книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2

Глава 20. Расчет нелинейных электрических и магнитных цепей при постоянном токе

393

магнитный поток Μ при таком допущении оказывается одинаковым во всех се- чениях цепи.

Отношение магнитодвижущей силы (МДС) вдоль всей цепи, равной интегралу напряженности магнитного поля вдоль всей цепи H dl iw, к магнитному

потоку Μ называют м а г н и т н ы м с о п р о т и в л е н и е м такой цепи:

Rì iwΜ .

Величина, обратная магнитному сопротивлению, называется м а г н и т н о й

ïр о в о д и м о с т ь ю магнитной цепи:

1 Μ .

Rì iw

Величины Rì и являются основными параметрами магнитной цепи.

Соотношение

Μ iw Rì

называют з а к о н о м м а г н и т н о й ц е п и. Оно по форме аналогично закону Ома для замкнутой электрической цепи при постоянном токе:

i er ,

ãäå e — ЭДС, действующая в электрической цепи; i — òîê â íåé è r — ее электри- ческое сопротивление.

Всю МДС вдоль замкнутой магнитной цепи можно представить в виде суммы МДС на отдельных разнородных участках магнитной цепи, так как интегралH dl вдоль замкнутого пути может быть представлен в виде суммы интегралов

вдоль отдельных участков этого пути. Для электромагнита (см. рис. 20.41) такими участками являются ферромагнитный сердечник со средней длиной lôåð

èвоздушный промежуток длиной −. Имеем

H dl H dl H dl F1 F2 .

lôåð −

Соответственно, получаем

H dl

F

F

2

R

R

R

1

,

ì

Μ

Μ

Μ

ì1

ì2

ãäå Rì1 — магнитное сопротивление сердечника; Rì2 — магнитное сопротивление воздушного промежутка. Если сечение s какого-либо участка постоянно и напряженность магнитного поля, магнитную индукцию и, соответственно, магнитную проницаемость в разных точках сечений участка можно приближенно считать одинаковыми, то имеют место приближенные выражения

Μ B ds Bs Hs è H dl H ñð lñð ,

s l

ãäå lñð —средняя длина вдоль участка.

394 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

Например, принимая такие допущения для сердечника электромагнита (см. рис. 20.41), получим

R			Hlôåð		lôåð	.
	ì1		Hs		s

Вычисление по аналогичной формуле магнитного сопротивления Rì2 воздушного зазора между полюсами электромагнита было бы слишком грубым. Здесь для вычисления Rì2 надо рассчитать картину поля.

Итак, для замкнутого контура магнитной цепи имеем

k 2

H dl iw F1 F2 Rì1Μ Rì2Μ Rìk Μ.

k 1

Âрассмотренном примере одноконтурной магнитной цепи поток Μ во всех участках цепи один и тот же.

Âразветвленной (многоконтурной) магнитной цепи магнитный поток разветвляется в узлах цепи.

Для каждого узла на основании принципа непрерывности магнитного потока можно написать

n
B ds Μk 0,	(*)

sk 1

ò.å. сумма магнитных потоков, отходящих по всем ветвям магнитной цепи от узла цепи, равна нулю. Это соотношение аналогично уравнению для узла электрической цепи, написанному согласно первому закону Кирхгофа:

ik 0.

Для любого контура разветвленной магнитной цепи в соответствии со сказанным выше можем написать уравнение

n	n
ikwk	Rìk Μk ,	(**)
k 1	k 1

ò. å. МДС вдоль замкнутого контура магнитной цепи равна сумме произведений магнитного сопротивления на магнитный поток во всех участках (ветвях) öåïè,

входящих в этот контур. Это уравнение аналогично уравнению для контура электрической цепи

ek rk ik ,

составленному на основании второго закона Кирхгофа при постоянном токе. Уравнений типа (*) должно быть q – 1, åñëè q — число узлов магнитной цепи.

