Глава 1.2. Логический закон и логическое следование
Логика высказываний — это определенная совокупность формул, т.е. сложных высказываний, записанных на специально сконструированном искусственном языке. Язык логики высказываний, как и язык любой науки, имеет свои особенности и свои обозначения. Он включает:
●способ обозначения высказываний (суждений) – большие латинские буквы, например, A, B, C, …;
●особые символы для логических связок: &, , , , →, ↔,
~, ⌐; ● скобки, играющие роль знаков препинания обычного языка.
Чтобы использовать меньшее количество скобок, условимся, что операция отрицания выполняется первой, затем идут конъюнкция и дизъюнкция и только после этого импликация и эквивалентность.
Формулам логики высказываний, образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения. К примеру, если А есть высказывание «Сейчас ночь», В — высказывание «Сейчас темно» и С — высказывание «Сейчас ветрено», то формула:
А → В v С, или со всеми скобками: (А → (В v С)),
представляет высказывание «Если сейчас ночь, то сейчас темно или ветрено». Обращаем ваше внимание еще раз на скобки. Они, как и в математике, очень важны. Вот сейчас мы запишем формулу в виде:
В v С → А, или ((В v С)→ А),
тогда получившееся высказывание будет иметь такое содержание: «Если сейчас темно и ветрено, то сейчас ночь».
Вы чувствуете, какова сила логики? Казалось бы, незначительное перемещение, а какой эффект?
11
Если запишем высказывание с помощью формулы
~ В → ~а, или: ((~ b) → (~а)),
то оно будет иметь следующее содержание: «Если неверно, что сейчас темно, то неверно, что сейчас ночь».
Подставляя вместо переменных другие конкретные (т.е. истинные или ложные) высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык.
Формула, которой не соответствует осмысленное предложение, не является правильно построенной. Таковы, в частности, формулы (А →) («если А, то»); (& В) («и В»); (А v В С) («А или
ВС); (~ &) («не и») и т.д.
Всоответствии с теми таблицами истинности, о которых мы вели речь в предыдущей главе, строится таблица истинности любой сложной формулы. Каждой формуле логики высказываний соответствует своя таблица истинности, показывающая, при каких подстановках конкретных высказываний в данную формулу она дает истинное сложное высказывание, а при каких ложное. Например, согласно табличным определениям конъюнкции и отрицания, формула (~А & ~ В) даст истинное высказывание, только если вместо А и В подставить ложные высказывания. Но думаем, что не все смогли с этим сразу разобраться. Поэтому, не торопясь, давайте построим таблицу истинности для этого высказывания.
Начнем с того, что выясним, сколько высказываний здесь рассматривается. Видим, что речь идет о двух высказываниях: А и В. Значит, для таблицы нам уже нужны два столбца. Смотрим далее на формулу, в ней идет речь об отрицании высказываний А и В, а значит, потребуются еще два столбца (всего уже нам необходимо таких столбцов 4). Изучая формулу далее, видим, что в ней два отрицания еще связываются конъюнкцией, значит необходим еще один столбец для этой связки. Нам было необходимо 4 столбца, да добавился еще один, получаем, что для всей формулы необходимо 5 столбцов. Но так как мы строим таблицу, то она должна задаваться и строками. Одна строка потребуется для заголовка таблицы и 4 строки для различных комбинаций истинности
12
и ложности двух высказываний. В итоге, таблица будет размерностью 5 х 5. Построим эту таблицу – табл. 1.7.
Таблица 1.7
Таблица истинности высказывания (~А & ~ В)
А |
В |
А |
В |
А & В |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Осталось внимательно посмотреть на последний столбец таблицы и выяснить, при каких значениях высказываний А и В он принимает значение 1, т.е. истинно все сложное высказывание. Это будет при условии ложности высказываний А и В. Т.е. задача решена. Да, может показаться, что этот способ громоздок. Но он применим для связок любой сложности, здесь мы достаточно подробно рассмотрели все шаги. А можно было выполнить решение, пользуясь таким ходом мыслей. В задаче речь идет о конъюнкции двух высказываний. Из таблиц истинности конъюнкции мы уже знаем, что конъюнкция истинна, когда оба высказывания истинны. Значит, смотрим, что представляют собой высказывания ~А (не-А) и ~В (не-В). А они являются отрицаниями. Тогда сами высказывания А и В должны быть ложными.
Конечно, если формула несложная, как в нашем примере, можно обойтись и без построения таблиц, но в случае сложной формулы без таблиц не обойтись. Но иногда в задаче оговаривается условие таким образом, что требуется определить истинным или ложным является высказывание, при конкретном значении истинности каждого из условных высказываний.
Например, определить истинностное значение сложного высказывания (А → (В & ~ В)) → ~ А при условии, что А – истинное высказывание, В – ложное высказывание.
Мы снова будем решать эту задачу с помощью таблицы. Но в этом случае мы знаем, что по условию задачи А – истинное высказывание, В – ложное высказывание. А это говорит о том, что в таблице будет только одна строка да еще строка заголовка таблицы. Разберемся с количеством столбцов. Два столбца необходимы
13
для высказываний А и В, два столбца для их отрицаний, один для конъюнкции и два для импликации, всего семь столбцов. Изображаем таблицу размерности 2 х 7, которая представлена табл. 1.8.
