Тема 5. Векторы и векторные операции.

Ценность идеи вектора - несказанна. Дж.К.Максвелл

Основные вопросы темы

1.Векторы. Основные определения.

2.Векторные операции.

3.n-мерный вектор и векторное пространство.

5.1Векторы. Основные определения.

Многие явления и процессы характеризуются не только величиной, но и направлением. Для их описания и исследования используется специальные математические объекты, называемые векторами (латинское слово vector означает "несущий, перевозящий")6.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой А и конечной точкой В, который можно перемещать параллельно самому себе.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Векторы характеризуются величиной (именуемой модулем или

длиной) и направлением.

Длиной (модулем) AB вектора AB называется число, равное дли-

не отрезка АВ, изображающего вектор.

Направление задается посредством графического изображения вектора, или характеризуется углом, образуемым вектором с одной из осей (обычно с осью абсцисс).

Два вектора называются противоположными если они имеют одинаковую длину, но противоположные направления.

6 Впервые, деление величин на скаляры (не имеющие направления) и векторы (имеющие направление) предложил ирландский математик и механик Уильям Роуан Гамильтон (1805-1865). «Ценность идеи вектора – несказанна» - так охарактеризовал эту идею замечательный британский ученый - математик и физик Джеймс Клерк Максвелл (1831-1879), заложивший основы современной электродинамики (уравнения Максвелла). Впоследствии векторное исчисление было развито в работах американского физика Джозайи Уилларда Гиббса (1839-1903) и английского учёного Оливера Хёвисайда (1850-1925).

( Источник: http://schools.keldysh.ru/sch1275/vector/index.htm )

38

Рисунок 3.1. Противоположные векторы

Совокупное действие нескольких векторов характеризуют посредством операций на векторами.

5.3 Операции над векторами.

Произведение вектора на число. Произведением вектора a на число X называется новый вектор, обозначаемый как b = λar и имеющий длину b = λ ar , направление которого совпадает с направлением вектора ar, если λ > 0, и противоположное ему, если λ < 0.

Рисунок 3.2. Умножение вектора на число.

Сумма векторов. Суммой двух векторов a и b называется новый вектор cr, обозначаемый как: cr = ar+ b , начало которого совпадает с началом вектора ar, а конец совпадает с концом вектора b , при условии,

что начало вектора b совмещено (путем параллельного переноса) с концом вектора a (см. рисунок ниже).

Рисунок 3.3. Сумма векторов (правило треугольника).

Это правило сложения векторов получило название правила треуголь-

ников.

Дополняя треугольник до параллелограмма, можно заметить, что результирующий вектор суммы является диагональю этого параллелограмма.

39

Рисунок 3.4. Вектор суммы является диагональю параллелограмма, построенного на векторах a и b .

Разность векторов. Вектор разности d = ar− b векторов ar и b опреде-

ляется через операцию суммирования вектора a и вектора, противо-

положного вектору b :	r	r	r	+ (−b) .
	d	= a	− b = a

Выполнивr соответствующиеr построения, получим, что вектор разности d = ar− b является второй диагональю параллелограмма, построенного на векторах ar и b (см. рисунок ниже).

Рисунок 3.5. Вектор разности d = ar− b является второй диагональю параллелограмма, построенного на векторах ar и b .

Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением ( a ,b )

двух векторов ar и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними:

(ar,b )= ar b = ar b cosϕ .

В частности:

(ar, ar) = ar ar = ar ar cos0 = ar2 .

ЗАМЕЧАНИЕ. Результатом операции скалярного произведения векторов всегда является число (но не вектор).

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

40

Для удобства работы с векторами используется понятие координат вектора.

Координаты вектора. Координатами (хa, уa) вектора ar называются координаты его конечной точки (при условии, что начальная точка вектора совпадает с началом координат).

Рисунок 3.6. Координаты вектора.

Используя понятие координат, запишем вектор a как ar = (xa , ya ).

