2.12. Статично невизначувані задачі при осьовому розтяганні та стисканні

Статично невизначуваними називаються задачі, які не можна вирішити за допомогою тільки рівнянь статики. Ступінь статичної невизначуваності таких задач визначається як різниця між кількістю в'язів, накладених на тіло, і кількістю незалежних рівнянь рівноваги, які можна скласти для тіла, що розглядається. Додаткові рівняння можна скласти, вивчаючи деформації, що зазнає тіло. Виявляється, що завжди можна знайти стільки додаткових рівнянь, скільки нам потрібно, щоб повне число рівнянь разом з умовами рівноваги дорівнювало кількості невідомих.

Ці додаткові рівняння складають на основі загального принципу, відомого як принцип спільності деформацій. Зам цим принципом будь-яка конструкція деформується так, що не відбувається розривів стержнів, відривів стержнів у вузлах, не передбачених схемою спорудження переміщень однієї частини конструкції щодо іншої.

Загальний метод розрахунку статично невизначуваних систем полягає в наступному. Спочатку варто з'ясувати, які зусилля необхідно визначити; потім необхідно написати всі можливі рівняння рівноваги, потім визначити ступінь статичної невизначуваності системи і скласти стільки додаткових рівнянь спільності деформацій, щоб можна було знайти всі невідомі зусилля.

Розглянемо кілька прикладів розрахунку статично невизначуваних систем.

Приклад 2.7. Стержень, що складається з верхньої мідної частини і нижньої сталевої (Рис.2.20,а), навантажений силою кН. Обидва кінці стержня жорстко затиснені. Площа його поперечного перерізусм². Визначити напруження на кожній ділянці стержня. Модуль пружності сталі МПа. Модуль пружності мідіМПа.

Рис.2.20

Рішення:

1. Обриваємо в'язі і замінюємо дію в'язів реакціями (Рис.2.20,б). Складаємо рівняння рівноваги:

. (а)

2. Визначаємо ступінь статичної невизначуваності – віднімаємо від кількості зв'язків (опорних реакцій) кількість рівнянь рівноваги:

.

3. Складаємо одне додаткове рівняння спільності деформацій. Для цього запишемо рівняння для подовження всього стержня як суму подовжень кожної з ділянок. За умову спільності деформацій приймаємо умову, що повне подовження стержня дорівнює нулеві, тому що обидва кінці стержня жорстко затиснені.

. (б)

4. Підставляємо у рівняння (б) чисельні значення довжин ділянок і з огляду на те, що модуль пружності сталі в два рази більший за модуль пружності міді , одержуємо:

.

5. Підставляючи реакції у рівняння (а), знаходимо:

кН.

6. Обчислюємо зусилля на кожній ділянці стержня: кН;кН і будуємо діаграму поздовжніх зусиль (Рис.2.20,в).

7. Визначаємо напружння на кожній ділянці стержня:

МПа; МПа.

Приклад 2.8. Жорстка балка підтримується двома стержнями (Рис.2.17,а). Площа поперечного перерізу першого стержня см². Площа поперечного перерізу другого стержня см². Матеріал стержнів  сталь з допустимим напруженням МПа. Кут. Визначити величину допустимої сили, прикладеної до балки.

Рішення:

1. Складаємо розрахункову схему. Для цього обриваємо в'язі і дію в'язів замінюємо реакціями. (Рис.2.17,б).

2. Складаємо рівняння рівноваги для балково-стержневої системи:

(а)

(б)

(в)

Рис.2.21

3. Визначаємо ступінь статичної невизначуваності задачі:

.

4. Складаємо рівняння спільності деформацій. Для цього дамо балці повернутися навколо вузла А. При цьому вісь балки залишиться прямою, тому що за умовою задачі балка є жорсткою. Вузол В переміститься у положення , при цьому стержень 1 подовжиться на величину. Вузол D переміститься в положення. Переміщення вузла D у нове положення позначимо буквою. Це переміщення вузла D можна уявити як переміщення, що складається з двох рухів: спочатку стержень 2 подовжиться на величинуі вузол D потрапить у положення, а потім повернеться, щоб потрапити у положення. Якщо цього не відбудеться, порушиться принцип спільності деформацій.

Тепер складемо співвідношення між подовженнями стержнів 1 і 2. Для цього спочатку виразимо переміщення вузла D через подовження стержня 2:

,

а потім підставимо це переміщення у рівняння, отримане з подоби трикутників АВі AD. З огляду на те, що В=, а D=, маємо:

. (г)

Рівняння (г) містить у собі подовження стержнів 1 і 2 і є рівнянням спільності деформацій. Перетворимо це рівняння до вигляду, зручного для рішення. Виразимо подовження стержнів через зусилля, що діють у них, з огляду на те, що ,,,:

,

звідки з урахуванням того, що , одержуємо:

. (д)

5. Виражаємо зусилля в стержнях через зовнішню силу . Для цього підставляємоу рівняння (в), одержимо:

,

звідки

; .

6. Обчислюємо напруження у стержнях 1 і 2, виражаючи їх через силу :

; .

7. Більше з напружень дорівнюємо допустимому напруженню, звідки знаходимо допустиме значення сили :

,

звідки

кН.

Аналізуючи результати розв’язання задач, наведених у прикладах 2.7, 2.8, можна відзначити деякі особливості розрахунку статично невизначуваних систем:

 рівняння, яких бракує для визначення зусиль рівняння можуть бути отримані тільки за допомогою вивчення спільності деформацій даної системи;

 розподіл зусиль між елементами статично невизначуваної системи залежить від співвідношення між площами, модулями пружності і довжинами цих елементів;

 чим більш жорстким є даний елемент, тим більшу частку зусилля він приймає на себе.