1, 2, 3, 4

Розв’язання. Згідно з властивостями математичного сподівання маємо:

MZ = M (αX +βY + γ)= αMX +βMY + γ = αa +βb + γ.

Величини X i Y залежні. Виведемо формулу для визначення дисперсії Z :

DZ = M (Z − MZ )2 = M ((αX +βY + γ)− M (αX +βY + γ))2 = = M ((αX +βY + γ)−(αa +βb + γ))2 = M (α(X − a)+β(Y −b))2 =

= M (α2 (X − a)2 + 2αβ(X − a)(Y −b)+β2 (Y −b)2 )= α2 M (X − a)2 + + 2αβM (X − a)(Y −b)+β2M (Y −b)2 = α2σ12 + 2αβρXY +β2σ22.

Приклад 3. Визначити математичні сподівання і кореляційну матрицю системи випадкових величин (X ,Y ), якщо

f (x,y)= 2 3 .

π(x2 + y2 +1)

Розв’язання. Знайдемо числові характеристики системи за наведеними раніше формулами:

2

∞ ∞

xdx

2

1

∞

MX =

∫dy ∫

=

∫dy∫(x2 + y2 +1)−3 d(x2 + y2 +1)=

+ y2 +1)3

π −∞ −∞ (x2

π

2

−∞

1 ∞

(x2 + y2 +1)−2

b

=

∫

lim

−b

dy

= 0.

π −∞

b→∞

−

2

Очевидно, що з огляду на симетрію розподілу, математичне сподівання Y також дорівнює нулю.

Визначаємо дисперсії величин, які входять до системи: DX =

	2	∞	∞		x	2	dx
= MX 2 =		∫	dy ∫					. Цей інтеграл обчислюємо, інте-
					+ y 2 +1)3
	π −∞		−∞ (x2

груючи один раз частинами, а далі переходимо до полярних координат.

2

x2dx

x = u; du = dx;

∞

∞

xdx

1

1

DX =

∫

dy ∫

=

=

3

π −∞ −∞ (x2

+ y2 +1)

dv =

(x2 + y2 +1)3

; v = −

4

(x2 + y2 +1)2

;

91

2

∞

x

b

1

∞

∞

dx

=

∫ lim

−

−b

dy

+

∫ dy ∫

=

4(x

+1)

2π

(x

+1)

π −∞

2

+ y

2

−∞ −∞

2

+ y

2

b→∞

2

2

x = r cos ϕ; y

= r sin ϕ;

1

rdr

2π

∞

= dxdy = rdrdϕ;

=

∫

dϕ∫

=

2π

2

2

+ y

2

= r

2

;

0

0

(r2 +1)

x

1

2π

1

b

1 2π

1

=

∫

lim

−

0

dϕ =

∫ dϕ =

.

2(r2 +1)

2π 0

b→∞

4π

0

2

На підставі симетричності щільності розподілу системи має-

мо: DY = DX =		1	. Залишилося знайти K XY . Математичні споді-
вання		2
	X i Y дорівнюють нулю, а тому
				1	∞	∞		xdx
			KXY =		∫	ydy ∫			= 0
								+ y2 +1)3
				2π −∞		−∞ (x2

(нулю дорівнює внутрішній інтеграл, який було обчислено при знаходженні математичного сподівання Х).

Отже,

	1
			0
		2
K =
			1		.
		0
				2

Вправи для самостійного розв’язування

3.10. Систему випадкових величин (X ,Y ) задано законом розподілу:

	X	–1	0	1
Y
–1		0,1	0,3	0,2
0		0,1	0,1	0,05
1		0,05	0,04	0,06

Знайти числові характеристики системи.

92

3.11. Систему випадкових величин (X ,Y ) задано законом розподілу:

	X	0	1
Y
–1		0,3	0,2
0		0,2	0,2
1		0,05	0,05

Знайти математичні сподівання та дисперсії величин, які входять до системи.

3.12. Систему випадкових величин розподілено рівномірно в області, що являє собою трикутник із вершинами O(0,0), A(2,4),

B(4,2). Знайти кореляційну матрицю системи.

3.13. Задано матрицю K системи випадкових величин (X ,Y, Z ):

16		−8	10
	−8	9	−9
K =				.
	10	−9	25

Знайти D(2X +Y +3Z ).

3.14. Скласти кореляційну матрицю для системи випадкових величин(X ,Y, Z ), якщо σX = 4, KXY = 2, KXY = −1,6, ρXY = 0,4,

ρXZ = −0,5, а випадкові величини Z i Y некорельовані.