Таблица 1.8 Определение истинностного значения высказывания (А→(В&~В))→~А
|
|
|
|
|
|
|
А |
В |
А |
В |
В & В |
А → (В |
(А → (В & В)) |
|
|
|
|
|
& В)) |
→ А |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Снова напомним, что скобки играют в логике ту же роль, что и в математике. Помните об этом. Итак, задача решена. При условии А – истинное высказывание, В – ложное высказывание, сложное высказывание (А → (В & ~ В)) → ~ А будет истинным.
Естественно, навыки решения таких задач приобретаются на практике. Поэтому постарайтесь составлять самостоятельно сложные формулы и определять их истинностное значение.
Из всех формул логики высказываний особый интерес представляют всегда истинные формулы, поскольку через них определяются понятия закона логики и логического следования.
Всегда истинная формула логики высказываний, или тавтология, — это формула, дающая истинное высказывание при любых подстановках в нее конкретных (т.е. истинных или ложных) высказываний.
Тавтологией является, например, формула (А ~ А). Эта формула представляет собой дизъюнкцию высказывания А и его отрицания. Дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно. Если высказывание А истинно, то высказывание не-А ложно, а их дизъюнкция истинна. Если А ложно, то не-А истинно, а их дизъюнкция опять-таки является истинной. Возможны лишь два варианта: высказывание А истинно или оно ложно. Значит, дизъюнкция (А ~ А) всегда истинна.
Тавтологией является и формула (А → А). Она представляет собой импликацию. Импликация является ложной только в том случае, когда ее основание истинно, а следствие ложно. Но этот случай невозможен, поскольку и основанием, и следствием
14
рассматриваемой импликации является одно и то же высказывание, а оно не может быть одновременно и истинным, и ложным.
Формула же (А В) → В не является тавтологией. Она представляет собой импликацию и превращается в ложное высказывание, если вместо А подставляется истинное высказывание, а вместо В — ложное.
Внутренняя структура тавтологии гарантирует, что она всегда превратится в истинное высказывание, какими бы конкретными высказываниями мы не заменяли ее переменные.
Наряду с понятием всегда истинной формулы (тавтологии) используется также понятие всегда ложной формулы.
Всегда ложная формула, или логическое противоречие, всегда превращается в ложное высказывание при подстановке конкретных высказываний вместо ее переменных.
Логическим противоречием является, например, формула (А & ~ А). Она представляет собой конъюнкцию, и из нее получилось бы истинное высказывание, если бы входящие в нее высказывания А и не-А были одновременно истинными. Но это невозможно, так как согласно таблице для отрицания если А — истинно, то не А — ложно. Значит, рассматриваемая формула является всегда ложной.
Но еще раз заметим, что в случае самых простых формул их таблицы истинности можно не строить на бумаге, а держать в уме. Для более сложных формул таблицы истинности должны воспроизводиться полностью.
Рассмотрим еще один пример тавтологии: (А → В) → (~В → ~ А) Для этого переберем варианты подстановок конкретных высказываний вместо переменных А и В. Таких вариантов, очевидно, четыре: оба подставляемых высказывания истинны, оба они ложны, одно из них истинно, а второе ложное. Далее строим последовательно таблицы для формул (А → В), ~ В, ~ А, и (~В → ~ А), из которых слагается рассматриваемая формула. После этого строим завершающую колонку для этой формулы и получаем полную таблицу, которая представлена табл. 1.9.
15
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.9 |
|
|
Пример тавтологии (А → В) → (~В → ~ А) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
А |
В |
(А → В) |
В |
А |
В→ А |
(А → В) → ( В → А) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Обращаем ваше внимание на последний столбец таблицы, он принимает значение только «истинно», т.е. формула является тавтологией. Следует заметить, что множество тавтологий бесконечно.
Построение таблиц истинности является той простой процедурой, с помощью которой можно отличать тавтологии от всех иных формул, не являющихся тавтологиями. Понятие закона логики совпадает с понятием тавтологии. Значит, используя таблицы истинности, можно определить понятие закона логики и отличить логические законы от тех формул, которые законами не являются. Определение понятия закона логики является той конечной целью, которую с самого начала преследовало введение таблиц истинности.
Логическими законами являются, в частности, рассмотренные всегда истинные формулы: (А ~ А), (А → А), (А → В) →
(~ В → ~ А).
Число логических законов, как и тавтологий, бесконечно. Через понятие закона логики определяется понятие логического следования.
Из высказывания А логически следует высказывание В, когда условное высказывание (A → В) является законом логики.
Например, из высказывания А логически следует оно само, поскольку формула (А → А) есть закон логики.
Из высказывания (А → ~ А) логически следует высказывание ~ А, так как формула ((А → ~ А) → ~ А) представляет собой закон логики (тавтологию).
Поскольку формула (А → В) → ( ~В →~ А) есть тавтология и, значит, логический закон. А потому можно сказать, что из
16