книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2

Ðèñ. 21.45

Глава 21. Нелинейные электрические и магнитные цепи при периодических процессах

433

Так как вентили проводят ток только

âодном направлении (на рис. 21.45 — снизу вверх), то ток от зажимов 1, èëè 2, èëè 3 трансформатора может идти только вверх — через верхние вентили к зажиму A через цепь, приключенную к зажимам A è B, и от зажима B возвращаться через нижние вентили к одному из зажимов трансформатора. Поэтому

âцепи, приключенной к зажимам A è B,

ток течет всегда в одном направлении, т. е. происходит выпрямление тока

Напряжение же между зажимами A è B может иметь различные знаки. Если зажим A положителен, а зажим B отрицателен, что отмечено на рис. 21.45 первой парой знаков, то энергия передается слева направо от преобразователя к приемнику, приключенному к зажимам A è B (не показанному на рисунке). Это соответствует режиму выпрямления, т. е. преобразованию переменного тока в постоянный.

Если зажим A отрицателен, а зажим B положителен (вторая пара знаков на рис 21.45), то энергия передается в обратном направлении, т. е. справа налево — от источника энергии, приключенного справа к зажимам A è B (не показанного на рисунке), к преобразователю. Это соответствует режиму инвертирования.

Ðèñ. 21.46

На рис. 21.46 изображены синусоиды линейных напряжений u12, u23 è u31 между зажимами 1 è 2, 2 è 3, 3 è 1 (они помечены парами цифр 12, 23, 31). Эти напряжения положительны, когда потенциал зажима, соответствующий первому индексу, положителен по отношению к потенциалу зажима, соответствующему второму индексу. Здесь же показаны синусоиды линейных напряжений

434 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

u21 –u12, u32 –u23 è u13 –u31, т. е. напряжений между теми же зажимами, но взятых с другим знаком.

Если отсутствует сеточное управление, то в каждый момент времени должна гореть пара вентилей (один из верхней группы, другой из нижней группы), приключенных к зажимам трансформатора, напряжение между которыми в данный момент наибольшее. Так, например, в интервале t1 < t < t2, когда напряжение u13 превышает остальные напряжения, должны гореть вентили 1 из верхней группы и 3 из нижней группы, что отмечено на рис. 21.45 тем, что эти вентили зачернены. Вслед за моментом t2 напряжение u23 становится больше напряжения u13, и, следовательно, ток должен перейти от вентиля 1 к вентилю 2 верхней группы. Вентиль 1 должен погаснуть, а вентиль 2 — зажечься. Однако это не происходит мгновенно, так как обмотки трансформатора и обмотки подключенного к его первичным зажимам генератора переменного тока обладают индуктивностью. Поэтому переход тока с одного вентиля на другой будет происходить в течение некоторого промежутка времени Ξ/ , соответствующего углу Ξ (рис. 21.46), называемому у г л о м к о м м у т а ц и и. Пока горят два верхних вентиля 1 è 2 и один нижний 3 , напряжение на выходе между точками A è B, если пренебречь падением напряжения в вентилях, равно среднему значению напряжений u13 è u23, ò. å. uAB = (u13 + u23)/2. Когда коммутация закончится, т. е. вентиль 1 погаснет и в верхней группе останется гореть только вентиль 2 , напряжение uAB станет равным u23. Так будет до момента t3, когда начнется коммутация тока с вен - тиля 3 на вентиль 1 в нижней группе. Она закончится также через угол Ξ от момента t3. Затем в момент t4 начнется коммутация с вентиля 2 на вентиль 3 в верхней группе, в момент t5 — с вентиля 1 на вентиль 2 в нижней группе, и в момент t6 она должна начаться с вентиля 3 на вентиль 1 в верхней группе.

Так процесс продолжался бы, если бы выпрямитель оставался неуправляемым. Жирная линия на рис. 21.46 изображает кривую напряжения uAB на выходе. До момента t6 она представляет собой кривую выпрямленного напряжения неуправляемого выпрямителя.

