1.2. Молекулы

В общем случае полная энергия любой молекулы являет­ся суммой четырех вкладов:

• электронной энергии Е_е, оп­ределяемой движением электронов вокруг ядер;

• коле­бательной энергии Е_v, обусловленной колебаниями ядер;

• вращательной энергии Е_r, связанной с вращением этой молекулы;

• поступательной энергии.

Вклад последний не рассматривается, поскольку он обычно не кванту­ется. Оценим, используя общие соображения, по порядку величины разность энергий электронных (∆Е_е), колебательных (∆Е_v) и вращательных (∆Е_r) уровней.

Порядок величины ∆Е_е определяется из соотношения

, (1)

где m - масса электрона, а - характерный размер молекулы.

Для гомоядерной двухатомной молекулы, с атомами массой М, разность энергий ∆Е_v между двумя колебательными уровнями определяется соотношением

. (2) Разность ∆Е_r вращательных уровней можно выразить через разность энергий ∆Е_v колебательных уровней

. (3)

Поскольку отношение m/M ≈ 10^-4, то расстояния по энергии между вращательными уровнями должны быть приблизительно в сто раз меньше, чем между колебательными. Расстояния между колебательными уровнями, в свою очередь, должны составлять около одной сотой величины ∆Е_е.

Согласно квантовомеханическим представлениям, как колебательная, так и вра­щательная энергия молекулы квантуется.

На рис. 1.1. показана упрощенная структура колебательных (а) и вращательных (б) уровней энергии, принадлежащих двум последовательным электронным и колебательным состояния молекулы, соответственно. Таким образом, рас­сматриваемая полная энергия системы является суммой электронной, колебательной и вращательной энергий. Отметим, что в отличие от случая колебательных уровней, расстояния между соседними вращательными уровнями не являются постоянной величиной.

(а) (б)

Рис. 1.1. а). Колебательные уровни энергии, относящиеся к двум различным электронным состояниям молекулы. Стрелками показаны разрешенные переходы, начинающиеся с уровней v″=0 и v″=1. б). Вращательные уровни энергии, принадлежащие двум последовательным колебательным состояниям молекулы.

1.3. Электронные состояния в полупроводниках

Энергетическое состояние электронов в идеальном кристалле полупроводникового материала, где атомы расположены в строгом порядке, определяемом кристаллической решеткой, описывается уравнением Шредингера:

, (1)

где потенциал взаимодействия U(r) также обладает периодичностью решетки.

Внешние электроны атомов делокализованы по всему кристаллу, а соответствующие волновые функции могут быть записаны в виде волновых функций Блоха:

, (2)

где обладает теми же свойствами периодичности, что и кристалличе­ская решетка, - волновой вектор плоской волны.

При подстановке выражения (2) в уравнение Шредингера оказывается, что получаемые собственные значения энергии электрона Е являются функцией волнового вектора и образуют зоны разрешенных зна­чений. Рассмотрим только наиболее высокую запол­ненную зону, называемую валентной (относящиеся к ней величины обозна­чаются индексом v), и следующую, лежащую выше, называемую зоной проводимости (соответствующие величины имеют ин­декс с). В приближении параболической зоны со­отношение между Е и имеет вид параболы. Это приво­дит к формам валентной зоны и зоны проводимости, изображенным на рис. 1.2.

Действительно, энергия Е_с в зоне проводимости, измеренная вверх относительно ее нижнего края, или дна (см. рис. 1.2, а), может быть записана в виде:

, (3а)

где - так называемая эффективная масса электрона вблизи дна зоны проводимости. Аналогично энергияЕ_v в валентной зоне, замеренная вниз относительно ее верхнего края, или потолка (см. рис. 1.2, а), может быть записана в виде:

_, (3б)

где - эффективная масса электрона вблизи потолка валентной зоны.

Рис. 1.2. Зависимость Е(k) в объемном полупроводнике: а) положительные отсчеты энергии производятся вверх относительно дна зоны - в зоне про­водимости, и вниз относительно потолка зоны - в валентной зоне; б) положительный отсчет энергии производится вверх относительно потолка валентной зоны - как в валентной зоне, так и в зоне проводимости. (Разрешенные состояния в валентной зоне обозначены точ­ками, а в зоне проводимости - окружностями).

В некоторых случаях, особенно когда рассматривается конкретный переход, оказывается более удобным отсчитывать эти энергии в одном направлении и относительно одного и того же уровня, например, вверх относительно потолка валентной зоны (рис. 1.2,6). Если через Е' обозначить энергию в этой системе отсчета, то энергии в зоне проводимости и в валентной зоне будут, очевидно, определяться соотношениями:

Е'_с=Е_g+Е_c, (4а)

Е'_v= -Е_v, (46)

где Е_g - ширина запрещенной зоны, или энергетическая щель.

Эту простую одномерную модель легко обобщить на трехмерный случай. Обозначив через , и компоненты волнового вектора электрона , и по­лагая, что его эффективная масса, т. е., другими словами, кривизна зоны, одинакова вдоль направлений х, у и z, опять получаем соотношения (3) и (4), в которых теперь k² = k_х² + k_у² + k_z².

Таким образом, соотношения (3) и (4) позволяют достаточно просто описать разре­шенные значения энергий электронов в полупроводнике в приближении параболической зоны. Отметим, что в этом приближении электрон рассматривается как свободная частица с импульсом (действительно, для свободной частицыЕ=р²/2т), а свойства полупроводника как реальной квантовой системы учитываются путем введения таких параметров, как ширина запрещенной зоны Е_g и эффективные массы т_с и т_v..