tr(A) = tr(AT ) .

4. При суммировании матриц их следы также суммируются:

tr(A + B) = tr(A) + tr(B) .

5. Хотя коммутативный (переместительный) закон умножения матриц, вообще говоря, не выполняется, однако:

tr(A B) = tr(B A) .

В частности, если А – матрица строка: A = (a1 a2 L an ) , то:

n

tr(A AT ) = tr(AT A) = ∑ai2

i=1

Тема 2. Определители квадратных матриц и методы их вычисления.

Основные вопросы темы

1.Определитель квадратной матрицы.

2.Вычисление определителя матриц 1, 2 и 3 порядка.

3.Вычисление определителя матриц произвольного порядка.

2.1Определитель квадратной матрицы.

Вначале дадим качественное определение: определителем квадратной матрицы размера n×n называется число, вычисляемое по строго определенному правилу и характеризующее определенные свойства матрицы. Эта характеристика широко используется для решения различных задач матричного анализа.

Определитель матрицы А обозначается как А , , или detA.

Правила вычисления определителей удобно рассмотреть, начиная с матриц первого, второго и третьего порядка.

2.2. Вычисление определителя матриц 1, 2 и 3 порядка.

Определитель матрицы первого порядка.

Определитель матрицы первого порядка A = (a11 ) равен элементу

1×1

матрицы a11 :

= A = a11 .

Определитель матрицы второго порядка.

15

Определитель матрицы второго порядка A	a11	a12		вычисля-
	=
2×2		a22
	a21

ется по формуле:

=		A		=	a11	a12	= a11a22 − a12 a21 .
					a21	a22

Таким образом, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов, составляющих главную диагональ матрицы, вычесть произведение элементов, составляющих ее вторую диагональ.

4		2		равен:
Например, определитель матрицы A =
	5	6

=

A

=

4

2

= 4 6 − 2 5 = 10 .

5

6

2.2.3 Определитель матрицы третьего порядка

a11

a12

a13

Определитель матрицы третьего порядка

a22

вы-

A = a21

a23

3×3

a32

a31

a33

числяется по формуле:

					a11	a12	a13	= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32 .
=		A		=	a21	a22	a23
					a31	a32	a33

Правая часть данного равенства представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых, половина из которых берется со знаком ‘+’ , а другая половина – со знаком ‘–’. Каждое слагаемое содержит произведение трех элементов матрицы (по одному из каждого столбца и каждой строки). Правило определения элементов, входящих в каждое слагаемое, удобно представить в геометрической форме. Такое пред-

ставление носит название правило треугольников или правило Сарру-

са (см. рис. 2.1).

Рисунок 2.1. Графическая иллюстрация правила Сарруса.

16

Левая часть рисунка (рис. 2.1.а) отражает правило записи слагаемых со знаком ‘+’ :

-первое слагаемое представляет собой произведение членов матрицы, находящихся на главной диагонали;

-второе и третье слагаемые представляет собой произведение членов матрицы, входящих в треугольники с основаниями параллельными главной диагонали матрицы;

Аналогично находятся слагаемые со знаком ‘ – ’, с той лишь разницей, что все построения реализуются относительно дополнительной диагонали (рис. 2.1.б).

2.2.4Определитель квадратной матрицы произвольного порядка.

Правило вычисления определителя квадратной матрицы произвольного порядка определяется теоремой Лапласа. Однако, чтобы сформулировать эту теорему, необходимо познакомится еще с двумя понятиями: минор - Mij и алгебраическое дополнение - Aij элемента aij

матрицы А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Минором - Mij элемента aij матрицы А n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из исходной матрицы путем вычеркивания строки и столбца, в которых находится элемент aij (т.е. i-ой строки и j-го столбца).

Например,

	a11	a12	a13		a12	a13		= a12 a23 − a22 a13 .
M 31 =	a21	a22	a23	=
	a31	a32	a33		a22	a23

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Алгебраическим дополнением - Аij элемента aij матрицы А n-го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком (− 1)i+ j :

Aij = (− 1)i+ j M ij .

Приведенные определения позволяют сформулировать теорему Лапласа, позволяющую вычислить определитель матрицы произвольного порядка.

