книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2

Ðèñ. 22.14

Глава 22. Элементы теории колебаний и методы расчета переходных процессов

453

Учитывая, что передаточная функция устройства при разомкнутой обратной

связи K(p) kT3 p , ãäå T1 R1C1, T2 R2C2, T3 R2C1, записываем (1 T1 p)(1 T2 p) T3 p

амплитудно-фазовую частотную характеристику K(j ) и из условий Re K(j ) > –1, Im K(j ) 0 частотного критерия устойчивости, рассмотренного в § 13.8, по-

лучаем частоту	колебаний 0		1					, а также
					R1R2C1C2
соотношение	k 9	R1C1 R2C2	R2C1			между пара-
		R2C1

	метрами элементов цепи, при выполнении которого	Ðèñ. 22.13
	существуют автоколебания. Так как в полученном со-

отношении k < 0, то, следовательно, операционный усилитель должен быть инвертирующим, т. е. изменяющим фазу входного напряжения на 180Τ.

В ряде случаев в цепь генератора вводят дополнительные элементы, позволяющие улучшить форму колебаний и приблизить ее к синусоидальной.

22.7. Релаксационные колебания

Колебания в транзисторном генераторе, рассмотренные в предыдущем параграфе, характеризуются переходом энергии из конденсатора в катушку и обратно в колебательном контуре L, Ñ. Для осуществления таких

колебаний необходимы два накопителя энергии в виде катушки и конденсатора. Используя нелинейные элементы с характеристиками, имеющими падающие участки, можно получить автоколебания при одном накопителе энергии, обычно конденсаторе. Такие колебания носят название р е л а к с а ц и о н н ы х к о л е б а н и й.

Рассмотрим изображенную на рис. 22.14 цепь, в которой могут возникать релаксационные колебания.

Неоновая лампа с нелинейной характеристикой u ! (i), изображенной на рис. 22.15, включена параллельно конденсатору C. Между источником постоянного напряжения U0 и лампой включено достаточно большое сопротивление r1. Прямая U0 – r1i1 изображена также на рис. 22.15. Она пересекает характеристику лампы на падающем участке. Из рассмотрения в § 22.3 и 22.4 следует, что точка пересечения является точкой неустойчивого равновесия в цепи.

При включении цепи в момент t 0 под постоянное напряжение U0 конденсатор заряжается через сопротивление r1. Лампа не горит, и ток в ней i 0. Напряжение на конденсаторе (рис. 22.16) растет по закону (см. § 9.6)

			t
u U 1	e		1	, ãäå	r C.

1 1

Âмомент t t1 напряжение u на конденсаторе и на лампе достигает значе- ния U2, при котором лампа вспыхивает. Ток в лампе резко возрастает, и происходит скачкообразный переход состояния лампы от точки B в точку G характери-

454 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

стики. С этого момента ток в лампе поддерживается за счет разряда конденсатора. Пусть r2 есть среднее значение сопротивления лампы на участке GH характеристики. Так как r2 << r1, то при горении лампы можно не учитывать ток i1. Полагая r2 const, получаем закон изменения напряжения на конденсаторе во время горения лампы в виде (см. § 9.6)

		e	t t1
u U	2		2 , ãäå		2	r C.
						2

Ðèñ. 22.15

Ðèñ. 22.16

К моменту t t2 напряжение упадет до значения U1, при котором лампа гаснет. Ток в ней падает практически до нуля, и происходит скачкообразный переход состояния лампы из точки H в точку A характеристики. Интервал времени t2 – t1 определяется из выражения

					t2 t1								U
												ln
U		U		e		2 , откуда t			t					2	.
	1		2					2	1		2		U
														1

После погасания лампы конденсатор вновь начинает заряжаться от источника напряжения U0 через сопротивление r1 по закону

t

u U 0 Ae 1 .

Произвольную постоянную A определяем из условия, что при t t2 имеем u U1, откуда

t2

t t2

A (U

1

U

0

)e 1

è u U

0

(U

0

U

)e 1 .

