е = λ1e1 + λ2e2 + …+ λmem ,

где: λ1 , λ2 , …, λm – действительные числа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Строки e1, e2 , …, em называется линейно зависимыми, если существуют такие действительные числа λ1 , λ2 , …, λm, одновременно не равные нулю, что линейная комбинация этих строк равна нулевой строке:

λ1e1 + λ2e2 + …+ λmem = О,

где: О = (0 0 0 … 0).

Верно следующее утверждение: строки матрицы являются линейно зависимыми, если хотя бы одна строка матрицы может быть выражена в виде линейной комбинации других строк.

Понятие ранга матрицы тесно связано линейной зависимостью ее строк. Эту связь демонстрирует следующая теорема.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов), через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейно независимые строки e1, e2 , …, er матрицы, через которые линейно выражаются все ее остальные строки, на-

зывается базисными.

Тема 4. Матричные методы решения системы линейных уравнений

Основные вопросы темы

1.Системы линейных алгебраических уравнений - СЛАУ: основные понятия и определения. Матричная форма СЛАУ.

2.Методы решения систем линейных алгебраических уравнений:

-метод обратной матрицы;

-теорема и формулы Крамера;

-метод Гаусса.

3.Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.

26

4.1 Основные понятия и определения

Запишем систему m линейных уравнений с n неизвестными в следующем виде:

a11 x1a21 x1

ai1 x1

a x

m1 1

+ a12 x2

+ a13 x3 +... + a1j x j + ...+ a1n xn = b1

+ a22 x2

+ a23 x3 + ... + a2 j x j + ...+ a2n xn = b2

K

,

(3.1)

+ a

i2

x

2

+ a

i3

x

3

+ ... + a

ij

x

j

+ ...+ a

in

x

n

= b

i

K

+ am2 x2

+ am3 x3 + ... + am j x j + ...amn xn = bm

где: x1, x2, …, xn – неизвестные величины;

aij (i = 1,2, …, m; j =1, 2, …, n) – произвольные действительные числа, называемые коэффициентами при неизвестных;

b1, b2, …, bm – числа, называемые свободными членами уравне-

ний.

Дадим основные определения.

Решением системы называется набор чисел x1, x2, …, xn, обращающих каждое уравнение системы в тождество.

Решить систему - означает найти все ее решения (или показать, что таких решений не существует).

Система, называется совместной, если она имеет решение (по крайней мере, одно), и несовместной – в противном случае.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы называются эквивалентными или равносильными,

если множества их решений совпадает (т.е. все решения одной системы являются, также, и решениями другой системы, и, наоборот).

Преобразования, применения которых переводит заданную систему в новую, эквивалентную исходной, называется эквивалентным (или равносильными). Примерами эквивалентных преобразований служат:

-перестановка местами двух уравнений системы;

-умножение обеих частей любого уравнения системы на отличное от нуля число;

27

-перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, и др.

Используя символ суммирования, систему линейных уравнений можно записать в следующем виде:

m

∑aij xj = bi (i = 1,2,..., m) .

j=1

Матричная форма записи системы линейных уравнений.

Поместим все неизвестные величины x1, x2, …, xn в матрицустолбец X, все коэффициенты при неизвестных - aij (i = 1, …, m; j =1, … , n) в матрицу А, а все свободные члены - b1, b2, …, bm в матрицустолбец B:

a11

a12

a13 ...

a1j ... a1n

a21

a22

a23 ...

a2 j ...a2n

A =

K

;

a

a

...

a

K a

a

i1

i2

i3

ij

in

K

am2

am1

am3 ... am j ...amn

x1x2

X = K ;x jKxn

b1b2

B = K .biKbm

Рассмотрим произведение матриц А и X:

a

11

a21

AX = a

i1

am1

a12

a13 ...

a1j ... a1n

x1

a22

a23 ...

a2 j ...a2n

x2

=

a

K

...

a

K a

K

a

x

i2

i3

ij

in

j

K

K

am2

am3 ... am j ...amn

xn

a11 x1 + a12 x2

+ a13 x3 +... + a1j x j

+ ...+ a1n xn

a21 x1 + a22 x2

+ a23 x3 + ... + a2 j x j + ...+ a2n xn

K

.

x

+ a

x

+ a

x

+ ... + a

x

+ ...+ a

x

a

i1 1

i2

2

i3

3

ij

j

in

n

K

+ am2 x2

am1 x1

+ am3 x3 + ... + am j x j + ...amn xn

Отметим, что данное произведение представляет собой матри- цу-столбец, элементы которой содержат левые части системы 3.1. Поэтому, опираясь на определение равенства матриц, систему 3.1 можно представить в следующей матричной форме:

AX=B.