Можно показать, что операция скалярного умножения может быть выражена через координаты векторов посредством следующего

соотношения:

r

r r

b = xa xb + ya yb ,

или

(a,b )= a

r r

r

b = x x + y

y + z

z

(a,b )= a

a

b

в трехмерном пространстве.

a b

a b

Длина вектора определяется как:

ar

= xa2 + ya2 , или

ar

= x2

+ y2

+ z2

a

a

a

в трехмерном пространстве.

Используя формулу скалярного произведения векторов, найдем

угол φ между ними:

(ar,br)

cosϕ =

=

x x

+ y

a

y

r

r

a

b

b

, или

x2

+ y2

x2

+ y2

a

b

(ar

)

a

a

b

b

,b

x x + y

a

y + z z

cosϕ =

r

r

=

a

b

b

a b

+ y2

+ z 2

x2

+ y2

+ z2

a

b

x2

a

a

a

b

b

b

в трехмерном случае.

5.3 n-мерный вектор и векторное пространство.

41

Понятие двух и трехмерных векторов может быть обобщено на случай вектора произвольной размерности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. n-мерный вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел: x = (x1, x2, x3, … , xn).

Нулевой вектор определяется как: О = (0, 0, 0, … ,0).

Для n-мерных векторов вводятся операции сложения векторов и умножения вектора на число, обладающие свойством коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. В частности:

1. x + y = y + x (коммутативность операции сложения);

2.(x + y) + z = y + (x + z) (ассоциативность операции сложения);

3.α(x + y) = αx + αy (дистрибутивность операции сложения).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество векторов с действительными компонентами (включая нулевой вектор), в котором определены сложения векторов, умножения вектора на число (обладающие свойством коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности) называется век-

торным пространством.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если в рассмотренном выше определении в качестве векторов могут фигурировать объекты любой природы, то такое мно-

жество называют линейным пространством.

Линейная зависимость векторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы a1, a2, a3, … , am называются линейно зависимыми, если существуют такие действительные числа λ1, λ2, λ3, … , λm , одновременно не равные нулю, что:

λ1a1 + λ2a2 + λ3a3 + … + λm am = О.

В противном случае они называются линейно независимыми.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор am называются линейной комбинацией за-

висимыми, векторов a1, a2, a3, … , am-1 если существуют такие действительные числа λ1, λ2, λ3, … , λm-1 , одновременно не равные нулю, что:

am = λ1a1 + λ2a2 + λ3a3 + … + λm-1 am-1 .

42

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Размерность линейного пространства R обозначается как dim(R), и равна максимальному числу его линейно независимых векторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность n линейно независимых векторов n- мерного пространства R базисом этого пространства.

ЗАМЕЧАНИЕ. Для того, чтобы выделить базисные вектора, будем в дальнейшем, использовать для их обозначения букву е.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Любой вектор х n-мерного линейного пространства можно представить единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

х = λ1е1 + λ2е2 + λ3е3 + … + λn en .

Данное выражение называется разложением вектора х по бази-

су е1 , е2 , е3 , …, en , а числа λ1, λ2, λ3, … , λn называются координатами вектора х относительно базиса е1 , е2 , е3 , …, en . В этом слу-

чае, вектор х записывается как:

х = (λ1, λ2, λ3, … , λn),

где: λ1, λ2, λ3, … , λn координаты вектора х относительно базиса е1 ,

е2 , е3 , …, en .

Евклидово пространство.

Пусть в линейном пространстве определены операции скалярного произведения векторов (a,b) (обозначаемую также как a·b) и умножения вектора на число λ, аксиоматически удовлетворяющие свойствам: к

коммутативности a·b=b·a; дистрибутивности (a+b)·с = a·c + b·c; и ассоциативности относительно числового множителя λ: (λa)·b

=λ(a·b).

Операция скалярного произведения позволяет ввести метрику в это пространство, определяющую длину (норму) вектора

a = (a, a) .

Такое пространство называется евклидовым.

В частности, для случая двумерного евклидового пространства длина (норма) вектора a равна:

a = (a, a) = xa2 + ya2 .

43