7. Логические методы обучения математике: анализ и синтез.

К логическим методам познания относятся: анализ, синтез, индукция, дедукция, сравнение, обобщение, абстрагирование и другие.

Анализ (от греч. Aanalysis-разложение, расчленение, разбор)- процедура мыслительного, а часто также реального расчленения предмета (явлений, процесса), свойства предмета (-тов) на составляющие его части, компоненты, выделение в предмете аспектов его изучения; вычленение в предметах их сторон, свойств, отношений между ними.

Синтез- (от греч. Synthesis- соединение, составление, объединение, мысленное соединение выделенных путем анализа частей, сторон в некоторое новое мысленное единство, в котором фиксируется типичное в анализируемом предмете.

В первоначальном понимании анализ рассматривался как путь (метод мышления) от целого к частям этого целого, а синтез- как путь от частей к целому, поэтому анализ и синтез практически неотделимы друг от друга. Они сопутствуют друг другу, дополняют друг друга, составляя единый аналитико-синтетический метод.

В математике под анализом понимают рассуждение в «обратном направлении», т.е. неизвестно, от того, что необходимо найти, к известному, к тому, что уже найдено или дано, от того, что необходимо доказать, к тому, что уже доказано или принято за истинное.

Формирование приемов синтеза и анализа развивает мышление учащихся, а при устном опросе, устной беседе задействованы все учащиеся.

Рассмотрим следующую задачу: «Определить площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8 см.» Поиск ее решения целесообразно начать, пользуясь методами анализа и синтеза. В процессе анализа задачи выделяются все ее утверждения:

1. Необходимо вычислить площадь четырехугольника;

2. Четырехугольник имеет взаимно перпендикулярные диагонали;

3. Диагонали четырехугольника равны 6 и 8 см.

Выделение этих утверждений из «целого» (задачи) – результат проведения анализа. Анализ направляется вопросами: «Что дано в задаче?», « О чем еще говорится в задаче?», «Что в задаче требуется найти?». Важно иметь в виду, что при решении задачи анализ проводится не один раз: возможен повторный анализ, анализ с новой целью, с иной точки зрения и т.п. Так, для выполнения чертежа предполагает уже другой метод познания- метод синтеза.

При решении рассматриваемой задачи учащихся иногда четырехугольник изображают в виде параллелограмма. Избежать ошибки в выполнении чертежа можно, если начать построения не с четырехугольника, а с его диагоналей, изображая их произвольными взаимно перпендикулярными отрезками.

В итоге дополнительного анализа на первый план выдвигается условие перпендикулярности диагоналей, которое является основным в отыскании общей идеи решения задачи. Например, данный четырехугольник состоит из четырех (или двух) треугольников и задача тем самым сводится к нахождению суммы площадей этих треугольников.

Раскрыть с помощью примеров

8. Логические методы обучения математике: индукция и дедукция.

Различают два основных вида умозаключения: индукцию и дедукцию.

Индукция (от лат. – наведение, побуждение)

1) – это умозаключение, при котором из двух или нескольких единичных или частных суждений, получают новое общее суждение (вывод)

2) – это метод исследования, при котором, желая изучить некоторое множество объектов, изучают отдельные объекты (обстоятельства), устанавливая в них те свойства, которые присущи всему рассматриваемому множеству объектов.

3) – это форма изложения материала в литературном источнике, беседе, в процессе обучения, когда от менее общих положений, приходят к более общим положениям (заключение, вывод).

Индукция: – полная (при которой не исчерпываются все частные случаи);

- неполная (основанное на рассмотрение всех единичных и частных суждений).

Существует (экспериментальная) исследовательская индукция

1) метод сходства;

2) метод различия;

3) метод остатков;

4) метод сопутствующих изменений.

Дедукция – (от латинского выведение), форма умозаключения, при которой от одного общего и одного частного суждения получают новое, менее общее или частное суждение.

Виды умозаключения: 1) от более общего положения, к менее общему положению; 2) от общего положения к общему 3) от единичного к частному.

Математика является дедуктивной наукой. Взаимосвязь индукции и дедукции выступает в методе изучения математических предложений, называемым методом совершенной индукции.

Используется, когда возникает необходимость дать логическое обоснование выводу, полученному индуктивным путем.

Этапы: 1)Наблюдение и опыт; 2)гипотеза; 3) обоснование (доказательство) гипотезы.

Дедуктивное доказательство, называется методом мат.индукции. (основанного на принципе мат.индукции): если какое-либо утверждение, сформулированное для натурального числа n, проверено для n=1 и из допущения его истинности для некоторого значения n=k следует его истинность для значения n=k+1, то утверждение верно для любого натурального n.