1

К моменту t t3 конденсатор зарядится до напряжения U2, и лампа вновь вспыхнет. Интервал времени t3 – t2 определяется из уравнения

								t3 t2									U 0		U1
																ln					.
U		U		(U		U	)e		1 , откуда t			t
	2		0		0	1					3		2		1	U		0	U	2

В дальнейшем процесс периодически повторяется. Период колебаний равен

T t		t		ln	U 0 U1						ln	U 2		.
	3	1	1	U		0	U	2		2		U	1

Релаксационные колебания с успехом могут быть использованы, например, для осуществления линейной развертки луча катодного осциллографа. Действи-

Глава 22. Элементы теории колебаний и методы расчета переходных процессов

455

тельно, восходящие ветви кривой u F (t) (рис. 22.16) можно получить весьма близкими к прямолинейным, если они представляют собой только начальную часть кривой заряда конденсатора. Это будет иметь место, если U0 взять достаточно большим, чтобы было

t3 t2	ln	U 0 U1	99 1.
1
	U 0 U 2

Релаксационные колебания можно получить также в устройствах с другими схемами.

22.8. Методы расчета переходных процессов в нелинейных электрических цепях

Точное аналитическое решение нелинейных дифференциальных уравнений электрических цепей возможно для весьма ограниченного круга задач. Основными инструментами расчета нелинейных электрических цепей на практике являются графические методы, те или иные приближенные аналитические методы, методы численного решения дифференциальных уравнений.

Среди приближенных аналитических методов следует выделить метод медленно меняющихся амплитуд, метод приближенного аналитического выражения характеристик нелинейных элементов, метод кусочно-линейного выражения характеристик нелинейных элементов. При использовании метода приближенного аналитического представления характеристик успех в значительной мере зависит от удачного выбора формулы для приближенного описания нелинейной характеристики. Это обстоятельство весьма ограничивает возможности метода. Наиболее простым способом приближенного представления нелинейной характеристики элемента является ее изображение совокупностью прямолинейных отрезков, т. е. кусочно-линейное выражение характеристики нелинейного элемента. При использовании этого метода, во-первых, упрощается аналитическая запись нелинейной характеристики, во-вторых, в пределах каждого линейного участка характеристики изменения токов и напряжений описываются линейными дифференциальными уравнениями, что дает возможность использовать весь аппарат расчета переходных процессов в линейных цепях. Однако при этом возникает задача определения постоянных интегрирования. Эти постоянные следует определять, приравнивая значения токов и напряжений в конце некоторого участка к их значениям в начале последующего участка. Такой подход приводит

êрешению системы трансцендентных уравнений.

Ñразвитием вычислительной техники нашли широкое применение численные методы расчета переходных процессов в нелинейных цепях. Суть всех численных методов заключается в определении значений искомых токов и напряжений в отдельные моменты времени, разделенные некоторым интервалом. Если, например, имеем уравнение

dtdi f (i, t,u0 ),

то для момента времени tk+1, когда значение тока равно ik+1, имеем

456 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

h

h

ik 1 ik f (ik , tk ,u0 ) dt ik i' (ik , tk ,u0 ) dt,

0

0

ãäå h tk+1 – tk.

В зависимости от способа интегрирования второго члена различают и методы решения дифференциальных уравнений. Наиболее простое выражение получа- ют, полагая, что в интервале h производная искомой функции неизменна. Тогда имеют формулу

i

k 1

i

k

hf (i

k

, t

k

,u

0

) èëè

di

i

ik 1 ik

f (i

k

, t

k

,u

0

),

t

dt

h

которой определяется метод Эйлера, или метод последовательных интервалов. Согласно этому методу, весь интервал времени, в течение которого рассматривается процесс, разбивается на достаточно малые интервалы времени t h. Соответственно, дифференциалы всех величин в уравнениях заменяются конеч- ными приращениями этих величин за промежуток времени t h. Получив в конце некоторого интервала времени значение одной из двух величин, связанных между собой нелинейной зависимостью, находят вторую из этих величин, пользуясь заданной в табличной формой или графически нелинейной характеристикой. Эти величины принимаются как начальные в следующем интервале времени. Подобные многократно повторяющиеся операции просто осуществить

при помощи системы команд на ЭВМ.

