Пример. Выяснить знакоопределенность квадратичной формы:

L(x1, x2 ) = 3x12 + 8x1x2 + 7x22 .

Решение. Запишем матрицу А данной квадратичной формы:

A =	3		4
				.
		4	7

Вычислим значения ее миноров:

1 = 3, 2 = 3 7 − 4 4 = 5 .

Поскольку значения всех миноров – положительны, то в силу критерия Сильвестра, данная квадратичная форма является положительно определенной.

Тема 8. Уравнение прямой на плоскости.

Основные вопросы темы

1.Прямая на плоскости. Методы задания уравнения прямой.

2.Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикуляности.

3.Расстояние от точки до прямой.

Описанию геометрических свойств объектов и их положения в пространстве посвящен раздел математики, получивший название «аналитическая геометрия». Его особенностью является широкое использование алгебраических методов (включая матричные) для описания геометрических образов.

Ниже рассматриваются способы описания таких объектов как: прямая, окружность гипербола и парабола.

8.1Прямая на плоскости. Методы задания прямой.

Взависимости от типа решаемых задач, для описания положения прямой на плоскости могут быть использованы различные уравнения. Приведем наиболее употребительные.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

В этом случае уравнение прямой записывается как:

51

y = kx + b,

где коэффициент k определяет тангенс угла наклона - α прямой к оси x.

Исследуем это уравнение для различных частных случаев.

а) Параметр b равен нулю (b = 0). В этом случае уравнение прямой принимает вид:

y = kx .

Данное выражение определяет уравнение прямой, проходящей через начало координат. В случае, если коэффициент k – положителен, угол α наклона прямой к оси х находится в пределах от нуля до 90°, что со-

ставляет в радианной мере угол от нуля до π2 ( 0 < α < π2 ). В противном случае (k < 0), угол наклона находится в пределах от 90° до 180°,

что составляет в радианной мере угол от π2 до π ( π2 < α < π ).

Рисунок 8.1. При b = 0, прямая проходит через начало координат.

В частности, уравнение у = х определяет прямую, угол наклона кото-

π

рой к оси х составляет 45° ( 4 - в радианной мере).

Прямая, параллельная оси х, задается уравнением y = b, а прямая, параллельная оси y, определяется уравнением x = a (см. рисунок ниже).

52

Рис. 8.2 а) прямая, параллельная оси х, определяется уравнением y=b, b) прямая, параллельная оси y, определяется уравнением x=a.

Уравнение прямой, проходящей через точку М1(х1, у1) в заданном направлении.

Уравнение прямой, проходящей через точку М1(х1, у1) в заданном направлении, определяемым угловым коэффициентом k=tgα

(гдеα ≠ π2 ), записывается в виде:

y − y1 = k(x − x1 ).

Рисунок 8.3. Прямая проходит через точку М1(х1, у1) в заданном направлении, определяемым угловым коэффициентом k=tgα .

Уравнение пучка прямых.

Если прямая проходит через точку М1(х1, у1), а ее направление не определено, то уравнение y − y1 = k(x − x1 ) определяет множество прямых, пересекающих точку М1 в различных направлениях. В этом случае это уравнение носит название уравнения пучка прямых.

Рисунок 8.4. В случае, если направление не определено, уравнение y − y1 = k(x − x1 ) определяет пучок прямых, проходящих через заданную точку М1(х1, у1).

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1(х1,

у1) и М2(х2, у2).

53

Если прямая проходит через точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2) , как изображено на рисунке ниже.

Рисунок 8.5. Прямая проходит через точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2).

В этом случае, ее уравнение может быть записано в форме:

y − y1			=	x − x1			.
y	2	− y		x	2	− x
		1				1

Уравнение прямой в отрезках.

Пусть прямая отсекает на осях х и у отрезки, равные, соответственно, a и b (см. рисунок ниже).

Рисунок 8.6. Прямая отсекает на осях х и у отрезки a и b.

Уравнение прямой в этом случае может быть записано как: ax + by = 1 .

Нормальное уравнение прямой.

Положение прямой на плоскости может быть определено посредством перпендикулярного ей вектора - p , исходящего из начала координат (см. рисунок ниже). Этот вектор называют нормалью, или нормальным вектором. В этом случае, уравнение прямой записывается как:

x cosα + y sinα – p = 0,

где: α – угол, между вектором p и осью х; p – длина вектора p ( p = pr ).

54

Рисунок 8.7. Иллюстрация к нормальному уравнению прямой.

Замечание. Параметр p, представляющий собой длину вектора pr , численно равен расстоянию от начала координат до прямой.

Общее уравнение прямой.

Общее уравнение прямой записывается в виде:

Ax + By + C = 0,

где коэффициенты A и B одновременно не равны нулю.

Оно может быть преобразовано к любому из приведенных ранее уравнений прямой.

8.2 Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикуляности.

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пусть две прямые, заданны общими уравнениями:

A1x + B1y + C1 = 0	(прямая 1)
A2x + B2y + C2 = 0	(прямая 2).

Условием их параллельности является пропорциональность коэффициентов при соответствующих переменных:

A1 = B1 .

A2 B2

Условие перпендикулярности записывается как:

A1 A2 + B1B2 = 0 .

Аналогичные критерии могут быть приведены при использовании формы записи прямых с угловым коэффициентом:

y = k1x + b1	(прямая 1)
y = k2x + b2	(прямая 2).

Условием параллельности является равенство угловых коэффициентов:

k1 = k2,

а условие перпендикулярности записывается как:

55

k1 = − 1 . k2

В общем случае, угол φ между двумя прямыми определяется соотношением:

tgϕ =	k2 − k1		.
	1+ k k	2
	1

Рисунок 4.8. Угол между двумя прямыми.

8.3Расстояние от точки до прямой.

При решении задач, полезно использовать, также, следующие соотношения:

а) расстояние d от точки М0(х0, у0) до прямой Ax+By+C = 0 вычисляется по формуле:

d =		Ax0	+ By0	+ C		;
			A2 + B2

б) расстояние d между двумя точками М1(х1, у1) и М2(х2, у2) определяется выражением:

d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .

56