Если число уравнений системы 2.1 равно числу переменных (т.е. m = n), то матрица А является квадратной, а ее определитель Δ=|Α| на-

зывается определителем системы.

28

4.2 Матричные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Метод обратной матрицы.

Рассмотрим систему линейных уравнений, заданную в матричной форме: AX=B, содержащую n уравнений и n неизвестных (т.е. матрица А является квадратной). Предполагая, что матрица А является невырожденной, умножим слева это равенство на матрицу A−1 :

A−1 (AX ) = A−1B .

Отмечая, что: A−1 (AX ) = A−1 АX = (A−1 А)X = EX = X , окончательно получим:

X = A−1B .

Таким образом, найдена матрица столбец Х, содержащая значения всех неизвестных x1, x2, …, xn .

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Метод обратной матрицы применим только для случая когда число уравнений равно числу неизвестных (т.е. матрица А является квадратной). В противном случае обратная матрица не может быть вычислена.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Обратная матрица существует только для невырожденных матриц, и, поэтому, рассмотренный метод может применен только для случая A ≠ 0 . Однако, это не означает, что в случае

вырожденной матрицы А система не имеет решений (т.е. несовместна). Это означает лишь то, что для решения такой системы рассмотренный метод не применим.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Безусловным достоинством метода обратной матрицы является то, что он позволяет найти сразу все решения исходной системы. Однако при больших значениях n, нахождение обратной матрицы оказывается достаточно трудоемким, т.к. связано с вычислением большого числа (n2) алгебраических дополнений. Данное обстоятельство ограничивает его применение (однако, использование современных компьютеров снижает значение этого ограничения).

29

Метод Крамера1.

В 1750 г. швейцарский математик Габриэль Крамер опубликовал формулы, позволяющие определить значения неизвестных, входящих в систему линейных уравнений посредством вычисления определителей, составленных из коэффициентов системы и свободных членов.

Теорема Крамера. Рассмотрим систему линейных уравнений, заданную в матричной форме AX=B, содержащую n уравнений и n неизвестных (т.е. матрица А является квадратной). Введем ряд обозначений. Пусть - определитель матрицы А системы, т.е. =|А|. Обозначим, также, через j определитель матрицы, полученной из исходной матрицы А путем замены столбца с номером j на столбец сво-

бодных членов В. Тогда, если матрица А не является вырожденной

(т.е. = |А| ≠ 0), то система имеет единственное решение, определяемое формулой:

x j = j , j=1, 2, …, n.

Данное выражение получило название формулы Крамера.

ЗАМЕЧАНИЕ: Если матрица А системы линейных уравнений является вырожденной (т.е. |Α|=0), то для рассматриваемой системы возможны два случая:

а) система несовместна (нет решений), или б) система совместна, но не определена (имеется бесконечное

множество решений).

Метод Гаусса2

Метод Гаусса заключается в преобразовании исходной системы линейных уравнений АХ=В к другой, эквивалентной (равносильной), но более простой системе А*Х=В*, и последующего ее решения. Таким образом, в методе Гаусса четко выделяются два этапа:

1.преобразование к эквивалентной, но более простой системе. Этот этап получил название прямого хода;

1Крамер Габриель (1704-1752) - швейцарский математик. Родился, учился и работал в Женеве. Был учеником и другом Иогана Бернулли. Основные труды по высшей алгебре и аналитической геометрии. Установил и опубликовал (1750г.) правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными с буквенными коэффициентами (правило Крамера), заложил основы теории определителей.

2Иоганн Карл Фри́дрихГа́усс(1777-1855) — выдающийся немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех времён и народов - «королём математиков». В 1801 году избран член-корреспондентом Петербургской Академии Наук. В возрасте 62 лет начинает изучать русский язык, чтобы ознакомиться в подлиннике с трудами Н.И. Лобачевского и поэзией А.С. Пушкина.

30

2.решение преобразованной системы, начиная с последнего уравнения и последовательно переходя к первому. Этот этап получил название обратного хода.

Рассмотрим реализацию каждого из этих этапов.