Для численных методов исключительно большое значение имеет выбор подходящего интервала. Значение h сильно влияет на точность полученных результатов и на эффективность расчета в целом. Для нелинейных электрических цепей эта величина наперед неизвестна, и поэтому инженеру-расчетчику следует, исходя из физических соображений, опыта или знания некоторых особенностей рассматриваемого процесса, задавать наиболее приемлемые значения h.

В следующих параграфах показаны простейшие примеры применения некоторых из перечисленных ранее методов расчета нелинейных электрических цепей.

22.9. Метод графического интегрирования для расчета переходного процесса в нелинейной цепи

Метод графического интегрирования ценен тем, что при нем используется действительная характеристика нелинейного элемента без замены ее какой-либо другой близкой к ней характеристикой. В этом отношении метод графического интегрирования является наиболее точным. Однако в противоположность аналитическому методу, основанному на аналитическом выражении характеристики, он не дает общих связей, позволяющих судить о том, как изменяется процесс при изменении того или иного параметра. С некоторой неточностью, присущей всяким графическим построениям, в данном случае приходится мириться, так как и при аналитических методах решения нелинейных задач получаются только приближенные результаты вследствие необходимости принимать те или иные допущения.

Глава 22. Элементы теории колебаний и методы расчета переходных процессов

457

Рассмотрим метод графического интегрирования на примерах замыкания накоротко катушки с ферромагнитным сердечником и включения такой катушки под действие постоянного напряжения.

Исследуя переходные процессы в катушке с ферромагнитным сердечником различными методами, в данном случае графическим, не будем учитывать вихревые токи в сердечнике.

Уравнение, описывающее процесс короткого замыкания катушки, имеет вид

d < ri 0, dt

ãäå < F(i) — потокосцепление с обмоткой катушки, нелинейно зависящее от тока i; r — сопротивление обмотки. Имеем

	dt		d <	,
			ri
	откуда
	<	d <	<		d <
	t		0			,
	<	ri	< ri
	0

причем <0 — значение потокосцепления в момент замыкания катушки t 0. На рис. 22.17 изображены кривые намагничивания конкретной катушки

(рис. 22.18) с замкнутым сердечником из листовой трансформаторной стали. Кривая 1 представляет собой первоначальную кривую намагничивания, кривая 2 — нисходящую ветвь при убывании потокосцепления от <0 до остаточного значения <r 0,2 Вб. Пусть <0 1,1 Вб, чему соответствует ток I0 0,9 А. Сопротивление обмотки рассматриваемой катушки r 8,5 Îì.

Ðèñ. 22.17

Ðèñ. 22.18

Пользуясь кривой 2 на рис. 22.17, строим изображенную на рис. 22.19 кривую 1/(ri) !(<), располагая которой, легко можно найти зависимость < îò t. Действительно, согласно последнему выражению, время t от момента замыкания, в те-

458 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

чение которого потокосцепление изменяется от <0 äî <, определяется заштрихованной на рис. 22.19 площадью.

На рис. 22.20 построена полученная таким образом кривая <(t) для рассматриваемой катушки, а также кривая i(t). Для построения последней значения i находятся по кривой 2 рис. 22.17 соответственно каждому значению <. Здесь же для сравнения штриховыми линиями изображены кривые <(t) è i(t), которые

имели бы место при постоянной индуктивности L			<0 <r		11, 0,2	1Ãí,
	0		I 0	0,9

т. е. если бы потокосцепление убывало от <0 äî <r в зависимости от тока i по линейному закону < – <r L0i, чему соответствует штриховая прямая на рис. 22.17. Уравнения штриховых кривых на рис. 22.20 имеют вид

	t			t
i I0e	0 ; < (<0 – <r)e			0 + <r , ãäå 0 L0/r 1/8,5 0,118 ñ.

На рис. 22.20 обозначено <0 – <r .

