Задача трех тел. Понятие о возмущающей силе

Любое тело Солнечной системы испытывает гравитационное взаимодействие со многими другими телами. Но в некоторых случаях при рассмотрении возмущенного движения достаточно учесть только третье тело, пренебрегая остальными. Поэтому рассмотрим задачу тех тел.

Определение движения трех тел, взаимно притягивающих друг друга с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, называется задачей трех тел.

В 1912 г. Финский математик Зундман получил теоретическое решение этой задачи при произвольных начальных условиях в виде сходящихся рядов. Но эти ряды настолько сложны и сходятся так медленно, что не позволяют ни вычислять положения тел в пространстве, ни делать какие – либо заключения о характере и свойствах движений тел. Поэтому формулы Зундмана практического значения пока не имеют.

Лагранж в 1772 г. доказал, что существует определенное количество частных случаев в задаче о трех телах, в которых может быть найдено точное решение. Если заданы массы тел и их положение на плоскости, как, например, то рассматриваемые частные случаи движения в этой плоскости получаются при расположении третьего тела в одной из пяти точек, называемых точками либрации или точками Лагранжа. Первые три точки либрации располагаются в определенных точках прямой, соединяющей обе заданные массы, причем одна между ними, а две другие – вне их. Четвертая и пятая точки являются вершинами двух равносторонних треугольников, в которых остальные вершины заняты заданными массами. Лагранж показал, что если третье тело находится в одной из пяти точек либрации, то конфигурация, которую образуют все три тела, всегда остается подобной самой себе, а их движение происходит по коническим сечениям одинакового вида. Таким образом:

• если три тела расположены на одной прямой, то они обращаются, оставаясь на ней, вокруг общего центра масс;

• если три тела расположены в вершинах равностороннего треугольника, то они обращаются вокруг общего центра масс так, что треугольник остается все время равносторонним.

Лагранж считал, что найденное им решение имеет чисто теоретической значение. Однако в XIX в. Были открыты две группы астероидов, движения которых приблизительно соответствуют второму решению Лагранжа.

Задача определения движений четырех и более тел (задача n тел), притягивающих друг друга по закону Ньютона, еще более сложна, чем задаче трех тел, например, тел Солнечной системы, применяется метод вычисления возмущений, позволяющий найти приближенное решение задачи, которое на определенном интервале времени достаточно близко к точному решению. Вычисление возмущений для тел Солнечной системы – одна из самых важных, но очень трудных задач небесной механики, ныне значительно облегченной благодаря применению электронно-счетных машин.

Задачу трех тел можно представить в виде схемы (схема 11).

Задача трех тел

1912 г. Зундман. Общие решение при произвольных начальных условиях: медленно сходящиеся ряды.

Ограниченная круговая задача трех тел

1772 г. Лагранж: Пять частных решений задачи трех тел с точным решением

m₃<<m₁m₂

m₁m₂ – по круговым орбитам

Точки либрации или точки Лагранжа

Схема 11. Задача многих тел

Схема отражает два случая решения задачи трех тел: общее решение и решение ограниченной задачи.

При изучении движения Луны, комет, астероидов, искусственных спутников и космических аппаратов чаще всего приходится сталкиваться с задачей трех тел. Аналитическое решение этой задачи в общем случае не найдено. В астрономии большое практическое применение нашла ограниченная круговая задача трех тел, в которой масса одного из трех тел ничтожно мала по сравнению с массами двух других, а массивные тела движутся по круговым кеплеровским орбитам вокруг общего центра масс.

Возьмем прямоугольную систему координат с началом координат в центре инерции О притягивающих масс , основная плоскость которой совпадает с плоскостью орбит этих масс (рис. 37). Этой координатной системе сообщим равномерное вращение вокруг ос аппликат с угловой скоростью , равной среднему движению тяготеющих масс№ ось абсцисс проведем чнрез притягивающие массы , абсциссы которых остаются неизменными со временем и соответственно равны . Заметим, что согласно третьему обобщенному закону Кеплера

.

Составим дифференциальные уравнения относительного движения третьего тела Р, ограничившись для простоты случаем движения в плоскости орбит притягивающих масс. На это тело действуют силы ньютоновского тяготения со стороны тел с массами , суммарный потенциал которых в точке положения тела Р равен:

Центробежное ускорение тела Р равно а кориолисово ускорение

,

где - относительная скорость тела Р. векторное уравнение движения имеет вид:

. (19)

Здесь - ускорение тела Р относительно подвижной системы координат.

Уравнение (19) в общем случае аналитически решено быть не может. Поэтому речь может идти о частных решения или о приближенном построении решений.

Лагранж указал пять частных решений задачи, которым отвечают положения относительно равновесия на вращающейся плоскости, - точки Лагранжа. Три из них лежат на прямой, проходящей через притягивающие точки (коллинеарные точки либрации ).Другие два равновесных решения таковы, что все три тела постоянно находятся в вершинах равностороннего треугольника, если только в начальный момент их относительные скорости были равны нулю. Эти положения относительного равновесия называются треугольными точками либрации().

Рис 37. Ограниченная задача трех тел

Точки либрации

Если заданы массы и их положения на плоскости, то точное решение трех тел будет: при расположении третьего тела в одной из пяти точек, называемых точками либрации.

Первые три точки либрации располагаются в определенных точках прямой, соединяющей обе массы, причем одна между ними, а две – вне их. Четвертая и пятая точка являются вершинами двух равносторонних треугольников, в которых две вершины заняты заданными массами.

Лагранж доказал, что если третье тело находится в точке либрации, то конфигурация, которую образуют все три тела всегда остается подобной самой себе, а их движение происходит по каноническим сечениям одинакового вида.

Итак:

• если три тела находятся на одной прямой, то они обращаются, оставаясь на ней, вокруг общего центра масс;

• если три тела расположены в вершинах равностороннего треугольника, то они обращаются вокруг общего центра масс так, что треугольник остается равносторонним.

Первые три точки либрации l₁, l₂, l₃коллинеарными точками либрации, четвертая и пятая -l₄,l₅ –треугольные точки либрации.

Примеры: 1) группы астероидов – «троянцы» и «греки». Они находятся в двух треугольных точках либрации в системе «Солнце – Юпитер - астероид».

1. Системы «Земля – Луна - пылевые облака»

Рис 38. Тесная двойная система β Лиры

3. Если космический аппарат запустить в точку либрации, то орбита длительное время не потребует коррекции.