Включим в промежутке между t5 è t6 сеточное управление, т. е. сообщим сеткам всех вентилей отрицательный потенциал по отношению к катодам, и будем подавать на сетки положительные импульсы напряжения, превышающие отрицательное напряжение на них. Импульсы будем подавать в порядке зажигания вентилей (1 , 3 , 2 , 1 , 3 , 2 ) через интервалы времени, соответствующие фазовому углу #/6 (нижняя часть рисунка).

При отсутствии управления в момент времени t6 должна была начаться коммутация тока с вентиля 3 на вентиль 1 . Однако если сдвинем все импульсы вправо от этого момента на угол , то в момент t6 вентиль 1 зажечься не сможет, так как напряжение на его сетке отрицательно, и, следовательно, будет продолжать гореть вентиль 3 . В момент времени t6 + / подается положительный импульс на сетку вентиля 1 и он зажигается, так как его потенциал выше потенциала горящего вентиля 3 верхней группы. В течение интервала времени Ξ/ происходит коммутация тока на вентиль 1 , после чего горят вентили 1 è 2 äî

Глава 21. Нелинейные электрические и магнитные цепи при периодических процессах 435

момента подачи положительного импульса на сетку вентиля 3 , когда начинается коммутация тока в нижней группе с вентиля 2 на вентиль 3 ϑ è ò. ä.

Легко усмотреть, что среднее значение выпрямленного напряжения при этом получается меньше, чем при отсутствии регулирования. Чем больше угол , тем меньше среднее значение выпрямленного напряжения. Поэтому угол называют у г л о м р е г у л и р о в а н и я.

Предположим, что в момент времени t7 положительные импульсы на сетке сдвинуты еще более вправо и угол стал больше #/2, так что зажигание следующего вентиля происходит уже при напряжении другого знака. Вследствие этого и напряжение uAB меняет свой знак. Преобразователь переходит в инверторный режим. Этот режим возможен, если к зажимам A è Â справа от них присоединен другой источник энергии постоянного тока, например другой преобразователь с такой же схемой, работающий в выпрямительном режиме. Момент подачи положительного импульса при этом принято отсчитывать не от точки пересечения кривых положительных значений напряжений u32 è u12, т. е. не с помощью угла, а от точки пересечения кривых отрицательных значений тех же напряжений, т. е. с помощью угла Π. Угол Π называют у г л о м о п е р е ж е н и я зажигания инвертора. Очевидно, Π # – .

При заданном среднем значении выпрямленного тока чем меньше Π, тем больше uAB, что легко усмотреть из рис. 21.46.

Угол − Π – Ξ называют у г л о м б е з о п а с н о с т и работы инвертора. Он должен быть больше нуля и больше угла −0, достаточного, чтобы к моменту оче- редного пересечения кривых напряжения успела закончиться деионизация пространства в только что погасшем вентиле.

Пусть в момент t8 угол Π уменьшился настолько, что получилось Π – Ξ < −0. Это значит, что к моменту пересечения кривых напряжений u32 è u21 погасающий вентиль 3 или еще не погаснет, или, во всяком случае, в нем не успеет закончиться деионизация после погасания. Так как после момента пересечения этих кривых u23 становится больше u21, то ток снова перейдет с вентиля 1 обратно на вентиль 3 и пара вентилей 2 è 3 будет продолжать гореть, что приведет к изменению знака напряжения на зажимах A è B.

Так как напряжение источника энергии, приключенного слева от этих зажимов, не изменило своего знака, то произойдет эффект короткого замыкания. Этот аварийный процесс называют о п р о к и д ы в а н и е м и н в е р т о р а. Отсюда видно, что чрезвычайно важно поддерживать угол Π достаточным, чтобы соблюдалось неравенство − > −0.

Описанные устройства находят применение в электротехнике. Они имеют особое значение для осуществления мощных электрических передач энергии постоянным током высокого напряжения на большие расстояния, так как ионные вентили могут быть построены на большой ток и большое напряжение. Коэффициент полезного действия таких преобразователей весьма высок, так как падение напряжения в ионных вентилях мало. На рис. 21.47 дана принципиальная схема передачи постоянного тока.

