1, 2, 3, 4

190

Варіант 1

Виріб складається із двох деталей, маса яких має бути приблизно однаковою. Модулі різниці мас 100 пар деталей, які будуть з’єднуватися, мають такі значення:

8,8	1,0	12,1	4,9	1,4	4,3	23,0	17,0	6,4	1,5	17,1	0,6	23,4
0,2	2,2	10,9	8,9	25,4	37,2	4,6	15,0	19,7	11,8	13,6	34,3	6,2
0,9	2,6	15,7	8,2	18,2	4,7	3,3	25,6	23,7	12,7	9,5	19,8	6,4
6,2	10,0	33,4	4,6	13,4	6,2	0,2	14,8	17,8	20,1	3,8	3,9	3,0
16,5	9,6	26,5	6,9	0,7	3,4	8,8	8,3	10,2	3,1	12,8	4,1	10,0
4,0	8,0	2,5	5,8	12,0	10,9	13,3	6,8	1,3	6,5	28,0	0,1	5,4
19,3	1,0	12,7	2,0	17,6	20,0	19,5	8,7	11,3	9,5	23,6	4,0	0,8
15,2	4,7	0,1	16,3	25,3	11,4	14,5	42,6	1,4

Варіант 2

Далі наведено дані про час від моменту подачі заявок на виконання замовлення до моменту його одержання:

42,4	32,4	40,3	44,2	34,5	37,6	39,0	45,9	40,7	40,1	40,4	39,1	43,2
44,2	54,5	38,7	39,0	37,2	42,2	39,6	40,9	44,9	32,8	41,0	42,0	37,7
42,5	43,5	46,1	38,3	37,5	43,6	41,0	49,8	30,4	47,3	38,0	38,7	44,3
38,9	37,7	38,6	39,7	46,0	40,8	49,2	41,5	37,5	31,1	37,3	43,4	47,9
37,7	36,7	34,3	38,9	36,4	46,3	40,4	32,8	30,2	45,1	41,4	42,3	34,4
37,4	36,0	41,5	46,1	36,9	43,1	32,9	41,7	49,2	43,7	35,5	40,9	41,4
39,2	49,1	44,0	47,3	37,2	36,9	37,5	35,6	33,7	39,2	42,1	33,1	42,5
38,5	37,4	40,4	32,5	41,7	39,6	34,2	40,0	38,8

Варіант 3

Маємо дані про тривалість безвідмовної роботи 100 приладів:

244,53	152,47	173,27	68,37	71,89	298,10	286,03	336,93	246,91
2,82	9,28	106,90	397,00	312,59	93,53	653,79	410,28	11,58
597,38	90,52	148,83	291,44	11,00	179,52	126,49	70,81	194,94
208,72	61,25	65,52	354,16	348,14	177,91	855,07	483,74	51,46
782,44	55,92	152,66	237,56	22,49	999,63	225,51	3,17	171,22
21,08	21,74	320,78	66,95	9,34	70,13	96,26	71,61	593,51
780,71	102,62	65,22	34,98	35,54	208,02	105,55	106,47	249,47
78,97	200,58	46,53	41,16	175,11	16,83	122,49	472,32	60,59
307,62	95,25	68,40	503,59	199,79	197,58	111,88	20,62	164,67
237,15	490,03	360,14	4,58	156,77	495,78	112,52	226,61	139,61
144,20	124,34	87,23	103,78	62,87	11,44	55,90	773,39	12,57
98,95

190

Варіант 4

Далі наведено дані про величину 100 банківських вкладів:

