчислюються по формулі: , деі=1,...,k.

Доведення. Для простоти викладок, проведемо доведення, коли U=f(x₁,x₂), x₁=₁(t₁, t₂, t₃); x₂=₂(t₁, t₂, t₃), A=(t₁⁽⁰⁾, t₂⁽⁰⁾, t₃⁽⁰⁾), B=(x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾).

Оскільки функції ₁, ₂ диференційовні в точці А за умовою, то надавши t₁⁽⁰⁾, t₂⁽⁰⁾, t₃⁽⁰⁾ прирости t₁, t₂, t₃, які одночасно всі не дорівнюють нулю, прирости функцій х₁, х₂, що відповідають цим приростам, можна записати у вигляді:

(3.2)

, (3.3),

де _і, _і0, а значить  і  0, коли  t_k0. Оскільки х₁⁽⁰⁾, х₂⁽⁰⁾, одержали прирости х_1, х₂, які обчислюються за допомогою формул (3.2), (3.3), то в силу того, що U=f(x_1, x₂) в точці В диференційовна, її приріст в цій точці можна записати у вигляді:

(3.4),

тут _1, ₂0, коли (х₁,х₂)(0,0) (при цьому можуть х₁=х₂=0).

Підставивши (3.2) і (3.3) в (3.4), одержимо:

Замінивши множники біля t₁, t₂, t₃ , в останніх трьох доданках, відповідно на ₁, ₂, ₃, отримаємо:

Якщо t₁, t₂, t₃0, то ₁, ₂, ₃0, ₁, ₂, ₃0, і х₁, х₂0, а значить ₁0, ₂0. Тому ₁, ₂, ₃0. Звідси робимо висновок, що функція U(t₁, t₂, t₃) – диференційовна в точці , і при цьому , деі=1, 2, 3.