Этап прямого хода. Как отмечалось выше, суть этого этапа состоит в преобразовании исходной системы линейных уравнений АХ=В к другой, эквивалентной (равносильной), но более простой системе А*Х=В*. Для этой цели используются перечисленные ранее эквивалентные преобразования. Новая система А*Х=В* характеризуется тем, что ее матрица А* имеет треугольный (либо трапециевидный) тип3. Покажем как достигается эта цель. Пусть исходная система уравнений имеет вид (число уравнений равно числу переменных):

a11 x1 + a12 x2

+ a13 x3 +... + a1j x j

+ ...+ a1n xn = b1

+ a22 x2

+ a23 x3 + ... + a2 j x j + ...+ a2n xn = b2

a21 x1

K

= b .

a

x

+ a

i2

x

2

+ a

i3

x

3

+ ... + a

ij

x

j

+ ...+ a

in

x

n

i1 1

i

K

+ an2 x2

+ an3 x3 + ... + anj x j + ...+ ann xn = bn

an1 x1

Пусть коэффициент при х1 в первом уравнении не равен нулю (в противном случае добьемся этого перестановкой уравнений). Преобразуем эту систему в равносильную ей, но так, чтобы коэффициенты при х1 во всех уравнениях кроме первого были равны нулю. Для этого первое уравнение оставляем без изменения, а каждое последующее – преобразуем, прибавляя к нему первое, умноженное на соответствующий множитель:

	−	à21	,	−	à31	,	−	à41	, ... ,	−	àn1	.
		à			à			à			à
		11			11			11			11

В результате система уравнений примет вид:

a11 x1 + a12 x2			+ a13 x3 + ... + a1j x j				+ ...+ a1n xn			= b1
0	+ a(1) x	2	+ a(1) x	3	+ ... + a(1) x		j	+ ...+ a	(1) x	n	= b(1)
	22		23		2 j				2n		2
			K
	(1)		(1)		(1)				(1)		(1)
0	+ ai2 x2		+ ai3 x3		+ ... + aij	x j + ...+ ain				xn = bi
			K
	+ a(1) x		+ a(1) x		+ ... + a(1) x				(1) x		= b(1)
0		2		3			j	+ ...+ a		n
	n2		n3		nj				nn		n

3 Матрица A называется трапециевидной (трапецеидальной), если ее можно разделить вертикальной чертой на две матрицы: стоящую слева треугольную матрицу и стоящую справа прямоугольную матрицу.

31

Далее, аналогичным образом, обнулим коэффициенты при х2 во всех уравнениях кроме второго. Для этого, второе уравнение оставляем без изменения (полагаем, что а22≠0), а каждое последующее – преобразуем, прибавляя к нему второе, умноженное на соответствующий множитель:

	−	à32(1)	,	−	à42(1)	, ... ,	−	àn(1)2	.
		à22(1)			à22(1)			à22(1)

В результате система уравнений примет вид:

a11 x1 + a12 x2

+ a13 x3 + ... + a1j x j

+ ...+ a1n xn

= b1

0

+ a(1) x

2

+ a(1) x

3

+ ... + a(1) x

j

+ ...+ a

(1) x

n

= b(1)

22

23

2 j

2n

2

K

+ 0

(2)

(2)

(2)

(2)

0

+ ai3 x3 + ... + aij

x j + ...+ ain

xn = bi

K

+ a(2) x

+ ... + a(2) x

+ ...+ a(2) x

= b(2)

0

+ 0

3

j

n

n3

nj

nn

n

Продолжая аналогичным образом, получим систему, матрица которой имеет треугольный вид:

a11 x1

0

0

0

+ a12 x2		+ a13 x3 + ... + a1j x j					+ ...+ a1n xn = b1
+ a(1) x	2	+ a	(1) x	3	+ ... + a(1) x	j	+ ...+ a(1) x	n	= b(1)
22			23		2 j		2n			2
			K
+ 0		+ 0			+ ... + a(jjj−1) x j + ...+ a(jnj−1) xn = b(j j−1)
			K
+ 0		+ 0			+ ... + 0		+ ...+ a	(n−1) x		n	= b(n−1)
								nn			n

(в случае, если число неизвестных и число уравнений не совпадают, матрица системы примет трапецеидальный вид).