Уравнений типа (**) должно быть n p – q + 1, ãäå p — число ветвей магнитной цепи.

Таким образом, расчет магнитных цепей, если можно пренебречь потоками рассеяния, аналогичен расчету нелинейных электрических цепей с сосредото- ченными параметрами, причем МДС iw соответствует ЭДС e, потоку Μ соответствует ток i и магнитному сопротивлению Rì соответствует электрическое сопротивление r.

Глава 20. Расчет нелинейных электрических и магнитных цепей при постоянном токе

395

Однако такой приближенный расчет возможен только для сравнительно простых магнитных цепей, так как для сложных магнитных цепей уже нельзя пренебрегать потоками рассеяния. Наличие потоков рассеяния в сложных магнитных цепях чрезвычайно усложняет расчеты. Такие расчеты можно проводить

методом последовательного приближения. Сначала находим распределение МДС по участкам, пренебрегая потоками рассеяния. Затем на основе этого распределения, пользуясь методами расчета поля, находим потоки рассеяния и уточняем потоки в участках магнитной цепи. Это дает возможность уточнить распределение МДС и, соответственно, значения потоков рассеяния и т. д.

Приведенная аналогия магнитных и электрических цепей формальна. По своему физическому содержанию закон магнитной цепи и закон Ома для электрической цепи существенно различаются между собой. Существование постоянной ЭДС возможно без возникновения под ее действием электрического тока в электрической цепи, если цепь из проводников разомкнута и сопротивление всей цепи бесконечно велико. Напротив, существование магнитодвижущей силы всегда связано с одновременным существованием магнитного потока.

20.11. Расчет магнитной цепи с последовательным соединением участков

Магнитные цепи в практических устройствах обычно содержат участки из ферромагнитных материалов, магнитная проницаемость которых зависит от напряженности магнитного поля, т. е. обычно мы имеем дело с н е л и н е й н ы м и м а г н и т н ы м и ц е п я м и.

Если в первом приближении можно не учитывать так называемые м а г н и т - н ы е п о т о к и р а с с е я н и я, ответвляющиеся в воздух от главной магнитной цепи, то, как было сказано в предыдущем параграфе, расчет сложной магнитной цепи оказывается аналогичным расчету соответствующей сложной нелинейной электрической цепи.

В простейшем случае последовательного соединения всех участков магнитной цепи полная магнитодвижущая сила F wi, определяемая током i в обмотке, имеющей w витков, равна сумме магнитодвижущих сил на отдельных участках, т. е.

F H dl wi Fk .

Если можно пренебречь потоками рассеяния, то потоки Μ во всех последовательно соединенных участках, во всех сечениях sk данного участка будут одинаковы. Применяя закон магнитной цепи для всей магнитной цепи и для ее участков, будем иметь

F ΜRì ; Fk ΜRìk ,

ãäå Rì — магнитное сопротивление всей магнитной цепи; Rìk — магнитное сопротивление ее k-гo участка. Подставляя эти выражения в равенство F ΝFk и сокращая на Μ, получаем

Rì Rìk ,

ò. å. при последовательном соединении общее магнитное сопротивление вычисляется как сумма магнитных сопротивлений всех участков.

396 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

Пусть в частном случае сечение sk участка постоянно вдоль него, и можно, пренебрегая потоками рассеяния, считать, что поток распределен равномерно по сечению. В этом частном случае и при таких допущениях магнитная индукция будет одинакова во всех точках данного участка. Соответственно одинакова во всех точках будет и магнитная проницаемость, если весь участок состоит из однородного материала. В таком случае можно написать

R			lk		,
	ìk
			sk	k

ãäå lk — длина и k — абсолютная магнитная проницаемость k-ro участка, и, соответственно,

R			lk		.
	ì
			sk	k

На рис. 20.42 схематически изображена магнитная цепь двухполюсной электрической машины. Хотя поток в ярме и разветвляется на две части, такую цепь можно рассматривать как неразветвленную, удвоив сечение ярма. Так можно поступить ввиду того, что обе части ярма имеют равные магнитные сопротивления. Конечно, цепь можно рассматривать как неразветвленную, только пренебрегая потоками рассеяния. Практически расчет ведут по следующей схеме. Большей частью заданным является магнитный поток Μ, который должен быть образован в рассчитываемой магнитной цепи, например в воздушном зазоре машины. На основе общих данных выполняют эскиз магнитной цепи проектируемого устройства и выбирают материал для каждого участка цепи.