436 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

Ðèñ. 21.47

При очень длинных и мощных линиях передача энергии постоянного тока высокого напряжения имеет большие технико-экономические преимущества по сравнению с передачей энергии переменного тока. При передаче энергии постоянного тока не требуется синхронной работы генераторов переменного тока, находящихся на различных концах линии передачи, отсутствуют индуктивное падение в линии и токи смещения между проводами линий, требуется меньше проводов в линии, облегчается изоляция проводов, так как действующее постоянное напряжение не отличается от максимального, как это имеет место при переменном токе, облегчаются опоры для проводов линии, сеточное управление дает возможность легко осуществить регулирование передачи и т. д.

Уже в 1919 г. изобретатель трехфазной системы передачи переменного тока М. О. Доливо-Добровольский указывал, что проблема передачи энергии на большие расстояния должна быть решена с использованием постоянного тока.

В каждом интервале времени горения определенных групп вентилей цепь можно рассматривать как линейную. Для нахождения токов необходимо найти полные интегралы системы линейных уравнений, описывающих процессы в этой цепи. При этом начальные условия в каждом последующем интервале должны соответствовать значениям токов и напряжений в конце предыдущего интервала. Весь этот расчет выполняется методом сопряжения интервалов.

21.21. Конденсаторы с нелинейными характеристиками в цепи переменного тока

Конденсаторы с сегнетоэлектриками, имеющие нелинейную характеристику q f(u), так же как и реактивные катушки с ферромагнитными сердечниками, могут быть использованы для осуществления цепей переменного тока с особыми свойствами.

Рассмотрим в виде примера мостовую схему (рис. 21.48), в которой в двух плечах включены одинаковые конденсаторы с постоянной емкостью C1, т. е. имеющие одинаковые линейные характеристики q1 C1u1, а в двух других плечах включены конденсаторы с одинаковыми нелинейными характеристиками q2 F (u2)

Если к одной из диагоналей моста подвести синусоидальное Ðèñ. 21.48 напряжение u U sin t, то ток в плечах моста будет содержать

1m

Ðèñ. 21.50

Глава 21. Нелинейные электрические и магнитные цепи при периодических процессах

437

нечетные высшие гармоники, и, соответственно, нечетные высшие гармоники

будут содержаться в кривых напряжений u1 è u2. Будем иметь

u

U

sin( t

) U

3m

sin(3 t

3

) U

5m

sin(5 t

5

) ;

1

1m

.

u

2

U

sin( t

) U

3m

sin(3 t

3

) U

5m

sin(5 t

5

)

1m

.

Все высшие гармоники в кривой u1 должны быть равны и противоположны соответствующим высшим гармоникам в кривой u2, так как сумма u1 u2 u

U sin t не содержит высших гармоник.

m

При изменении амплитуды U приложенного напряжения изменяется ток

m

в конденсаторах, а следовательно, изменяется соотношение между первыми гар-

мониками напряжений u1 è u2, так как только один из последовательно включен-
ных конденсаторов обладает нелинейной характеристикой.
При этом изменяются также и значения высших гармоник.
При надлежащем подборе параметров конденсаторов можно
добиться того, чтобы при некотором значении U величины
U sin( t +		) èU sin( t +		m
				) были практически равны друг
m		1	1m	.
другу. Точное их равенство не удается получить из-за наличия
углов	è	, которые появляются вследствие потерь в кон-
	1	.			Ðèñ. 21.49
денсаторе с сегнетоэлектриками. Эти углы можно компенси-

ровать, включив в другие плечи моста последовательно с конденсаторами C1 сопротивления r1 (рис. 21.49). Добившись равенства первых гармоник напряжений u1 è u2, получаем во второй диагонали моста напряжение u , содержащее только высшие гармоники:

u" u1 u2 2U 3m sin(3 t 3 ) 2U 5m sin(5 t 5 ) ,

причем третья гармоника резко выделяется из всех остальных. Таким образом, рассмотренное простое устройство может служить утроителем частоты.