Раскрыть с помощью примеров

9. Логические методы обучения математике: абстрагирование и конкретизация. В процессе познавательной деятельности человек отражает объекты и явления реальной действительности либо в форме чувственных образов, либо в форме понятий, являющихся «приближенными снимками» этих реальных объектов или явлений. Понятия образуются в сознании человека в результате отвлечения от несущественного в изучаемом объекте, а также в результате обобщения, которое упрощает изучение данного объекта, обычно представленное в реальном мире весьма многообразно. Эти умственные построения в процессе познания называют научными абстракциями.

С точки зрения психологии «абстракция – это, по существу, тоже специфическая форма анализа, форма, которую анализ приобретает при переходе к абстрактному мышлению в понятиях».

Абстракция может выступать в двух различных формах:

1)форма имеет место в чувственном познании предмета (отвлечение от одних свойств предмета, и выделение другие его свойства). Н-р: рассматривая предмет как геометрическое тело, мы обращаем внимание только на его форму, размеры, положение на плоскости.

2)абстракция выходит за пределы чувственного воображения (простой отбор или преобразование тех или других свойств явления или предмета). Н-р: при классификации треугольников в зависимости от их углов, учащийся абстрагируется, например, от свойства треугольника «иметь различные стороны», оперируя уже абстрактным понятием «треугольник».

Абстрагирование – это мысленное отвлечение от некоторых несущественных свойств изучаемого объекта и выявление существенных для данного исследования свойств.

Уже на весьма ранних ступенях бучения учитель может и должен обращать внимание учащихся на природу абстракции (а значит, и природу математики). Даже простое равенство 5*3=15 способно ярко проиллюстрировать природу абстракции. Задумаемся над вопросом, что может означать запись 5*3=15, какое конкретное содержание она отражает? Это равенство может означать стоимость трёх карандашей; путь, пройденный пешеходом за три часа; площадь поля прямоугольной формы и т.д. Важно, чтобы учитель обратил внимание учащихся на этот знаменательный факт и помог осмыслить его.

Т.о., абстрагирование является важнейшим методом математического познания, а значит, и методом обучения математике. Для того чтобы учащиеся усвоили этот метод изучения математики, необходимо постоянно подчеркивать и выявлять его проявление в процессе изучения.

Процессу абстрагирования противоположен процесс конкретизации. Конкретизация – это мыслительная деятельность, при которой односторонне фиксируется та или иная сторона объекта изучения, вне связи с другими его сторонами.

Например, абстрактно для сложения рациональных чисел имеет место равенство a+b=b+a. Конкретно это свойство может быть иллюстрировано равенством 5,2+7,3=7,3+5,2.

Раскрыть с помощью примеров более подробно

10. Специальные методы обучения математике: аксиоматический метод. Специальные методы обучения математике – это адаптированные для обучения основные методы познания, применяемые в самой математике, характерные для математики методы изучения действительности (построение математических моделей, способы абстрагирования, используемые при построении таких моделей, аксиоматический метод).

Сущность. Метод установления истинности предложений заключается в следующем: некоторые предложения принимаются за исходные (их называют аксиомами), истинность же других предложений, не входящих в список аксиом (называемых теоремами) устанавливается с помощью логического доказательства. В логическом доказательстве используются правила логического следования, гарантирующие истинность заключения при истинности посылок. Явное использование этих правил вывода превращает, таким образом, построенную математическую теорию в дедуктивную (аксиоматическую) систему.

Аксиоматический метод как метод обучения служит для систематизации знаний учащихся, выяснения того, «что, из чего следует», для установления истинности предложений специфическим для математики способом, для вывода новых знаний из имеющихся. Идея аксиоматического построения геометрии была предложена и реализована Евклидом. Она состоит в том, что если мы не можем определить, что представляет собой исследуемый объект, то следует определить его свойства. Выделить существенные признаки объекта и абстрагироваться от несущественных. Если эти признаки подобраны хорошо, то сам объект ими полностью определяется. Т.е. вместо того, чтобы говорить о том, что такое точка, прямая, плоскость, можно говорить о свойствах, которыми они обладают.

Аксиоматический метод построения геометрии не является трудным для понимания школьников. Аксиомы можно рассматривать как правила игры в геометрию. Если правила четко определены, то играть по ним легче, чем при отсутствии правил.

В различных учебниках геометрии используются различные аксиомы, наиболее важные из них: В учебнике Л.С Атанасяна в качестве основных понятий геометрии используются понятия точки и прямой. Первые аксиомы относятся к взаимному расположению точек и прямых.

Одним из основных принципов, на котором должна строиться аксиоматика школьного курса геометрии, пригодная для первоначального курса геометрии, является принцип элементарности.

Добавить аксиоматика Евклида, геометрия Лобачевского, аксиоматика Пеано