Ðèñ. 20.42 Задают среднее значение магнитной индукции в каждом участке цепи. Это среднее значение индукции выбирают в зависимости от рода материала участка и от назначения данного участ-

ка цепи в общем устройстве. После этого определяют сечение s каждого участка как отношение потока к индукции.

Далее, поскольку выбраны значения индукции и материал, можно по кривым намагничивания найти для каждого участка значение напряженности поля H. Но напряженность поля численно равна МДС, приходящейся на единицу длины. Поэтому МДС, необходимая для проведения потока через данный участок цепи, равна произведению Hk lk. В случае последовательного соединения всех участков цепи полная искомая МДС, необходимая для образования заданного потока, равна сумме МДС на отдельных участках, т. е.

wi H k lk H1l1 H 2 l2

В случае если при заданной конструкции магнитной цепи заданной является МДС wi, а не поток Μ, следует пользоваться для расчета общим методом, изложенным в следующем параграфе.

При более точном подсчете должны быть учтены и потоки рассеяния. Вследствие наличия потоков рассеяния магнитный поток может быть различным в от-

Глава 20. Расчет нелинейных электрических и магнитных цепей при постоянном токе

397

дельных следующих друг за другом участках магнитной цепи, а также в различ- ных сечениях одного и того же участка. Необходимо учесть также и то, что поток распределяется в отдельных местах неравномерно по сечению. Так, например, около краев полюсов машины (см. рис. 20.42) происходит сгущение линий магнитной индукции и магнитная индукция в полюсных наконечниках в этих местах принимает очень большие значения. Соответственно, эти места полюсных наконечников сильно насыщены и магнитная проницаемость их сравнительно невелика. Последнее обстоятельство учитывают соответствующими опытными коэффициентами.

Мы видим, что точный расчет даже сравнительно простой магнитной цепи оказывается весьма сложным.

20.12. Расчет разветвленных магнитных цепей

Если пренебречь потоками рассеяния, то, как было сказано в § 20.10, расчет разветвленной магнитной цепи аналогичен расчету соответствующей электрической цепи с сосредоточенными параметрами. Так как магнитные цепи являются нелинейными, то метод их расчета при этих условиях аналогичен методам расчета нелинейных электрических цепей, изложенным в § 20.2 и 20.3. Пусть имеется разветвленная магнитная цепь, изображенная на рис. 20.43, à. При расчете необходимо использовать кривую намагничивания материала B =f(H), дающую зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля (рис. 20.43, á).

Ðèñ. 20.43

Пользуясь кривой намагничивания, строим кривые Μ f(F ) для каждого участка в отдельности (кривые 1, 2 è 3 на рис. 20.44). Для построения этих кривых необходимо умножить ординаты кривой намагничивания, изображенной на рис. 20.43, á, на сечения участков и абсциссы — на длины участков. Например, кривая 1, дающая зависимость Μ1 f(F1), получается умножением ординат кривой на рис. 20.43, á íà s1 и абсцисс — на l1. Òàê êàê

Μ1 Μ2 Μ3 è F2 F3 F23 ,

то, складывая ординаты кривых 2 è 3 на рис. 20.44, определяющих зависимости

Μ2 f(F2) è Μ3 f(F3), получим кривую 4, дающую зависимость Μ1 f(F23). Например, точка d кривой 4 определяется суммой ad ab + ac.