На этом первый этап (прямой ход) заканчивается, и переходят ко второму этапу (обратный ход). Вычисляются значения переменных, начиная с последнего уравнения:

b(n−1)

xn = n − . ann(n 1)

Подставляя найденное значение в предпоследнее уравнение, находят хn-1, затем хn-2, и т.д.

ЗАМЕЧАНИЕ. Процесс преобразования системы АХ=В к эквивалентной системе А*Х=В* удобно реализовывать в матричной форме. Для этой цели формируется так называемая расширенная матрица системы, содержащую матрицу А и В:

32

	à		à		L	à			b
	11			12		1n			11
a21			a22		L a2n				b12		,
	L		L		L	L
									L
a			a		L a				b
		n1		n2			nn		1n

и процесс преобразования осуществляется над этой матрицей.

Алгоритм реализации метода Гаусса.

Этап 1. Прямой ход.

1.Запись исходной системы в матричной форме (т.е. формирование матрицы А системы и матрицы свободных членов – В).

2.Формирование расширенной матрицы системы.

3.Приведение расширенной матрицы системы к треугольному (трапециевидному) типу.

Этап 2. Обратный ход.

4.Запись преобразованной системы уравнений, в соответствии с преобразованной матрицей.

5.Решение системы методом подстановки, начиная с последнего уравнения.

Этап 3. Проверка.

6.Подстановка найденных значений неизвестных в исходную систему.

Пример. Решить систему:

x1	+ x2			+ x3			+ x4		= 10
2x1	− x2			+ x3			+ 3x4		= 15
x	+ x	2		− x	3		− 2x	4	= − 8
1
x	− 2x		2	+ 3x		3	+ 2x	4	= 14
1

Решение.

Этап 1. Прямой ход.

1. Данная система может быть записана в матричной форме

АХ=В, где:

1		1	1	1			10
	2	− 1	1	3				15
						;
À =	1	1	− 1	− 2			Â =	− 8	.
	1	− 2	3	2				14

2. Сформируем расширенную матрицу системы:

33

	1	1	1	1		10
	2 − 1		1	3		15
1		1	− 1 − 2			− 8
1		− 2 3		2		14

3. Приведем ее к треугольному виду:

1	1	1	1		10	− 2 − 1 − 1
		1	3			+ ↓ ↓
2 − 1					15		~
1	1	− 1 − 2			− 8	+ ← ↓
1	− 2	3	2		14 + ← ←

	1	1	1	1		10
		− 3	− 1	1		− 5		− 1
0									~
0 0			− 2	− 3		− 18		↓
0		− 3	2	1		4	+

	1	1	1	1		10
	0	− 3	− 1	1		− 5
								~ (умножим третью строку на 3, а четвертую на 2)
	0	0	− 2	− 3		− 18
0		0	3	0		9

		1 1		1	1		10					1 1		1	1		10
			− 3	− 1	1								− 3	− 1	1
~	0						− 5			~	0						− 5
		0 0		− 6	− 9		− 54		1			0 0		− 6	− 9		− 54
	0		0	6	0		18 +				0		0	0	− 9		− 36

Матрица приведена к треугольному виду.

Этап 2. Обратный ход.

4. Запишем систему уравнений соответствующую полученной матрице:

x1	+ x2	+ x3	+ x4	= 10
	− 3x2	− x3	+ x4	= − 5
		− 6x3	− 9x4	= − 54
			− 9x4	= − 36

5. Решая эту систему, методом подстановки, начиная с последнего уравнения (двигаясь последовательно к первому), найдем:

х4=4; х3=3; х2=2; х1=1;

Этап 3. Проверка.

6. Проверяем полученные значения, подставляя их в исходную систему уравнений.

34

ЗАМЕЧАНИЕ. Рассмотренные выше метод обратной матрицы и метод Крамера решения системы линейных уравнений АХ=В применимы только в случае, если:

а) матрица А является квадратной (т.е. число уравнений равно числу неизвестных); и б) матрица А является невырожденной.

В более общем случае, вопрос о совместности системы линейных уравнений АХ=В определяется теоремой Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера4-Капелли5. Система линейных уравнений совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

ЗАМЕЧАНИЕ. Ранг матрицы системы определяет не только ее совместность, но и единственность решения. В частности, верны следующие теоремы:

Теорема. Если ранг матрицы rang(A) совместной системы АХ=В равен числу n неизвестных x1, x2, …, xn:

rang(A) = n,

то система имеет единственное решение.