45,2	1,6	22,0	83,5	3,1	9,1	13,4	14,4	143,3	25,2
21,0	22,6	14,7	59,1	81,0	2591,5	12,8	14,4	7,8	42,5
17,3	27,1	104,6	1,8	27,9	39,4	9,2	46,5	64,7	154,5
11,5	8,8	66,7	28,4	544,6	0,8	231,6	10,2	12,8	86,1
14,0	9,3	12,4	18,1	149,9	26,3	434,8	33,4	8,8	1,0
8,0	61,9	285,7	9,2	6,6	2,9	14,0	6,0	164,0	23,3
1,8	0,7	109,4	32,0	43,2	3,0	8,4	5,2	33,0	156,8
7,0	57,4	1,9	35,0	434,8	69,8	4,5	27,5	32,5	15,6
422,0	77,5	235,1	7,8	7,0	8,7	4,6	2,5	15,3	40,0
2,0	20,1	45,8	12,1	8,4	22,6	1,6	35,0	17,3	2,9

Варіант 5

Радіальні помилки при скиданні з допомогою парашутів 100 одиниць вантажів набували таких значень:

63,8	8,2	103,0	55,3	82,6	81,5	220,2	122,1	178,4	68,0
170,0	34,2	165,8	111,7	33,5	189,6	115,5	184,9	264,9	86,9
144,1	144,3	166,6	115,3	350,1	53,0	50,6	38,6	113,2	151,5
128,8	103,8	24,6	222,9	169,0	91,0	154,7	205,1	151,2	70,5
126,3	324,2	45,0	229,8	47,5	182,4	127,9	126,2	155,4	212,4
54,8	67,1	124,4	176,2	213,6	51,0	87,1	167,2	210,2	59,0
83,0	57,4	91,2	45,2	74,2	90,8	192,4	21,4	162,2	110,5
132,8	94,2	165,5	52,4	55,9	198,0	47,4	38,8	175,9	176,9
142,8	58,3	141,8	141,5	200,1	77,6	285,1	113,3	195,5	40,0
11,4	142,4	38,3	33,2	118,8	185,1	82,7	211,1	312,6	49,1

Варіант 6

Із сукупності зроблено вибірку обсягом n = 100. Здобуто такі реалізації випадкової величини:

74,8	44,4	59,5	49,5	51,0	52,8	58,4	60,6	50,9	58,8	44,6	35,7
54,2	58,2	49,9	68,4	56,2	58,3	70,5	55,3	69,6	56,3	56,3	53,0
64,4	73,5	52,6	56,0	49,3	60,9	48,6	35,1	55,4	60,7	52,4	59,2
51,6	50,0	82,9	55,4	46,4	59,3	50,7	56,4	66,0	62,2	70,7	60,3
56,1	59,5	57,7	62,1	66,7	71,6	82,3	55,6	38,6	53,6	80,1	53,6
42,9	65,6	60,4	69,9	62,3	64,5	59,4	44,7	56,4	69,6	50,3	68,8
58,1	68,5	64,5	49,4	57,9	57,0	60,5	45,9	44,4	75,2	52,1	66,9
63,6	56,6	46,4	62,0	69,5	66,0	61,3	68,7	55,5	63,8	51,6	68,8
65,1	42,8	46,1	60,8

191

Варіант 7

Із сукупності зроблено вибірку обсягом n = 100. Здобуто такі реалізації випадкової величини:

–1,59	–4,00	–0,20	9,17	0,78	2,34	–22,00	–0,70	0,58
1,38	–99,00	0,78	–0,89	1,03	3,20	2,60	4,71	–1,65
–0,79	0,43	–0,04	–0,58	3,74	–0,20	0,02	–5,20	0,77
3,36	–0,67	0,41	–1,09	2,02	–2,00	–6,11	–1,30	–1,40
0,35	29,29	0,52	0,11	5,17	–32,40	–45,00	2,65	–0,41
0,98	–5,73	–0,87	–0,39	1,29	3,79	0,50	–0,46	2,43
–3,42	–0,53	0,89	0,75	0,53	–0,80	–0,28	0,42	–0,78
11,25	–0,52	1,98	0,53	–5,25	1,71	–0,09	5,95	–0,90
0,53	0,70	–5,50	–1,00	0,97	–1,45	–0,10	1,08	0,11
1,67	–3,40	–0,94	40,00	–0,13	0,55	0,15	–0,24	0,00
0,27	–0,07	–3,70	1,04	–0,60	–1,72	–1,59	3,50	–0,57
0,66