3.15.Випадкові величини X та Y розподілені нормально з тими самими параметрами a i σ. Знайти коефіцієнт кореляції си-

стеми величин (αX +βY , 2αX −3βY ), якщо ρXY = −0,6.

3.16. Виконуються чотири незалежні вимірювання тієї самої величини. Результати вимірювання X1, X 2 , X3 , X 4 мають одна-

кові математичні сподівання та дисперсії. Розглянемо величини

Y1 = −X1 − X 2 , Y2	= X 2 + X3 , Y3 = X 4 − X 2. Знайти числові характе-
ристики системи	(Y1,Y2 ,Y3 ).

3.17.Z = αX +βY. За яких умов DZ < α2 DX +β2 DY ?

3.18.Вивести формулу для дисперсії добутку двох незалежних випадкових величин.

3.19.Значення X коливається під впливом випадкових факторів А і В. Середнє квадратичне відхилення в результаті дії А дорівнює 1,2, а В — 1,1. Коефіцієнт кореляції між відхиленнями дорівнює 0,125. Знайти σX як результат дії двох факторів.

93

D(z )

i=m+1

3.20. Випадкову величину X розподілено рівномірно на про-

міжку (–1, 1 ]. Y = X m (m — ціле число). Знайти ρXY .
3.21. Випадкові величини X1, X 2 ,..., X n	мають однакові мате-
матичні сподівання і дисперсії, ρij = ρ0 ;	m		m+r
	Y = ∑ Xi ;	Z =	∑ Xi ;
	i =1		i =m+1

n

U = ∑ Xi . Для системи (Y , Z,U ) знайти кореляційну матрицю.

3.22. Задано систему випадкових величин (X ,Y ). МХ = MY = 0,

DX = 100, DY = 64. При якому значенні a випадкові величини U = X i V = aX +Y будуть некорельованими, якщо MXY = 32? Знайти MV i DV.

3.3. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ВИПАДКОВИХ АРГУМЕНТІВ

Нехай задано систему випадкових величин (X ,Y ) і функцію Z = ϕ(X ,Y ). Потрібно знайти закон розподілу для Z. Якщо (X ,Y ) —

система дискретних величин, то відомі		ймовірності pij =
= P(X = xi ;Y = y j )	і можна знайти ймовірності	P(Z = zij = ϕ(xi , y j ))=
= pij , i =1,2,..., m;	j =1,2,..., n.

А якщо маємо систему неперервних випадкових величин, то для визначення f (z) обчислюємо F(z)= ∫∫ f (x, y)dxdy, де D(z) —

область на площині XOY, в якій ϕ(x, y)< z.

Щільність розподілу f (z) дістаємо диференціюванням функ-

ції розподілу.

Щільність розподілу суми двох випадкових величин Z = X +Y подається формулами:

f (z)= ∞∫ f (x, z − x)dx = ∞∫ f (y, z − y)dy.

	−∞	−∞
Якщо	X i Y — незалежні випадкові величини, то f (x, y)=
= f1 (x)f2	(y) і f (z)= ∞∫ f1(x)f2 (z − x)dx = ∞∫ f1(z − y)f2 (y)dy.
	−∞	−∞

Нерідко доводиться розглядати суми випадкових величин, ро-

зподілених за нормальним законом. Здобута випадкова величина

— результат підсумовування — має нормальний закон розподілу. Параметри розподілу додаються в тому разі, якщо величини не-

94

залежні. Додаючи дві нормально розподілені величини із параметрами MX = a1, DX = σ12 , MY = a2 , DY = σ22 і коефіцієнтом кореляції ρXY , маємо нормальний закон розподілу з параметрами

MZ = a1 + a2 , DZ = σ12 + σ22 + 2ρXY σ1 σ2 .

У загальному випадку закон розподілу функцій двох неперервних випадкових величин визначаємо за такою схемою:

1)відшукуємо область зміни системи випадкових величин

(X ,Y );

2)обчислюємо найбільше і найменше значення функції Z =

=ϕ(X ,Y ) у заданій області;

3)розглядаємо сім’ю кривих z = ϕ(x, y) і встановлюємо, скільки аналітичних виразів матиме f (z);

4)будуємо лінію z = ϕ(x, y) і визначаємо D(z), тобто множину точок, для яких ϕ(x, y)< z;

5)інтегруємо щільність розподілу на множині D(z), дістаючи F(z);

6)щоб знайти f (z), диференціюємо функцію розподілу, враховуючи той факт, що коли:

ϕ		(z )	ψ	(x, z )	(x, y)dy,
Φ(z)=	2∫ dx			2 ∫ f
ϕ1		(z ) ψ1 (x, z )
то

Φ′(z)= ϕ2∫(z()f (x, ψ2 (x, z))ψ′2 (x, z)− f (x, ψ1 (x, z))ψ1′(x, z))dx.