Можно осуществить схемы для выделения гармоник высокого порядка. Например, с помощью изображенной на рис. 21.50 схемы представляется возможным выделить в контуре L1C1 гармоники порядка k = 21 с достаточной амплитудой, настраивая контур в резонанс с этой гармоникой. Конденсатор C служит в этой схеме для того, чтобы дать путь высшим гар-

моникам помимо обмотки трансформатора. Нелинейный конденсатор в опытах, произведенных с такой схемой, имел в качестве диэлектрика титанат бария.

Схема на рис. 21.49 в некотором диапазоне изменения напряжения U работает как стабилизатор напряжения; действующее напряжение U на выходе при этом мало изменяется при значительном изменении напряжения U на входе.

Можно осуществить усилитель с конденсаторами из сегнетоэлектриков наподобие ферромагнитным усилителям мощности. Если приложить к конденсатору медленно изменяющееся напряжение u0, то для дополнительного переменного напряжения высокой частоты динамическая емкость и, соответственно, емкостное сопротивление конденсатора будут зависеть от величины u0. Изменяя u0 с низкой частотой, можно влиять на процессы в цепи высокой частоты, вызывая в ней зна- чительное изменение мощности при весьма малой затрате энергии в цепи низкой

438 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

частоты. Практически величина u0 складывается из постоянного напряжения U0 и управляющего напряжения U сравнительно низкой, например звуковой, частоты.

Энергия в цепи высокой частоты вырабатывается включенным в эту цепь источником переменного напряжения высокой частоты, например ламповым генератором. На рис. 21.51 приведены три простые схемы включения диэлектрических усилителей с конденсаторами, обладающими нелинейными характеристиками. В качестве диэлектрика в таких конденсаторах могут быть использованы титанат бария, а также некоторые сочетания титанатов стронция и бария и цирконатов бария со свинцом. В зависимости от состава диэлектрика получается различная зависимость диэлектри- ческой проницаемости от температуры. Диэлектрический усилитель обладает рядом достоинств: большой прочностью, высоким коэффициентом

Ðèñ. 21.51 усиления, малыми размерами, высоким входным сопротивлением, отсутствием необходимости затрачивать время на разогрев, так как в нем нет нитей накала, имеющихся

в ламповых усилителях. К недостаткам его относятся: значительные потери, необходимость для его питания источника высокой частоты и нестабильность коэффициента усиления при изменении температуры, что требует осуществления специальной компенсации.

21.22. О коэффициенте мощности при питании нелинейной цепи от источника синусоидального напряжения

В мощных электрических системах напряжение обычно близко к синусоидальному. Если к такой системе приключают приемник с нелинейной характеристикой, то ток, поступающий в приемник, содержит высшие гармоники.

Характерным случаем является питание выпрямительных установок от мощной электрической сети. В этом случае активная мощность определяется только основной гармоникой:

P U1I1 cos !1.

Вместе с тем имеем I I 2		I 2	I 2	8 I		1	è U U	.
1		2	3				1

Следовательно, выражая P через U è I, получаем

P U1I1 cos !1 UI II1 cos !1 UId cos !1 UIΧ.

Таким образом, коэффициент мощности Χ меньше cos !1:

Χ d cos !1 9 cos !1,

òàê êàê d I1/I < 1. Множитель d тем меньше единицы, чем больше содержится гармоник в кривой тока. Его называют иногда к о э ф ф и ц и е н т о м и с к а ж е - н и я. Отсюда видно, что с энергетической точки зрения появление высших гармоник в кривой тока нежелательно.

Глава двадцать вторая

Элементы теории колебаний и методы расчета переходных процессов

в нелинейных электрических цепях

22.1. Особенности колебательных процессов в нелинейных электрических цепях

Явления колебаний токов и напряжений в электрических цепях рассматривались ранее во многих разделах. К ним относились все периодические процессы как в линейных, так и в нелинейных электрических цепях, а также колебательные переходные процессы в линейных цепях. В линейных цепях при воздействии постоянных ЭДС установившимися могут быть только постоянные токи. При воздействии заданных периодических ЭДС в линейных цепях устанавливаются вполне определенные периодические токи. При переходных процессах в пассивных линейных цепях раз возникшие свободные колебания со временем затухают.

