Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків § 1. Частинні похідні вищих порядків

Нехай функція U=f(x₁,…,x_n) визначена в області D і в кожній точці існує частинна похідна по зміннійх_і. Тоді ця частинна похідна є функцією змінних х₁,...,х_п, яка визначена в цій області. Може трапитись, що ця функція в точцімає частинну похіднупо зміннійх_к. Тоді цю частинну похідну називають частинною похідною другого порядку або другою частинною похідною функції U=f(x₁,…,x_n) в точці М₀ спочатку по змінній х_i, а потім по змінній х_к і позначають так: . При цьому, якщоіk, то частинну похідну називаютьзмішаною частинною похідною.

Аналогічно вводяться частинні похідні третього, четвертого і т. д. порядків.

Нехай в області D існує частинна похідна (m=1) порядку по змінних і ця частинна похідна в точціМ₀(х₁⁽⁰⁾,...,х_п⁽⁰⁾) має частинну похідну по змінній . Тоді цю частинну похідну називаютьчастинною похідною m-го порядку або m-тою частинною похідною функції U=f(x₁,…,x_n)в точці М₀ по змінних . Співвідношення, яке визначає цю частинну похідну записують так:.

Якщо не всі індекси і₁, і₂,...,і_т співпадають між собою, то частинна похідна називається змішаною.

Розглянемо приклад. Знайти частинні похідні другого порядку функції . Отримаємо;;;;; .

§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.

В вище наведеному прикладі змішані похідні ;функціїбули рівні. Наступний приклад показує, що це не завжди так.

Нехай .

Тоді ;

Розглянемо достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.

Означення 2.1. Функція U=f(x₁,…,x_n), називається т раз диференційовною в точці М₀(х₁⁽⁰⁾,...,х_п⁽⁰⁾) , якщо всі частинні похідні (т-1)-го порядку є функціями диференційовними в цій точці .

Теорема 2.1. Для того, щоб функція U=f(x₁,…,x_n) була ­т раз диференційовною в точці М₀(х₁⁽⁰⁾,...,х_п⁽⁰⁾) достатньо, щоб її частинні похідні т-го порядку були визначені в деякому околі точки М₀ і були неперервними функціями в цій точці.

Справедливість цього твердження слідує з теореми про достатню умову диференційовності функції.

Теорема 2.2. (про рівність змішаних похідних другого порядку). Якщо функція U=f(x,у) двічі диференційовна в точці М₀(х₀, у₀), то .

Доведення. Так як функція U=f(x;y) двічі диференційовна в точці М₀, то частинні похідні f ^/_x(x;y) і f ^/_y(x;y) визначені в деякому околі точки М₀.

Розглянемо вираз

=f(x₀+h, y₀+h)-f(x₀+h, y₀)-f(x₀, y₀+h)+f(x₀;y₀), (2.1),

де h – довільне число, таке, що точка М₀(х₀+h, y₀+h) міститься у вище вказаному околі. Переписавши  у вигляді

=(f(x₀+h, y₀+h))-f(x₀+h, y₀))-(f(x₀, y₀+h)-f(x₀;y₀)),

помічаємо, що це  є приростом функції (х)=f(x, y₀+h)-f(x, y₀) в точці х₀. Тобто

=(х₀)=(х₀+h)-(х₀) (2.2).

Оскільки функція (х) на х₀, х₀+h задовільняє умові теореми Лагранжа, то

=(х₀+₁,h)h=(f_x(x₀+₁h,y₀+h)-f_x(x₀+₁h,y₀))h=(f_x(x₀+₁h,y₀+h)-f_x(x₀,y₀)-(f_x(x₀+₁h,y₀)-f_x(x₀,y₀)))h (2.3).

де 0<₁<1. Так, як f_x(x,y)- диференційовна в точці М₀, то

f_x(x₀+₁h,y₀+h)-f_x(x₀,y₀)=f_xx(x₀,y₀) ₁h+f_xy(x₀,y₀)h+₁(h) ₁h+₂(h)h, (2.4).

f_x(x₀+₁h,y₀)-f_x(x₀,y₀)=f_xx(x₀,y₀) h+₃(h) ₁h, (2.5)

при цьому ₁(h), ₂(h),₃(h) прямують до нуля, коли h0.