ϕ1 (z )

Числові характеристики функцій можна знайти, визначивши закон розподілу, а також скориставшись формулами, аналогічними тим, які застосовувались для функцій одного випадкового ар-

гументу: MZ = ∞∫ ∞∫ϕ(x,y)f (x,y)dxdy; DZ = MZ 2 −(MZ )2 ;

−∞ −∞

MZ 2 = ∞∫ ∞∫(ϕ(x,y))2 f (x,y)dxdy.

−∞ −∞

Деякі розподіли випадкових величин, що застосовуються в математичній статистиці

Розглянемо деякі розподіли випадкових величин, що застосовуються в математичній статистиці. Вони являють собою функції кількох випадкових аргументів.

95

1. Розподіл χ2 . Розглядаємо послідовність X1, X2 ,..., Xn попарно

незалежних випадкових величин, які розподілені нормально з нульовими математичними сподіваннями і одиничними дисперсіями.

n

Якщо U = ∑ X i2 , то ця сума має розподіл χ2 з n ступенями во-

i=1

лі. Щільність розподілу f

(u)=

1

n

−1

−

u

u > 0. Числові ха-

2

u 2

e

2 ,

χ

n

n

2

2 Γ

рактеристики розподілу:

2

MU = n; DU

= 2n. До виразу щільності

n

∞

n

−1 −x

розподілу входить гамма-функція Γ

= ∫ x 2

e

dx.

2

0

Графік щільності розподілу зображено на рис. 3.3.

f(x)

λ2

Х

О

Рис. 3.3

Для розподілу χ2 складено таблиці виду P(χ2 > χα2 )= ∞∫ fχ2 (x)dx

χα2

для кількості ступенів волі від 1 до 30. У таблицях для заданих значень імовірностей (здебільшого α = 0,99; 0,98; 0,95; 0,9; 0,8; 0,7;

0,5; 0,3; 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01; 0,005; 0,002; 0,001) вказано зна-

чення χα2 для відповідної кількості ступенів волі. Якщо кількість

ступенів волі більша від 30, то розподіл мало відрізняється від нормального звідповідними математичним сподіванням ідисперсією.

2. Розподіл Стьюдента. Розподіл Стьюдента з n cтупенями волі має випадкова величина T = VX n, де Х — нормально розподілена величина з нульовим математичним сподіванням і одини-

96

чною дисперсією,

а V = U . Випадкова величина U не залежить

від Х і має розподіл

χ2 з n ступенями волі. Щільність розподілу

n +1

n+1

Γ

t

2

−

2

2

f (t)=

+

.

Графік щільності розподілу Стьюдента

1

n

n

Γ

πn

2

за зовнішнім виглядом нагадує нормальні криві. Але вони значно

повільніше спадають до осі t, якщо t → ∞, особливо за малих значень n (рис. 3.4).

f(t)

О								t

Рис. 3.4

Складено таблиці розподілу Стьюдента, здебільшого виду F(t)= ∫t f (z)dz, для кількості ступенів волі від 1 до 20. Якщо кіль-

−∞

кість ступенів волі більша, то можна застосовувати нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

3. Розподіл Фішера.

Якщо випадкові величини U i V

неза-

лежні і мають χ2 — розподіл відповідно з n1

i n2 ступенями волі,

то випадкова величина

F =

U

n2

має розподіл Фішера з

n1, n2

V n

1

ступенями волі. Щільність цього розподілу подається формулою:

n

+ n

n1

n2

Γ

1

2

n 2 n

2

n1

f

(x)=

2

1

2

x

2

−1

(n

+ n x)

−

n1 +n2

, x > 0.

F

n1

n2

2

2

1

Γ

Γ

2

2

97

Щільність розподілу Фішера має графік, зображений на рис. 3.5.

f(x)

О	Х

Рис. 3.5

Для розподілу Фішера складено таблиці, в яких для відповідної кількості ступенів волі для ймовірностей α = 0,05 i α = 0,01

наведено значення fα – P(F > fα )= α.

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Махове колесо виготовляється із двох однакових частин. Маса кожної з них — нормально розподілена величина з

математичним сподіванням, що дорівнює a , і дисперсією σ2 . Для балансування колеса важливою є різниця мас зазначених частин. Знайти закон розподілу заданої випадкової величини.

Розв’язання. Позначимо масу першої частини літерою Х, а дру-

гої — Y. Різниця мас Z =

X −Y

.