Существенно иной характер могут иметь колебательные процессы в нелинейных электрических цепях. При воздействии постоянных ЭДС в нелинейной цепи установившимися могут быть не только постоянные токи, но и колебательные токи. Последние возникают вследствие возможности неустойчивых состояний в нелинейной цепи, причем амплитуда установившихся колебаний определяется нелинейными свойствами цепи. При воздействии одной и той же периодической ЭДС в нелинейной цепи могут существовать различные колебательные установившиеся процессы, что зависит от исходных состоянии, из которых совершался переход к данному установившемуся процессу.

22.2. Устойчивость режима в цепи с индуктивностью и нелинейным сопротивлением, питаемой от источника постоянного напряжения

Рассмотрим цепь, в которую последовательно включены участок с постоянным сопротивлением r, индуктивная катушка с индуктивностью L и электрическая дуга (рис. 22.1). Пусть цепь находится под действием постоянного напряжения u0. Электрическая дуга обладает падающей характери-

стикой u F(i), изображенной на рис. 22.2. Уравнение цепи Ðèñ. 22.1 имеет вид

u0 ri L dtdi u.

При равновесии в цепи ток не должен изменяться, т. е. должно быть di/dt 0. Условимся обозначать все величины при равновесии с индексом «р». На рис. 22.2 проведена также прямая u0 – ri. Равновесие имеет место при пересечении этой прямой с характеристикой дуги, т. е. в точках A è B. Выясним, какое из этих

440 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

состояний равновесия будет устойчивым, а какое — неустойчивым. При равновесии имеем

u0 rip up .

(*)

Пусть в некоторый момент времени, который примем за начальный (t 0), по какой-либо причине ток получил малое отклонение ?0 от положения равновесия. В следующие моменты времени это отклонение начнет изменяться, т. е. будет функцией времени. Обозначим его через ?. При этом ток будет

равен

i ip ?.

Напряжение u на дуге можно выразить через его значение uð при равновесии и через ?, разлагая u F (ið + ?) в ряд по степеням ?. Отбрасывая в пер-

Ðèñ. 22.2 вом приближении члены с ? во второй и более высоких степенях, получаем

	du
u up u up				? up rä ? ,
		di i=ip

du

ãäå rä — динамическое сопротивление участка с электрической дугой

di i ip

ïðè i ið.

Учитывая еще, что di/dt d?/dt и подставляя выражения для i, di/dt è u в основное уравнение цепи, находим

u0 rip r? L ddt? up rä ?.

Вычитая отсюда уравнение равновесия (*), получаем уравнение для приращения тока ?:

L ddt? (r rä )? Ι.

Это уравнение оказалось линейным, поскольку мы ограничились первым приближением, т. е. ограничились первым членом в разложении u по степеням ?. Его характеристическое уравнение

L (r rä ) Ι

имеет единственный корень

r Lrä ,

èрешение для ? с учетом начального его значения имеет вид

r rä t

??0 e L .

Глава 22. Элементы теории колебаний и методы расчета переходных процессов

441

Åñëè < 0, ò. å. åñëè (r + rä) > 0, òî ? 0 ïðè t , ò. å. òîê i возвращается к его значению ið при равновесии.

Наоборот, при > 0, т. е. при (r + rä) < 0, имеем ? ïðè t , т. е. величи- на i удаляется от ее значения ip при равновесии.

Так как вследствие падающей характеристики дуги rä dudt 9 0, то условие

(r + rä) > 0 означает, что наклон прямой u0 – ri больше наклона кривой u F(i), что имеет место в точке Â. Эта точка является точкой устойчивого равновесия.

Условие (r + rä) < 0 означает, что наклон прямой u0 – ri меньше наклона кривой è F(i), что имеет место в точке À. Эта точка является точкой неустойчивого равновесия. Малейшее отклонение от нее ведет либо к переходу в точку Â, либо к погасанию дуги.