17

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме попарных произведений элементов произвольной строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения:

n

A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3 + K+ ain Ain = ∑ aik Aik , k =1

или

n

A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + a3 j A3 j + K+ anj Anj = ∑akj Akj . k =1

Первое выражение определяет разложение определителя матрицы по элементам строки, второе – по элементам столбца.

ЗАМЕЧАНИЕ. Теорема Лапласа показывает, что определитель матрицы n-го порядка может быть вычислен через определители матриц более низкого - (n-1)-го порядка.

2.2.5 Свойства определителя матрицы.

Опираясь на теорему Лапласа, можно показать, что определитель матрицы обладает следующими свойствами.

1.При транспонировании матрицы, значение ее определителя не меняется:

A = AT .

2.При перестановке двух строк (столбцов) матрицы абсолютное значение определителя не меняется, а его знак меняется на противоположный.

3.Определитель матрицы, имеющей две пропорциональные строки (столбцы), равен нулю. В частности, определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки (столбцы), равен нулю.

4.Общий множитель элементов отдельной строки (столбца) матрицы можно выносить за знак определителя. Из этого свойства,

вчастности, вытекает следующее равенство:

λА = λn A ,

где: n – порядок квадратной матрицы А; и λ – произвольное число.

5.Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на произвольное (не равное нулю) число.

6.Хотя произведение матриц не обладает законом коммутативности, однако:

18

A B = B A = А В ,

где А и В квадратные матрицы одного порядка.

7. Определитель единичной матрицы равен единице:

E = 1.

Учет указанных свойств часто значительно облегчает расчет определителя при использовании теоремы Лапласа. Действительно, согласно этой теореме значение определителя равно сумме попарных произведений элементов произвольной строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения:

n

A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3 + K+ ain Ain = ∑aik Aik , k =1

или:

n

A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + a3 j A3 j + K+ anj Anj = ∑akj Akj . k =1

Отметим, что чем больше нулевых элементов содержит выбранная для расчета определителя строка (столбец), тем проще выполнить расчет, т.к. соответствующее слагаемое будет заведомо равно нулю. Поэтому, для вычислений целесообразно использовать строку (столбец), содержащую максимальное число нулевых элементов. Если таких строк (столбцов) нет, возможно выполнить ряд операций, которые согласно перечисленным ранее свойствам, не изменяют значение определителя, но увеличивают число нулевых элементов выбранной строки (столбца).

Пример. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка

			2	− 3	6	− 2
Â		=	− 3	2	0	1		.
			3	− 1	4	2
			− 8	2	− 3	3

Решение. Воспользуемся теоремой Лапласа, выбрав для разложения вторую строку, т.к. она содержит нулевой элемент. Попытаемся увеличить число нулевых элементов этой строки, воспользовавшись пятым свойством определителей. Прибавим ко второму столбцу – четвертый, предварительно умножив его на “-2” (согласно пятому свойству, значение определителя при этом не изменится). В результате получим:

19

			2	1	6	− 2
Â		=	− 3	0	0	1		.
			3	− 5	4	2
			− 8	− 4	− 3	3

Число нулевых элементов второй строки - возросло. Теперь прибавим к первому столбцу – четвертый, предварительно умножив его на 3. В результате получим:

			− 4	1	6	− 2
Â		=	0	0	0	1		.
			9	− 5	4	2
			1	− 4	− 3	3

Теперь, вторая строка содержит только один ненулевой элемент. Воспользуемся теоремой Лапласа, используя разложение определителя по второй строке:

B		= b21 A21 + b22 A22 + b23 A23 + b24 A24
		= 0 A21 + 0 A22 + 0 A23 + 1 A24 =
		= A	= (− 1)2+4 M		= M			− 4	1	6
				24		24	=	9	− 5	4	= −279
24
								1	− 4	− 3

ЗАМЕЧАНИЕ. Решение многих задач матричного анализа связано с проверкой равенства нулю определителя матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица А называется невырожденной (неособен-

ной), если ее определитель отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной (особенной).

Перечисленные выше свойства определителей позволяют сформулировать необходимое и достаточное условие равенства нулю опре-

делителя: Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица содержит линейно зависимые строки (столбцы).

Пример. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка

			5	3	8	1
A		=	7	2	3	8	.
			10	6	16	2
			12	21	7	4

20