Полная МДС iw равна сумме МДС F1 è F23, необходимых для проведения потока Μ. через первый участок и через параллельно соединенные второй и третий участки:

398 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

iw F1 F23 .

Поэтому, складывая абсциссы кривых 1 è 4, определяющих зависимости Μ1 f(F1) è Μ1 f(F23), получаем кривую 5, дающую связь Μ1 f(iw). Например, точка k кривой 5 определяется суммой ek ed + eg.

Легко усмотреть, что метод расчета этой разветвленной магнитной цепи аналогичен методу расчета показанной на рис. 20.43 соответствующей электриче- ской цепи с нелинейными элементами, изложенному в § 20.2.

Ðèñ. 20.44

Ðèñ. 20.45

Аналогия с электрическими цепями может быть с успехом использована и для расчета более сложных магнитных цепей, в которых имеются катушки с токами в различных ветвях магнитной цепи. Например, расчет магнитной цепи, приведенной на рис. 20.45, аналогичен расчету электрической цепи, показанной на этом же рисунке. При этом необходимо воспользоваться методом, изложенным для электрической цепи в § 20.3. При такой аналогии ЭДС заменяются МДС, электрические сопротивления — магнитными сопротивлениями и электрические токи — магнитными потоками.

На рис. 20.43 приведена кривая намагничивания без учета гистерезиса. При учете гистерезиса задача становится, строго говоря, неопределенной, и результат будет зависеть от наличия остаточной индукции до включения токов, а также от порядка включения токов в отдельных обмотках. Эти осложнения скажутся незначительно при большом насыщении ветвей магнитной цепи, так как при этом восходящие и нисходящие ветви петли гистерезиса близко сходятся. Однако при большом насыщении необходимо учитывать наличие потоков рассеяния. В этом случае, как было отмечено в § 20.10, следует пользоваться методом последовательных приближений.

Производим первый расчет, пренебрегая потоками рассеяния. Зная из этого расчета распределение МДС вдоль участков магнитной цепи, можно определить приближенно потоки рассеяния, используя картины магнитного поля в пространстве, окружающем магнитную цепь. Учитывая потоки рассеяния, вносим поправки в значения магнитных потоков в различных сечениях каждого участка магнитной цепи. После этого требуется внести коррективы в значения потоков и МДС, чтобы удовлетворялись законы магнитной цепи. Новому распределению МДС будут соответствовать новая картина и новые значения потоков рассеяния. Продолжая действовать таким путем, можно приблизиться к истинной картине распределения потоков и МДС.

Ðèñ. 20.47

Ðèñ. 20.46

Глава 20. Расчет нелинейных электрических и магнитных цепей при постоянном токе

399

20.13. О расчете постоянных магнитов

Явление остаточного намагничивания, характерное для ферромагнитных веществ, широко используется при изготовлении постоянных магнитов.

Рассмотрим постоянный магнит в виде кольца с воздушным зазором. Будем обозначать все величины, относящиеся к зазору, индексом 2, и величины, относящиеся к телу магнита, — индексом 1 (рис. 20.46). Физически поле магнита создается элементарными токами в теле магнита. Однако напряженность поля H, с которой имеем дело во всех техни- ческих расчетах, определяется так, что интеграл H dl равен

только макроскопическим токам, протекающим в проводниках, охватываемых контуром интегрирования, и в его величину не входят элементарные токи в намагниченных те-

лах. Для постоянного магнита, так как макроскопических токов нет, имеем всюду H dl 0. В частности, этот интеграл также равен нулю вдоль пути по оси

магнита и зазора. Следовательно,

H dl H1l1 H 2 l2 0,

ò. å.

H1l1 H 2 l2 ,

ãäå l1è l2 — длины осей магнита и зазора; H1 è H2 — напряженности поля в теле магнита и в зазоре. Для упрощения предполагаем поле однородным и в магните,

èв зазоре. Заметим, что в последних равенствах и дальше в настоящем параграфе под H подразумеваем не модуль вектора H, который всегда положителен, а алгебраическую величину, которая может быть положительной или отрицательной в зависимости от того, совпадает направление вектора H с направлением положительного обхода или ему противоположно.

