1.6. Спонтанное и вынужденное излучение.

Коэффициенты Эйнштейна

Квантовым переходом называется переход системы из одного квантового состояния в другое. Основной задачей теории квантовых переходов является вычисление вероятности переход под действием внешних полей или из-за внутренних причин.

Непосредственный квантовый переход из одного состояния в другое возможен, если в электромагнитном излучении присутствуют компоненты с частотами, удовлетворяющими правилу частот Бора .

Пусть квантовая система (например, атом) может находиться в двух энергетических состояниях с энергиями соответственно и. Это может быть любая пара из неограниченного набора состояний, характерных для данного атома. Удобно, однако, принять состояние 1 за основное. Тогда, возможны следующие процессы взаимодействия.

1. Предположим, что первоначально атом находится в состоянии 2. Так как >, то атом будет стремиться перейти в состояние 1. В результате такого перехода атом должен выделить энергию, равную, называемой иногда энергией перехода. Т.е. система перешла из более высокого энергетического состояния в более низкое состояние с испусканием кванта света (рис. 1.8, а). Такой процесс называетсяспонтанным испусканием фотона.

Рис. 1.8. Схематическая иллюстрация трех процессов: а) спонтанного излучения, б) вынужденного излучения, в) поглощения.

Отметим, что такой переход может произойти также и без излучения фотона. В этом случае энергия выделяется в иной, отличной от электромагнитного излучения, форме (например, избыток энергии может перейти в кинетическую энергию или внутреннюю энергию окружающих атомов или молекул). Такой процесс называютбезызлучательным переходом.

2. Предположим теперь, что первоначально атом находится в состоянии 2, и при этом на среду падает электромагнитная волна с частотой , равной частоте волны, которая испускалась бы при спонтанном переходе(рис. 1.8, б). Поскольку частоты этих двух волн одинаковы, оказывается, что существует конечная вероятность того, что падающая волна вызовет переход атома из состояния 2 в состояние 1. В этом случае энергиявыделится в виде электромагнитного излучения, которое добавится к падающему. Такой процесс называетсявынужденным (индуцированным) испусканием фотона.

Между процессами спонтанного и вынужденного излучения существует принципиальное различие. В случае спонтанного излучения различные атомы испускают электромагнитные волны, никак не связанные по фазе друг с другом. Более того, каждая из этих волн может быть испущена в любом направлении. В случае же вынужденного излучения, поскольку этот процесс вызывается падающей электромагнитной волной, волна, испущенная любым из атомов, добавляется к падающей, имея одинаковую с ней фазу и распространяясь в том же направлении.

3. Предположим теперь, что атом первоначально находится в состоянии 1 (рис. 1.8, в). Если это состояние – основное, то атом будет оставаться в нем до тех пор, пока не появится какое-либо действующее на него внешнее возмущение. Пусть на среду падает электромагнитная волна с частотой . В этом случае существует конечная вероятность того, что атом перейдет в верхнее состояние 2. Энергия, которая потребуется атому, чтобы осуществить этот переход, будет при этом заимствована из энергии падающей электромагнитной волны. В результате взаимодействия атом перешел в более высокое энергетическое состояние с поглощением кванта света. Этот процесс называетсяпоглощением фотона.

На этих трех процессах взаимодействия основана работа большинства приборов квантовой и оптической электроники. Управлять, а также предсказать момент спонтанного перехода принципиально невозможно. Можно говорить лишь о вероятности перехода. Вероятность спонтанного перехода с уровня Е₂ на уровень Е₁ за время с испусканием кванта света можно выразить соотношением

, (1)

где - коэффициент Эйнштейна для спонтанных переходов. Его значение не зависит от внешних факторов и определяется только свойствами данной квантовой системы.

Электромагнитное излучение, обусловленное спонтанными переходами коллектива атомов, называется спонтанным излучением. Оно ненаправлено, некогерентно, неполяризовано и немонохроматично.

Вынужденные квантовые переходы происходят под воздействием внешнего возмущения, которым является электромагнитное излучение. Вероятность таких переходов пропорциональна интенсивности возмущения. Поэтому вероятность поглощения фотона с частотой за время

, (2)

где - коэффициент Эйнштейна для вынужденных (индуцированных) переходов с поглощением,- спектральная плотность энергии излучения, характеризующая распределение энергии по частоте.

Вероятность индуцированного испускания фотона за интервал времени также пропорциональна интенсивности возмущения, т.е.

. (3)

Здесь - коэффициент Эйнштейна для вынужденных переходов с испусканием.

Принципиально важным является то, что фотон, появившийся в результате вынужденного испускания, неразличим с фотоном, индуцировавшим этот процесс, т.е. оба фотона имеют одну и ту же частоту, фазу, поляризацию и распространение в одном направлении. Поэтому вынужденное излучение является когерентным.

Определим связь между коэффициентами ,и. Пусть на уровненаходитсячастиц, а на уровне-частиц. Тогда число поглощенных квантов света за время

. (4)

Число квантов света, испущенных в результате спонтанных переходов

, (5)

а число квантов света, испущенных в результате индуцированного испускания

. (6)

Условие термодинамического равновесия означает, что суммарное число квантов света, испущенных системой, равно числу поглощенных квантов света.

(7)

или

. (8)

В условиях равновесия распределения атомов по энергетическим уровням подчиняется распределению Больцмана

, , (9)

где N- полное число частиц, и- статистический вес уровнейи.

Для невырожденных уровней == 1. Знакомобозначена статистическая сумма, где суммирование проводится по всем энергетическим состояниям.

Из (8) следует

. (10)

Величину илиназываютнаселенностью энергетического уровня или просто населенностью.

Подставим (9) в (8), имеем

(11)

или

. (12)

При малых частотах и высоких температурах спектральная плотность излучения определяется классической формулой Рэлея-Джинса

. (13)

При , а, и из (12) получаем соотношение между коэффициентами Эйнштейна для вынужденных переходов

. (14)

В случае, если кратность вырождения уровней иравны, то

, (15)

т.е. коэффициенты Эйнштейна для вынужденных переходов с поглощением и испусканием фотона равны.

Найдем теперь соотношение между коэффициентами и. Для этого из (10) получим

. (16)

При больших температурах, когда , можно экспоненту разложить в ряд и ограничиться первым после единицы членом. Тогда

. (17)

Сравнивая формулы (13) и (17), видим, что эти выражения будут тождественно равны, если

, . (18)

Первое выражение есть условие частот Бора. Второе позволяет связать коэффициенты спонтанного испускания с показателем поглощения, который может быть найден непосредственно из измерений. Выражения (14) и (18) являются общими, не зависят от внешних условий и типа вещества.

Подставляя (18) в (16), можно получить известную формулу Планка для спектрального распределения энергии излучения, т.е. спектральное излучение абсолютно черного тела.

. (19)

Величина представляет собой среднее число фотонов в заданном типе колебаний, а- среднюю энергию, приходящую на один тип колебаний. Коэффициентесть число типов колебаний в единичном объеме и в единичном интервале частот для свободного пространства.

В заключении отметим, что коэффициенты ,иявляются интегральными коэффициентами Эйнштейна. При их введении не учитывались направление и поляризация фотона, а также их частотная зависимость. Нас интересовал лишь факт испускания и поглощения фотона. Для учета перечисленных факторов вводят дифференциальные коэффициенты Эйнштейна.