Підставивши (2.4) і (2.5) в (2.3), одержимо:

=((f_xx(x₀,y₀)₁h+f_xy(x₀,y₀)h+₁(h)₁h+₂(h)h)-((f_xx(x₀,y₀)₁h+₃(h) ₁h))h=(f_xy(x₀,y₀)+₁(h) ₁+₂(h)-₃(h) ₁)h²=(f_xy(x₀,y₀)+₁(h))h² , (2.6),

де ₁(h)=₁(h)₁+₂(h)+₃(h)₁.

Переписавши  у наступному вигляді

=(f(x₀+h,y₀+h)-f(x₀,y₀+h))-(f(x₀,y₀+h)-f(x₀,y₀)),

бачимо, що  є приростом функції (y)=f(x₀+h,y)-f(x₀,y) в точці у₀. Застосувавши теорему Лагранжа і врахувавши диференційовність f_y(x,y) в точці М₀, ми отримаємо наступне представлення для ,

=(f_yx(x₀,y₀)+₂(h))h² (2.7),

при цьому ₂()0, коли h0.

Прирівнявши праві частини рівностей (2.6) і (2.7) і скоротивши на h², отримаємо:

f_xy(x₀,y₀)+₁(h)=f_yx(x₀,y₀)+₂(h) (2.8).

Перейшовши до границі, коли h0, отримаємо:f_xy(x₀,y₀)=f_yx(x₀,y₀). Теорема доведена.

Наступна теорема теж дає достатні умови рівності змішаних похідних другого порядку.

Теорема 2.3. Нехай в деякому околі точки М₀(х₀,у₀) функція U=f(x,y) має частинні похідні f_x, f_y, f_xy, f_yx. Якщо f_xy і f_yx неперервні в М₀, то f_xy(x₀,y₀)=f_yx(x₀,y₀).

Доведення. Розглянемо =f(x₀+h, y₀+h)-f(x₀+h, y₀)-f(x₀, y₀+h)+f(x₀;y₀). Замітимо, що =(х₀), де (х)=f(x, y₀+h)-f(x, y₀). Застосувавши теорему Лагранжа до (х), отримаємо:

=(f_x(x₀+₁h,y₀+h)-f_x(x₀+₁h,y₀)), де 0<₁<1.

Застосувавши теорему Лагранжа до функції t(y)=f_x(x₀+₁h,y) на відрізку у₀,у₀+h, одержимо

=f_xy(x₀+₁h,y₀+₂h)h², 0<₂<1.

Внаслідок неперервності f_xy(x,y) в точці (х₀,у₀), маємо

=(f_xy(x₀,y₀)+₁(h))h² (2.9),

де ₁(h)0, коли h0. Представивши  у вигляді =(у), де (у)=f(x₀+h,y)-

-f(x₀,y), аналогічно одержуємо

=(f_yx(x₀;y₀)+₂(h))h² (2.10),

де ₂(h)0, коли h0. Прирівнявши праві частини рівностей (2.9) і (2.10), скоротивши на h² і перейшовши до границі, коли h прямує до нуля, отримаємо f_xy(x₀;y₀)=f_yx(x₀;y₀).

Теорема 2.4. Якщо U=f(x₀;…;x_n) m разів диференційовна в точці М₀, то змішана частинна похідна, в цій точці, не залежить від порядку повторного диференціювання.

Доведення. Очевидно, достатньо довести незалежність значень давільної т-тої змішаної похідної від порядку проведення двох послідовних диференціювань. Тобто достатньо довести рівність:

(2.11).

Розглянемо функцію . Ця функція є диференційовною функцією від змінних, тому внаслідок теореми 2.2. маємо:

.

Звідси і слідує рівність (2.11). Теорему доведено.