Âобщем случае для неоднородного поля следует написать F1 –F2, ãäå F1

èF2 — магнитодвижущие силы вдоль оси магнита и вдоль оси зазора.

На рис. 20.47 изображена часть гистерезисной петли, снятой при большом магнитном насыщении для замкнутого кольца, т. е. при отсутствии зазора, и характеризующей материал магнита; Br — остаточная индукция, Íc — коэрцитивная сила. Ветвь abc называется к р и в о й р а з м а г н и ч и в а н и я. Эта ветвь на рис. 20.48 перестроена в координатах F è Μ, причем F — МДС вдоль оси магнита, при однородном намагничивании равная Í1l1, è Μ — поток в нейтраль-

ной зоне магнита, при однородном намагничивании равный B1s1, ãäå s1 — поперечное сечение магнита.

При отсутствии зазора Â Br , Μ Μr è H всюду равно нулю. При наличии зазора на проведение магнитного потока через зазор, имеющий магнитное сопротивление Rì2 , требуется МДС F2 Rì2Μ2.

400 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

Если считать приближенно поле в зазоре однородным, то

	F2	H 2 l2			l2		Μ.
					0 s	2

На рис. 20.48 прямая 0L изображает связь между F2 è Μ. Òàê êàê F1 –F2, то прямая 0M, дающая связь между F1 è Μ, является зеркальным отражением прямой 0L в оси ординат. Очевидно, точка b пересечения луча 0M с кривой размагничивания abc и определяет магнитное состояние вещества магнита при наличии воздушного за-

çîðà.

Энергия магнитного поля в зазоре магнита определяется выражением ΜF2/2, которое при однородном поле приобретает вид

	Ðèñ. 20.48	B2 s2 H 2 l2		B2 H 2	V2 ,
		2		2

ãäå V2 — объем зазора. Эта энергия равна половине площади прямоугольника AbG0 на рис. 20.48. Необходимо так проектировать магнит, чтобы эта площадь была максимальной. Соответственно, точка b должна занимать на кривой размагничивания в координатах H è B (рис. 20.47) такое положение, чтобы произведение | BH | получилось наибольшим.

Трудность расчета реальных магнитов заключается в трудности вычисления магнитного сопротивления Rì2 пути потока по воздуху с учетом неоднородности поля, в трудности учета потока рассеяния, выходящего через боковые поверхности магнита, и в трудности определения магнитного состояния магнита при неоднородном намагничивании.

20.14. О расчете магнитных цепей с постоянными магнитами

Если в воздушный зазор магнита внести тело из так называемого магнитомягкого вещества, т. е. из ферромагнитного вещества, которое легко намагничивается в сравнительно слабых полях, то можно пренебречь магнитным сопротивлением тела и утверждать, что внесение такого тела эквивалентно уменьшению зазора и уменьшению магнитного сопротивления зазора. Соответственно вместо прямой 0M будем иметь прямую 0M (рис. 20.49). Однако магнитное состояние магнита не переходит в точку b по кривой размагничивания, а переходит в точку k по кривой bmk, и магнитный поток увеличивается до значения Μk. Если вновь удалить тело из воздушного зазора, то магнитное состояние вернется в точку b по кривой knb. Петля bmknb носит наименование ч а с т н о й п е т л и г и с т е р е - з и с а.