Ðèñ. 22.19

Ðèñ. 22.20

Интересно обратить внимание на то, что вследствие нелинейности связи < F(i), изображенной на рис. 22.17 (кривая 2), ток вначале уменьшается быстрее, а поток — медленнее, чем при линейной зависимости между ними. Это можно пояснить следующим образом. Основное уравнение можно записать в виде

Lä dtdi ri 0,

ãäå Lä d</di !(i) — динамическая индуктивность. Так как в начальный момент Lä < L0 (см. рис. 22.17), то ток согласно последнему уравнению вначале падает быстрее, чем при L = L0 = const. Так как в те же моменты времени t òîê i оказывается меньшим, то меньшей получается и ЭДС — d</dt = ri, т. е. потокосцепление убывает медленнее, чем при L = L0 = const. Из основного уравнения имеем

d < ridt rdq; < r q,

Ðèñ. 22.21

Глава 22. Элементы теории колебаний и методы расчета переходных процессов 459

ãäå < — уменьшение потокосцепления; q — электрический заряд, перенесенный сквозь поперечное сечение цепи за промежуток времени от 0 до t. Величинаq определяется площадью, заштрихованной на рис. 22.20; она меньше, чем при

	L L0	const. Соответственно, меньше получается и <.
			<0	<r
	Так как величина q i dt				в обоих случаях должна быть одной и той
				r
		0

t

же, то кривая i(t) пересекается в некоторый момент времени с экспонентой I0e 0 . Замедление спадания тока при больших значениях t связано с большой динами- ческой индуктивностью на крутой части кривой намагничивания.

Исследуем теперь методом графического интегрирования процесс включения катушки с ферромагнитным сердечником под действие постоянного напряжения U0 (рис. 22.21). Метод проиллюстрируем на примере

той же конкретной катушки, для которой рассмотрен процесс короткого замыкания. Предположим, что перед включением сердечник был размагничен. В таком случае связь < F(i) будет характеризоваться первоначальной кривой намагничивания (кривая 1 на рис. 22.17). Дифференциальное уравнение теперь примет вид

			d<			ri U			,
				dt				0
	откуда
	<			d<			t
							dt		t.
		U		0	ri
	0						0

Пользуясь известной зависимостью < F(i) (кривая 1 на рис. 22.17), строим

		1
				. Заштрихованная на рис. 22.22 площадь дает в соответст-
кривую < !
U 0		ri

вующем масштабе время t, в течение которого потокосцепление увеличивается от 0 до <, т. е. позволяет найти зависимость <(t).

Напряжение U0 выберем так, чтобы установившийся ток I0, как и в предыдущем примере, был равен 0,9 А, т. е. примем U0 I0r 0,9 8,5 7,65 Â.

На рис. 22.23 изображена рассчитанная таким путем кривая <(t), а также кривая i(t). Для построения последней значения i для каждого момента времени берутся из кривой <(i) на рис. 22.17 соответственно найденным значениям < для этих моментов времени. Здесь же на рис. 22.23

штриховыми			линиями			изображены				кривые
		t					t
	1 e			è i I		1 e			, которые имели
< <0		Ι			0		Ι
										Ðèñ. 22.22

460 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

бы место при линейной связи потокосцепления и тока < L i, ãäå L				<	/I	0
		0	0	0
1,1/0,9 1,22 Гн, причем	L	r 1,22/8,5 0,144 ñ.
Ι	0

Ход кривой i(t) можно, как и в предыдущем примере, пояснить, написав уравнение в виде

L

di

ri U

.

ä

dt

0

Вначале Lä > L0 и ток нарастает медленнее, чем

ïðè L L

const. При больших токах L

ä

< L

0

0

и ток растет быстрее, чем при L L

const. Êðè-

0

t

âûå i(t) è i I

1 e

0

Ι

должны в некоторый мо-

мент времени пересечься. Действительно, независимо от закона изменения тока во времени имеем

Ðèñ. 22.23

d < (U 0 ri)dt,

è òàê êàê U0 I0r, òî

(I i)dt

1

<0 d <

<0

,

r

0

r

0

0

t

т. е. площадь на рис. 22.23, ограниченная кривой i(t) èëè i I

1 e

, îñüþ

0

Ι

ординат и горизонтальной линией I0, не зависит от закона изменения тока во времени.

Потокосцепление возрастает значительно быстрее, чем при L L const,

0

и практически к моменту времени t 0,25 с принимает свое установившееся зна- чение <0 .

22.10. Аналитический метод расчета переходных процессов, основанный на приближенном аналитическом выражении характеристики нелинейного элемента

Исследуем аналитическим методом задачу о замыкании накоротко катушки с ферромагнитным сердечником (рис. 22.24), рассмотренную в начале предыдущего параграфа методом графического интегрирования. Выразим приближенно кривую намагничивания

(кривую 2 íà ðèñ. 22.17) аналитически â âèäå

i a (< <

) b (< <

)n 1.

