Для n-мерного евклидового пространства, каждый вектор определяется n его координатами: x = (x1, x2, x3, … , xn). В этом случае, длина (норма) вектора x вычисляется как:

x = (x, x) = x12 + x22 + x32 +K+ xn2 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы е1 , е2 , е3 , …, en n-мерного евклидового пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице (т.е. ортонормированный базис образуют взаимно ортогональные единичные векторы).

Тема 6. Линейные операторы.

Основные вопросы темы

1.Линейные операторы: основные определения.

2.Матричная форма записи линейного оператора.

3.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

6.1Линейные операторы: основные определения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если задан закон (правило) по которому каждому вектору x линейного пространства Rn ставится в соответствие единственный вектор y пространства Rm , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) А(х) действующий из Rn в Rm :

y = A(x).

Вектор y в этом случае, называется образом вектора х, а вектор х называется прообразом вектора у.

ЗАМЕЧАНИЕ. В дальнейшем будем полагать, что пространства Rn и Rm - совпадают.

В экономике особую важность имеют так называемые линейные операторы.

44

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Оператор y = A*(x) называется линейным, если для любых двух векторов x и y пространства Rn и произвольного дейст-

вительного числа λ выполняются следующие соотношения:

A*(x + у) = A*(x) + A*(у); и A*(λx) = λA*(x).

6.2 Матричная форма представления линейного оператора.

Можно показать, что если задан линейный оператор y = A*(x), то координаты вектора у = (у1, у2, у3, … , уn)΄ связаны с координатами вектора x = (x1, x2, x3, … , xn)΄ посредством системы линейных уравнений:

y1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +... + a1n xn

y

= a

x + a

x

+ a

x

+ ... + a

x

,

2

21

1

22

2

23

3

2n

n

= a

K

y

n

n1

x + a

n2

x

2

+ a

n3

x

3

+ ... + a

nn

x

n

1

что может быть записано в матричном виде как: y = A·x ,

где: векторы - столбцы y и x - транспонированные векторы:

у= (у1, у2, у3, … , уn)΄ и x = (x1, x2, x3, … , xn)΄,

аматрица A определяется как:

a11	a12 a13 ...	a1n
	a22 a23 ...	a2n
a21
A =	K
	an2 an3 ... ann
an1

.

Справедлива следующая теорема:

Теорема. Каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. И наоборот: всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.

6.3 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ненулевой вектор x называется собственным век-

тором линейного оператора A*(x) (собственным вектором матрицы А), если найдется такое действительное число λ, что выполняется следующее равенство:

45

A*(x) = λ x .

Поскольку действие линейного оператора A*(x) описывается операцией матричного умножения:

y = A·x ,

можно записать:

A·x = λ x ,

или:

A·x – λ x = О.

Вынося x за скобку, получим:

(A – λЕ) x = О,

что соответствует матричной записи однородной системы уравнений. Поскольку такая система уравнений всегда имеет нулевое решение, то для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этой системы был равен нулю:

A − λE = 0 .

Данное уравнение называется характеристическим уравнением линейного оператора A* (характеристическим уравнением матрицы A)

и представляет собой многочлен n-ой степени относительно переменной λ. Его решения: λ1, λ2, … , λn называются собственными значе-

ниями линейного оператора A* (собственными значениями матрицы

A).

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

1		− 3
A =			.
	2	6

Решение.

1. Для вычисления собственных значений матрицы А, составим характеристическое уравнение, соответствующее однородной системе уравнений (A - λE)x = O:

A − λE		= 0		1 − λ	− 3		= 0		(1 − λ )(6 − λ )+ 6 = 0 .
				2	6 − λ

После преобразований, получим квадратное уравнение:

λ2 - 7 λ + 12 = 0.

Его решениями являются собственные значения матрицы А:

46

λ1 = 3 и λ2 = 4 .

2. Найдем собственные векторы, соответствующие каждому из собственных значений.

а) Подставим значение λ1 = 3 в уравнение (A - λE)x = O:

− 2	− 3 x1			0			x		= −	2	x
			=					2
				0						3	1 .
2	3 x2
Положив x1=c, получим x2 = −		2	ñ .	Таким образом, собственный век-
		3

тор, соответствующий собственному значению λ1 = 3, может быть записан как:

x = (c, −		2 ñ)′
для любого значения с ≠ 0.		3
Проверим выполнение A·x = λ1 x , например, при с = 3. Этому
значению соответствует собственный вектор:
	x = (3,	-2)΄.
Вычислим значение левой части равенства A·x = λ1 x :
	1 − 3	3			9
				=
A·x =		− 2			− 6	.
	2 6

Теперь вычислим значение правой части равенства:

		3			9
λ1 x =	3			=
		− 2			− 6	.

Таким образом, равенство A·x = λ1x – выполняется.

б) Подставим значение λ2 = 4 в уравнение (A - λE)x = O:

− 3		− 3 x1				0		x		= − x
					=				2
	2	2				0				1 .
			x2

Положив x1=c, получим x2 = ñ . Таким образом, собственный вектор, соответствующий собственному значению λ2 = 4, может быть записан как:

x = (c, − ñ)′

для любого значения с ≠ 0.

Проверим выполнение A·x = λ2 x , например, при с = 1. Этому значению соответствует собственный вектор:

x = (1, -1)΄.

Вычислим значение левой части равенства A·x = λ2x :

47