Такого рода явления происходят в электрических генераторах с постоянными магнитами, например в магнето (рис. 20.50). Полюсные наконечники и якорь магнето имеют малое магнитное сопротивление. Магнитное же сопротивление зазора меняется в зависимости от положения якоря. В положении, изображенном на рисунке, оно имеет наименьшее значение. При повороте якоря на угол #/2 оно имеет наибольшее значение. Магнитный поток в магнитной цепи магнита при вращении

Глава 20. Расчет нелинейных электрических и магнитных цепей при постоянном токе

401

якоря периодически изменяется в пределах от Μk äî Μb (рис. 20.49). Поток же, пронизывающий обмотку якоря, изменяется по отношению к этой обмотке от +Μk äî –Μk при повороте якоря и обмотки на угол # из положения, указанного на рисунке. Соответственно, среднее значение ЭДС, индуцируемой в обмотке за половину оборота якоря в этих пределах, получается равным

e 2TΜ2k , ãäå Ò — время полного оборота якоря.

Ðèñ. 20.49

Ðèñ. 20.50

Ðèñ. 20.51

Если учесть конечное магнитное сопротивление полюсных наконечников

èякоря, то вместо прямых 0M è 0M будем иметь кривые 0N è 0N (рис. 20.51). Отрезки, параллельные оси 0F, между кривыми 0N è 0M и между кривыми 0N

è0M представляют собой в масштабе по оси абсцисс значения магнитодвижущей силы вдоль полюсных наконечников и якоря при соответствующих значе- ниях магнитного потока. Их можно получить из кривых намагничивания материала полюсных наконечников и якоря. Вершины b è k частной петли гистерези-

са лежат при этом на кривых 0N è 0N .

Глава двадцать первая

Нелинейные электрические и магнитные цепи при периодических процессах

21.1. Особенности периодических процессов в электрических цепях с инерционными нелинейными элементами

При наличии нелинейных элементов в электрической цепи при периодических процессах возникает ряд явлений, с которыми мы не встречались, рассматривая линейные электрические цепи. Соответственно, и методы анализа этих явлений

èрасчета имеют здесь свои особенности. Несколько иной характер имеют периодические процессы в цепях с инерционными и безынерционными нелинейными элементами.

Большинство нелинейных элементов, используемых на практике, должны рассматриваться как безынерционные, и это весьма усложняет процессы и рас- четы. Изучению цепей с такими элементами будет посвящена почти вся настоящая глава. Процессы в инерционных элементах проще в том отношении, что их параметры не изменяются в течение периода изменения тока. Поэтому рассмотрим сначала цепи с инерционными элементами, посвятив этому настоящий и следующий параграфы.

Пусть все нелинейные элементы, входящие в цепь, являются инерционными. Это значит, что при установившемся режиме параметры всех элементов цепи остаются неизменными в течение периода изменения токов и напряжений. Следовательно, при заданном неизменном установившемся процессе для описания его можем воспользоваться теми же способами, которые были развиты для описания процессов в линейных цепях. При синусоидальном приложенном к цепи напряжении токи и напряжения во всех ветвях будут также синусоидальны, и для описания процесса можно с полной строгостью воспользоваться комплексной формой записи и векторными диаграммами. При периодическом несинусоидальном процессе, разложив приложенное напряжение в ряд Фурье, будем, как

èв линейных цепях, иметь одинаковые значения параметров r, L, C цепи для всех гармоник, если считать, как это мы принимали и ранее, что эти параметры не изменяются с частотой.

Однако при изменении установившегося режима, например, вследствие изменения действующего напряжения на зажимах сети или даже при сохранении этого действующего напряжения, но при изменении спектра амплитуд его гармоник изменяются действующие напряжения и токи в ветвях цепи, и в том числе в вет-

вях с нелинейными элементами. Так как в последних зависимость U F (I) нелинейна, то изменяются их параметры rý Ur /I, Lý UL /I è 1/( Ñý) UC /I и, следовательно, изменяется распределение токов во всей электрической цепи.

Таким образом, исключена возможность пользоваться для расчета такой цепи методом наложения и всеми методами расчета сложных цепей, основанными на принципе наложения. Остаются в силе законы Кирхгофа, которые при синусоидальном напряжении могут быть записаны в комплексной форме. Но в этих