2.3. Деформації при осьовому розтяганні та стисканні. Закон Гука

Розглянемо деформації стержня при осьовому розтяганні та стисканні. Експериментальні дослідження показали, що при розтяганні для більшості матеріалів довжина стержня збільшується, а поперечні розміри зменшуються (Рис.2.4). При стисканні довжина стержня зменшується, а поперечні розміри збільшуються.

Рис 2.4

Величина , на яку стержень збільшує свою довжину при осьовому розтяганні, називається абсолютною поздовжньою деформацією. Величиниі, на які стержень зменшує поперечні розміри при осьовому розтяганні, називається абсолютною поперечною деформацією. Якщо віднести асолютну деформацію до первісних розмірів стержня, то одержимо відносні деформації:

; , (2.4)

де відносна поздовжня деформація;відносна поперечна деформація.

Їх відношення одержало назву  коефіцієнт відносної поздовжньої деформації або коефіцієнт Пуассона на ім’яі відомого французького вченого Сімеона Дені Пуассона, математика, механіка і фізика, одного з засновників математичної фізики. Пуассон досліджував деформації при осьовому розтяганні та стисканні і запропонував вираз для цього коэфіцієнта в наступному вигляді:

(2.5)

Відношення (2.5) завжди береться за абсолютною величиною, тому що знаки відносної поперечної деформації і відносної поздовжньої деформаціїзавжди полярні.

Пуассон вважав, що для всіх матеріалів коефіцієнт відносної поперечної деформації однаковий і дорівнює 0,25. Подальші дослідження показали, що це не так: коефіцієнт Пуассона має різну величину для різних матеріалів і змінюється у межах: . Для пробки коефіцієнт Пуассона, для гуми. Для сталі. Коефіцієнт Пуассонахарактеризує пружні властивості матеріалу.

Між напруженнями і деформаціями існує лінійна залежність, що одержала назву закону Гука:

. (2.6)

Відомий англійський вчений-енциклопедист, член Лондонського королівського клубу Роберт Гук, виконуючи експерименти з розтягання різних матеріалів, першим помітив лінійну залежність між деформацією стержня та величиною зусилля в ньому. Своє відкриття він сформулював таким чином: Ut tensio sic vis. У перекладі з латини це означає: яке подовження, така і сила.

У сучасній трактовці закон Гука формулюється таким чином: у межах пружності напруження прямо пропорційні деформаціям.

У виразі (2.6) коефіцієнт пропорційності ємодулем пружності першого роду або модулем Юнга, названого так на честь англійського вченого Томаса Юнга, що займався дослідженнями, зв'язаними з розтяганням стержнів з різних матеріалів і ввів поняття модуля пружності. Практичні результати досліджень Юнга знайшли продовження у роботах його послідовників, в результаті чого був отриманий набір модулів пружності для різних матеріалів. Для сталі модуль Юнга дорівнює МПа.

Подставляючи в формулу (2.6) напруження (2.3) та вираз для відносної поздовжньої деформациї з (2.4), отримаємо величину абсолютної деформації стержня, навантаженого розтягучою силою :

, (2.7)

де  внутрішнє зусилля в стержні;  жорсткість поперечного перерізу стержня при растяганні або стисканні.

Розглянемо визначення переміщень перерізів при осьовому розтяганні та стисканні на прикладі стержня, зображеного на рис 2.3,а.

Приклад 2.3. Визначити перемещіння характерних перерізів для стержня, наведеного на рис.2.3,а. Площа поперечного перерізу стержня на всех ділянках см². Довжину кожної ділянки визначено на рисунку. Матеріал стержня – сталь з модулем пружності МПа. Побудувати діаграму поздовжніх переміщень поперечних перерізів стержня. Власну вагу стержня не враховувати.

Рішення:

1. Характерними є перерізи на стику ділянок, позначені відповідно літерами А, В, С і D. Починати будувати діаграму переміщень перерізів будемо від того перерізу, переміщення якого зазделегідь відомо. Таким перерізом є переріз А. Переміщення цього перерізу .

2. Визначимо переміщення перерізу В. Переміщення цього перерізу відбудеться за рахунок деформації ділянки №3. При визначенні переміщення скористаємося чисельними значенннями поздовжніх зусиль на ділянках, що були визначені у прикладі 2.1. Отримаємо:

м.

3. Переміщення перерізу С відбудеться за рахунок деформації ділянок №3 та №2:

м.

4. Переміщення перерізу С відбудеться за рахунок деформації всього стержня, тобто:

м.

5. Відкладаємо отримані переміщення перерізів від базисної лінії та будуємо діаграму поздовжніх переміщень поперечних перерізів (Рис.2.3,г). При відсутності впливу власної ваги стержня на переміщення перерізів залежність переміщень від поздовжньої координати буде лінійною. Тому з’єднуємо точки на діаграмі пререміщень прямими лініями.

З діаграми поздовжніх переміщень поперечних перерізів можна визначити поздовжню абсолютну деформацію кожної з ділянок , і (Рис.2.3, г).