Таким образом, устойчивое состояние соответствует отрицательному корню характеристического уравнения, относящегося к линейному в первом приближении уравнению для отклонения ?. Можно сказать также, что устойчивое состояние данной цепи характеризуется тем, что динамическое сопротивление (r + rä) всей цепи положительно.

22.3. Устойчивость режима в цепи с емкостью и нелинейным сопротивлением, питаемой от источника постоянного напряжения

Рассмотрим теперь цепь, изображенную на рис. 22.3, где уча- сток с нелинейным сопротивлением имеет падающую характеристику типа характеристики, показанной на рис. 22.2. Для нее имеем уравнения

u0 ri1 u; i1 i iC i C dudt .

Следовательно,

u0 ri rC dudt u.

При равновесии è uð const è du/dt 0, ò. å. u0 rip up.

Ðèñ. 22.3

(**)

(***)

Пусть напряжение u получает вследствие какой-либо причины в момент t 0 малое приращение ?0. Дальше это приращение ? изменяется во времени. Имеем

u u		? è	du		d?	.
	p
			dt		dt

Òîê i есть функция напряжения u, определяемая характеристикой участка с нелинейным сопротивлением, т. е. i (u). Разлагая i (uð + ?) по степеням ? и отбрасывая в первом приближении все члены с ? в степени выше первой, полу- чаем

		di
i ip				? ip gä ?,
	du u u
			p

Ðèñ. 22.4

442 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

ãäå gä (di du)u up — динамическая проводимость участка с нелинейным сопротивлением при u up.

Подставляя в основное уравнение (**) цепи величины i, du/dt è u и вычитая из него уравнение равновесия (***), получаем в этом первом приближении линейное уравнение для ?:

rC	d?	(g		r 1)? Ι èëè	C	d?	(g		g)? Ι,
			ä					ä
	dt					dt

ãäå g 1/r. Его характеристическое уравнение C + (g + gä) 0 имеет единственный корень –(g + gä)/C, и решение для ? имеет вид

				g gä	t
? ?	0	e		C .

Ïðè < 0, ò. å. ïðè (g + gä) > 0, отклонение стремится к нулю при возрастании времени. При этом имеем устойчивое состояние.

Нетрудно убедиться, что точкой устойчивого равновесия теперь является

точка À (рис. 22.2). Для этой точки (r + rä) < 0, и следовательно, r rä 8 0, òàê rrä

êàê rä < 0. Таким образом, для точки À удовлетворяется условие устойчивого равновесия

r rä 1 1 (g gä ) 8 0. rrä r rä

Точка Â теперь является точкой неустойчивого равновесия.

Таким образом, устойчивое состояние и в этом случае соответствует отрицательному корню характеристического уравнения, относящегося к линейному в первом приближении уравнению для отклонения ?. Можно сказать также, что устойчивое состояние данной цепи характеризуется тем, что сумма динамиче- ских проводимостей (g + gä) положительна.

22.4. О выборе эквивалентной схемы для рассмотрения вопроса об устойчивости

Рассмотрим простейший случай, когда цепь состоит только из последовательно включенных сопротивления r и нелинейного элемента, имеющего участок с падающей характеристикой (рис. 22.4), и в цепи нет явно включенных конденсатора и катушки. Пусть напряжение u0, сопротивление r и характеристика u F (i) таковы, что имеют место две точки равновесия À è Â (рис. 22.5). Возникает во-

прос, какая из точек À èëè Â может быть точкой устойчивого равновесия. Из рассмотрения в предыдущих параграфах видим, что решение этого вопроса зависит от наличия индуктивности или емкости в цепи. Любой участок реальной цепи, в том числе и любой реальный нелинейный элемент, обладает, как было сказано в гл. 3, распределенными емкостью и ин-

дуктивностью. Учитывая только индуктивность, получим один ответ (см. § 22.2), а учитывая только емкость, получим другой ответ (см. § 22.3). При учете и ин-