Варіант 8

Відхилення від номінального розміру деталей — випадкова величина. Здобуто 100 реалізацій цієї величини:

8,22	1,34	3,18	–8,42	–7,92	10,99	–19,44	10,43	12,58
8,36	–18,19	–3,44	14,50	11,62	–5,06	18,48	14,86	–17,75
17,98	–5,44	0,99	10,68	–17,86	3,70	–1,25	–8,07	4,91
5,91	–9,45	–8,83	13,19	12,98	3,57	19,44	16,44	–10,93
7,80	19,20	–10,24	1,35	–15,75	19,98	7,05	–19,37	3,01
–16,00	–15,88	11,96	–8,62	–18,17	–8,17	–4,72	–7,96	17,94
19,19	–3,95	–8,87	–13,58	–13,49	5,86	–3,60	–3,49	8,51
–6,95	5,33	–11,70	–12,56	3,33	–16,77	–1,68	16,23	–9,55
11,41	–4,84	–8,41	16,78	5,27	5,11	–2,86	–16,08	2,44
7,78	16,55	13,39	–19,09	1,73	16,65	–2,79	7,12	0,10
0,55	–1,48	–5,86	–3,81	–9,21	–17,78	–10,25	19,16	–17,56
–4,39

Варіант 9

Тривалість безперервної роботи електронного приладу — неперервна випадкова величина. Маємо такі її реалізації:

162,83	105,29	118,29	52,73	54,93	196,31	11,76	188,77	220,58
164,32	15,80	76,81	258,12	205,37	68,46	418,62	266,43	17,24
383,36	66,57	103,02	192,15	16,87	122,20	89,05	54,26	131,84
140,45	48,28	50,95	231,35	227,59	121,19	544,42	312,34	42,16
158,48	499,02	44,95	105,41	24,06	940,39	150,94	11,98	117,01
23,18	23,59	210,48	51,84	15,84	53,83	70,16	54,76	380,94
497,94	74,14	50,76	31,86	32,21	140,01	75,97	76,54	165,92
59,35	135,36	39,08	35,73	119,44	20,52	86,55	305,20	47,87
202,26	69,53	52,75	324,75	134,87	133,49	79,93	22,89	112,92
158,22	316,27	235,09	12,86	107,98	319,86	80,32	151,63	97,26
100,13	87,71	64,52	74,86	49,29	17,15	44,94	493,37	17,86
71,85

192

Лабораторна робота № 1

На підставі даних завдання № 1 перевірити з рівнем значущо-

сті α = 0,05 гіпотезу про закон розподілу в сукупності. Використати критерій узгодженості Пірсона.

Варіант 0

(x−a )2

Нормальний закон розподілу, f (x)= 1 e− 2σ2 . Оцінки па-

σ 2π

раметрів a) i σ)2 знайти методом моментів або максимальної правдоподібності.

Варіант 1

f (x)=

2

e−

x 2

Напівнормальний

закон розподілу,

2σ2

,

x > 0 .

)

σ 2π

знайти методом максимальної правдоподі-

Оцінку параметра σ2

бності.

Варіант 2

Гамма-розподіл, f (x)=

αp

Оцінки

x p −1e−αx ,

x > 0,

α > 0,

p > 0.

Γ(p)

)

x

)

= αx. У вираз щіль-

параметрів знаходяться за формулами: α =

,

p

s2

ності розподілу входить гамма-функція Γ(p)= ∞∫ x p−1e−x dx. Для обчи-

0
	X −		p
слення ймовірностей скористатися тим, що величина Y =			α
		p
		α

має закон розподілу, близький до нормального закону з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

193

Варіант 3

Показниковий закон розподілу,

f (x)= ae−ax ,

x > 0,

a > 0.

