2.13. Вплив неточностей виготовлення на зусилля в елементах статично невизначуваних конструкцій

При виготовленні всякого роду споруджень не можна забезпечити абсолютно точне виконання розмірів їх елементів; завжди треба зважати на можливість тих або інших невеликих неточностей при їх виготовленні. Якщо ми маємо справу зі статично визначуваною системою, то такі неточності не викликають ніяких напружень у цій системі. Зовсім інакше поводиться статично невизначувана система. Проілюструємо це на чисельному прикладі.

Приклад 2.9. Визначити напруження в стержнях ферми, зображеної на рис.2.22, після її зборки, якщо середній стержень виготовлений коротше необхідної довжини на величину мм. Ферма зовнішніми силами не навантажена. Крайні стержні сталеві, середній мідний. Модуль пружності сталі МПа, модуль пружності мідіМПа. Проектна довжина середнього стержням, крайніх , кут між крайніми стержнями. Площі поперечного перерізу крайніх стержнівсм², середнього см².

Рішення:

1. Щоб з'єднати кінець середнього стержня В₀ з кінцями крайніх стержнів В в точці В₁, необхідно середній стержень розтягти на довжину , а крайні стиснути на величину. Проводячи з точок В₂ і А₂ перпендикуляри до первісного положення крайніх стержнів, одержуємо точку з'єднання кінців усіх трьох стрижнів В₁. Рівняння спільності деформацій має вигляд:

або

. (а)

Рис.2.22

2. Зважаючи на те, що зовнішнього навантаження немає, зусилля  стискальне, а  розтягальне, і приймаючи до уваги, що через симетрію системи зусилля в крайніх елементах однакові і дорівнюють , рівняння рівноваги набуває вигляду:

,

звідки

. (б)

3. Заміняючи у рівнянні (а) величини іна їх значення:

і

і розв’язуючи спільно рівняння (а) і (б), одержуємо:

кН;

кН.

Знак “+” перед значеннями зусиль іпоказує, що припущення про їх напрямок були правильними.

4. Визначаємо напруження в стержнях ферми:

МПа;

МПа.

Таким чином, у ненавантаженій конструкції через неточність виготовлення середнього стержня після зборки виникають напруження стискання в крайніх стержнях МПа і напруження розтягання в середньому стержніМПа.

Наведені розрахунки показують, що неточності виготовлення окремих елементів конструкції спричиняють напруження навіть при відсутності зовнішніх впливів на конструкцію. Таким чином, можливість появи так званих початкових напружень теж є основною властивістю статично невизначуваних конструкцій.

2.14. Температурні напруження

У статично невизначуваних системах виникають напруження при відсутності зовнішніх навантажень не тільки від неточностей виготовлення і складання, але і від зміни температури.

Розглянемо стержень, кінці якого жорстко затиснені при температурі (Рис.2.23). Довжина стержня , площа поперечного перерізу, модуль пружності матеріалу. Стержень нагрівається від температуридо. Нагріваючись, стержень прагне подовжитися і буде розпирати опори А і В. З боку опор на стержень будуть діяти реакції, спрямовані, як показано на рис.2.23. Ці сили будуть викликати стискання стержня.

Конструкція виявляється статично невизначуваною, тому що діючі в опорах реакції дорівнюють одна одній за величиною, протилежні за напрямком і невідомі.

Для розв’язання задачі необхідне одне додаткове рівняння спільності деформацій. При складанні цього рівняння використаємо той факт, що при нагріванні довжина стержня не зміняються, тому що його кінці жорстко затиснені. Виходить, укорочення , викликане силами, дорівнює за абсолютною величиною тому температурному подовженню, що стержень одержав би, якби опора А залишилася на місці, а кінець В стержня був би звільнений і міг би переміщатися при нагріванні. Таким чином, рівняння спільності деформації набуває вигляду:

. (2.30)

Рис.2.23

Зважаючи не те, що

і ,

де  коефіцієнт лінійного температурного розширення матеріалу стержня.

Підставляючи подовження стержня у формулу (2.30), одержимо:

,

звідки напруження в стержні дорівнює:

. (2.31)

Таким чином, напруження, викликане зміною температури в стержні сталого перерізу з жорстко затисненими кінцями, залежить лише від модуля пружності матеріалу, його коефіцієнта температурного розширення, різниці температур і не залежить ні від довжини стержня, ні від площі поперечного перерізу.

Реакція, що виникає в опорі, дорівнює:

.

У розглянутому прикладі при напруженнябуде стискаючим, тому що напрямок реакційусередину стержня тут прийнято додатним. Для автоматичного одержання знаку напружень формулу (2.31) варто записувати у вигляді:

.

Приклад 2.10. Сталевий стержень, що складається з двох частин довжиною см ісм і площею відповідносм² і см² , затиснений одним кінцем; інший кінець не доходить до опори на величину мм (Рис.2.24). Знайти напруження в обох частинах стержня при підвищенні температури на , якщо.

Рис.2.24

Рішення:

1. Складаємо рівняння спільності деформацій. Підвищення температури викликає подовження стерженя , а стискання його реакціями опор укорочення . Різниця цих двох деформацій (за абсолютною величиною) дорівнює(Рис.2.24):

, (а)

де

; .

2. Підставляючи подовження стержня в (а), одержимо:

,

звідки

кН.

3. Визначаємо напруження у верхній частині стержня:

МПа.

4. Обчислюємо напруження в нижній частині стержня:

МПа.