(*)

r

r

Ðèñ. 22.24

Для краткости записи обозначим

< <

; <

<

;

< <r

x.

r

0

r

0

<0 <r

0

Глава 22. Элементы теории колебаний и методы расчета переходных процессов

461

При этом уравнение кривой, замещающей кривую намагничивания, запишется в виде

i ax bx n 1,

ãäå a a

0

è b b

n 1 измеряются в амперах. Сделав подстановку x n

0

приведем уравнение к виду

i an

a

y an

a

y n 1 Ay(1 y n ), ãäå

A an

a

.

b

b

b

Дифференциальное уравнение

d < ri 0, dt

описывающее процесс в цепи, соответственно принимает вид

d < rAy(1 y n ) 0, dt

(**)

ab y,

èëè, òàê êàê x 0 0 n

a

y

0

A

y , òî

b

a

dy

ar

y(1 y n ) 0,

dt

0

откуда

dy

ar

dt.

(***)

y(1 y n )

0

Это уравнение легко интегрируется, так как

dy

1

ln(1 y n ) C,

y(1 y n )

n

что легко проверить дифференцированием.

При изменении времени от 0 до t потокосцепление изменяется от <0 äî <.
Соответственно x изменяется от 1 до x																												< <r
																																						, à y изменяется от n b a
																						0				<				0		<				r
äî n b a x.
Интегрируя в этих пределах уравнение (***), получаем
																									4						a									n 0
																									2		1													2
1									n b a									ar							2															2			ar
					ln (1 y	n	)								0					t èëè		ln									b 0											n		t.
																									5																1
			n																																a
									n																2							1								2
										b a									0																								0
																									2										b					2
																									6															3
Следовательно,																			n
											a											a				nar			t
																				1			e			0					1
											b					0						b

462 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

и окончательно

0

1.

(****)

b

nar t

b

n 1

e 0

a

a

Зависимость < F(i) для рассматриваемой катушки (кривая 2 на рис. 22.17) хорошо удовлетворяется, если принять в уравнении (*) ï 6, a 0,21 À/Âá è b 1,45 À/Âá7, т. е. если выразить кривую 2 на рис. 22.17 уравнением

i 0,21 1,45 7 .

Кривая замещения, соответствующая этому уравнению, изображена на рис. 22.17 штриховой линией. При этих числовых значениях коэффициентов

имеем

<

<

0,9Âá;

b

b

n

1,45

0,96

3,67;

0

0

r

a

0

a

0,21

nar

na r 6 0,21 8,5 10,7 1/ c.

0

Искомое решение имеет вид

0,9

Âá.

4,67e10,7t

3,67

На рис. 22.20 нанесены на кривой <(t) кружками точки, вычисленные по этому уравнению. Точки отлично ложатся на кривую <(t), построенную графи- чески, что объясняется хорошим совпадением кривой, выражаемой уравнением i 0,21 + 1,45 7, с действительной нисходящей кривой намагничивания < F(i), т. е. удачным подбором аналитического выражения последней.

Достоинство аналитического метода заключается в том, что найденное общее выражение (****) для потокосцепления < – <r дает возможность рассмотреть влияние на ход кривой <(t) различных параметров: b, a, n, r, <0, <r .

Можно было бы получить аналитическим путем результат для случая вклю- чения той же катушки под действие постоянного напряжения (см. рис. 22.21), подобрав аналитическое выражение для кривой намагничивания (кривая 1 на рис. 22.17). Новым и осложняющим решение фактором является теперь наличие в уравнении постоянного члена (U0 0). Ограничимся только указанием возможного общего пути такого решения, так как он относится к любым нелинейным уравнениям первого порядка, описывающим процесс в той или иной электрической цепи при постоянном напряжении на ее зажимах.

Выразим i F(<) â âèäå ðÿäà

n

i a0 a1< a2 < 2 ak < k ak < k .

k 0

В частном случае (кривая 1 íà ðèñ. 22.17) a0 0, но вообще это не обязательно. Для рассматриваемого примера имеем