Теорема. Если ранг матрицы rang(A) совместной системы АХ=В меньше числа n неизвестных x1, x2, …, xn:

rang(A) < n,

то система имеет бесконечное множество решений (является неопределенной).

Исследуем случай rang(A) < n более подробно. Обозначим: r=rang(A) . Если r ≠ 0, то это означает, что существует максимально возможная квадратная подматрица (минор) матрицы А порядка n≠0, определитель которой отличен от нуля. Переменные x1, x2, …, xr , коэффициенты при которых образуют данную подматрицу называются базисными, а сама подматрица – называется базисным минором. Оставшиеся n-r переменных называются неосновными (или свободны-

ми).

4Леопо́льдКро́некер(1823 – 1891) – немецкий математик. Иностранный членкорреспондент Петербургской Академии наук. Основные труды посвящены алгебре и теории чисел.

5Альфредо Капелли (1855 – 1910) – итальянский математик, ученик Л. Кро́некера, член Национальной академии в Риме.

35

При решении системы уравнений, свободным переменным могут быть присвоены произвольные значения, в том числе – нулевые.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решение системы в котором всем свободным переменным присвоены нулевые значения называется базисным.

Достоинства метода Крамера:

а) не требует вычисления определителей, а по тому, как правило, является менее трудоемким; б) в отличии от метода обратной матрицы и метода Крамера, метод

Гаусса применим не только для случая квадратной матрицы системы; в) метод Гаусса позволяет находить значения базисных переменных, присваивая свободным переменным произвольное значение.

4.3 Системы линейных однородных уравнений.

Если в системе линейных алгебраических уравнений (см. формулу 3.1) все свободные члены равны нулю, то такая система называется системой линейных однородных уравнений

a11 x1 + a12 x2

+ a13 x3 +... + a1j x j

+ ...+ a1n xn = 0

+ a22 x2

+ a23 x3 + ... + a2 j x j + ...+ a2n xn = 0

a21 x1

K

= 0 ,

a

x

+ a

i2

x

2

+ a

i3

x

3

+ ... + a

ij

x

j

+ ...+

a

in

x

n

i1 1

K

+ am2 x2

+ am3 x3 + ... + am j x j

+ ...amn xn = 0

am1 x1

0

0

или в матричной форме: А·Х=О, где: О =

.

L

0

Заметим, что система линейных однородных уравнений всегда имеет по меньшей мере одно решение, а именно - нулевое:

x1 = 0, x2= 0, …, xn= 0

(в чем можно убедится непосредственной подстановкой). Иными словами, система линейных однородных уравнений всегда совместна. Если в такой системе число уравнений равно числу неизвестных (m=n), а определитель матрицы А отличен от нуля, то (в силу теоремы Крамера) нулевое решение является единственным.

Опираясь на этот вывод, сформулируем условие существования ненулевых решений.

36

Теорема. Система линейных однородных уравнений А·Х=О имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа переменных: rang(A) < n.

Свойства решений системы линейных однородных уравне-

ний.

Решения системы линейных однородных уравнений А·Х=О обладают следующими свойствами:

			x*
				1
1. Если	X	*	x2*		является решением системы, то и
			=
			L
				*
			xn

ляется решением этой системы.

			λx*
			1
λX	*		λx2*		яв-
		=	L
			*
			λxn

			x*				x**
				1				1
2. Если	X	*	x2*		и X	**	x2**		являются решением системы, то и их
			=				=
			L					L
				*				**
			xn				xn

		λ1 x1* + λ2 x1**
		λ1 x2* + λ2 x2**
	линейная комбинацияλ1 X * + λ2 X ** =			является ее реше-
		L
		λ x* + λ	x**
		1 n 2	n

нием.

3.Если система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения, то часть из них может быть выражена через линейную комбинацию других.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система линейно независимых решений e1, e2, …, ek, называется фундаментальной, если любое иное решение может быть выражено посредством линейной комбинации решений e1, e2, … , ek .

Теорема. Если ранг r=rang(A) матрицы А системы А·Х=О меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений e1, e2, … , ek этой системы состоит из n-r решений (т.е. k=n-r).

Опираясь на эту теорему, общее решение системы А·Х=О записывается в виде линейной комбинации ее фундаментальной системы

решений: λ1e1 + λ2e2 + … + λkek, и где k=n-r, λ1, λ2, …, λk – произвольные действительные числа.

37