Закони розподілу X i Y задаються

f (x)=

1

e−

(x−a)2

(y)=

1

e−

(y−a)2

щільностями розподілу:

2σ2

,

f

2

2σ2

.

1

σ 2π

σ

2π

Y : f (x, y)

1

−

1

((x−a)2 +(y−b)2 )

Спільний розподіл X i

2

Область

=

e

2

σ

.

2πσ2

зміни системи (X ,Y ) — уся числова площина, функція Z набуває невід’ємних значень. При деякому додатному значенні z побуду-

98

ємо область x − y < z. Ця область обмежена прямими x − y − z = 0 i x − y + z = 0.

Відповідну побудову виконано на рис. 3.6.

Y
	D
О	X
Рис. 3.6

Область D(z), тобто область, для якої x − y < z , лежить між прямими (на рис. 3.6 її заштриховано). Побудуємо функцію ро-

	F(z)= ∫∫ f (x, y)dxdy =	1	∞ −	1		(x−a)2	2 x+z −	1		(y−a)2
зподілу:					2				2
			∫ e 2σ				dx ∫ e 2σ			dy.
		2πσ2
	D(z )		−∞				x−z

Диференціюючи функцію розподілу, дістаємо щільність розподілу:

1

∞ −

1

(x−a)2 −

1

(x+z−a)2

−

1

(x−z−a)2

f (z)=

∫e 2σ2

e 2σ2

+ e 2σ2

dx =

2πσ2

−∞

1

∞ −

1

((x−a)2 +(x−a+z )2 )

1

∞ −

1

((x−a)2 +(x−a−z )2 )

2

=

∫e 2

σ

dx

+

∫e 2

σ

dx =

2πσ2

2πσ2 −∞

−∞

1

∞ −

1

((x−a)2 +(x−a)2 +2z(x−a)+z 2 )

1

∞ −

1

((x−a)2 +(x−a)2 −2z(x−a)+z 2 )

2

2

=

∫ e 2σ

dx +

∫e 2σ

dx =

2πσ2

−∞

2πσ2 −∞

1

−

z 2

∞ −

1

((x−a)2 +z(x−a))

∞ −

1

((x−a)2 −z(x−a))

2

2

2

=

e 2σ

∫e

σ

dx +

∫e

σ

dx .

2πσ2

−∞

−∞

99

Для обчислення знайдених невласних інтегралів застосуємо наведений далі інтеграл, який при А > 0 виражається за допомогою інтеграла Пуассона:

∞

2

±2Bx+C dx =

π

e

− AC −B2

∫e−Ax

A

A .

−∞

Тоді

∞ −

1

((x−a)2

+z(x+a))

∞ −

1

((x−a)2 −z(x+a))

z 2

σ2

∫e 2

dx =

∫e 2σ2

dx = σ πe4σ2 .

−∞

щільність

−∞

буде

такою:

f (z)=

Отже,

розподілу

1

σ πe−

z2

z2

1

e−

z2

, (z > 0 ).

= 2

2σ2

e

4σ2

=

4σ2

2πσ2

πσ

З точністю до сталої дістали так званий напівнормальний за-

кон розподілу.

Приклад 2. Маса деталей — випадкова величина, рівномірно розподілена на проміжку (2;2,5]. Знайти закон розподілу маси двох деталей.

Розв’язання. Позначимо	масу однієї деталі літерою Х, а дру-
гої — Y. Вага двох деталей	Z = X +Y. Закони розподілу X і Y і

системи (X ,Y ) визначаються через щільності розподілу:

0, якщо x ≤ 2;

f1 (x)= 2, якщо 2 < x ≤ 2,5;0, якщо x > 2,5.

0, якщо x ≤ 2;

f 2 (y)= 2, якщо 2 < x ≤ 2,5;0, якщо x > 2,5.

f (x, y)= 0,	якщо(x, y) S;
4,	якщо(x, y) S.

Множину S зображено на рис. 3.7.

Наведені раніше формули для визначення закону розподілу суми двох випадкових величин застосувати не можна, тому розв’яжемо задачу за загальними правилами. Знайдемо область значень для су-

ми. Очевидно, що z (4;5]. Пряма x + y = z проходить через множину S і, якщо 4 < z < 4,5, перетинає прямі x = 2 i y = 2. Область D(z) — множина точок, які лежать нижче від прямої. Справді, як-

що підставимо в рівняння прямої, координати, наприклад, точки (2; 2), то вона задовольняє умову. Отже, якщо z (4;4,5), то область

D(z) має такий вигляд, як зображено на рис. 3.8.

100