Оцін-

ку параметра a

знайти методом моментів або максимальної пра-

вдоподібності.

Варіант 4

Логарифмічно

нормальний

закон розподілу,

f (x)=

1

−

1

(ln x−a )2

)

=

2

x > 0. Оцінки параметрів

2

знайти ме-

xσ

e 2

σ

,

a і σ

2π

тодом моментів або максимальної правдоподібності. Обчислюю-

чи ймовірності, урахувати, що випадкова величина Y = ln x розподілена за нормальним законом з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Варіант 5

f (x)=

x

e−

x 2

Закон розподілу Релея,

σ2

, x > 0.

Оцінку параметра

)

σ2

σ2 знайти методом максимальної правдоподібності.

Варіант 6

Розподіл χ2 з n ступенями волі, fn

(x)=

1

n

−1e−

x

x

2

2

, x > 0,

n

n

22 Γ

2

n N. Оцінка n) = x. У вираз щільності розподілу входить гамма-

функція Γ(p)= ∞∫ x p−1e−x dx.

Для обчислення ймовірностей скорис-

0

татися тим, що величина Y = X − n має закон розподілу, близький

2n

до нормального закону з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

194

Варіант 7

Закон розподілу Коші, f (x)=

1

1

. Оцінки парамет-

σπ

x − a

2

1 +

σ

)

)

1

рів: a

= Me

, яка знаходиться за незгрупованими даними; σ =

.

b

Варіант 8

Рівномірний закон

розподілу,

f (x)=

1

, x (a, b]. Оцінки

b

− a

параметрів: a) = min{x },

b = max{x }.

i

i

Варіант 9

Зсунутий показниковий закон розподілу,

f (x)= ae−a(x−µ),

x > 0.

)

)

1

Оцінки параметрів: µ = min{xi }, a =

x

)

.

−µ

Лабораторна робота № 2

На підставі даних, одержаних під час вибірки із двовимірної сукупності:

1)скласти кореляційну таблицю. При цьому розбити області реалізацій випадкових величин на дев’ять однакових інтервалів;

2)знайти середини інтервалів і подальші розрахунки виконувати з ними;

3)знайти умовні середні значення Yx ;

4)вибрати форму залежності між Yx і x;

5)скласти рівняння регресії, що відображає цю залежність;

6)вважаючи, що випадкові величини розподілені нормально, з

надійністю γ = 0,98 знайти довірчий інтервал для математичного

сподівання Х і дисперсії Y.

Варіанти завдань визначаються так:

а) номер варіанта збігається з останньою цифрою номера залікової книжки студента;

195

б) значення реалізацій випадкових величин, які наведено у відповідному варіанті, перераховуються за формулами:

xi′ = xi + a, yi′ = yi + b,

де

a— номер студента за списком у журналі групи;

b— номер групи з відповідної спеціальності.

Варіант 0

X	22,16	20,32	20,80	17,80	17,96	23,00	11,20	22,80
Y	14,57	16,42	16,06	9,50	18,71	19,05	7,34	16,49
X	23,60	22,20	13,20	19,16	24,40	23,20	18,72	27,08
Y	13,72	19,71	8,69	16,69	19,71	21,23	6,45	18,34
X	24,52	13,68	26,56	18,64	20,24	22,88	13,56	20,92
Y	13,81	5,01	19,20	9,78	2,71	17,88	10,79	16,20
X	19,72	17,92	21,24	21,48	17,48	17,68	23,80	23,72
Y	18,11	8,18	12,98	17,94	12,40	11,68	14,65	20,15
X	20,88	28,80	25,36	17,04	22,04	28,20	17,20	20,32
Y	20,98	22,95	14,91	14,91	15,93	21,82	12,51	12,39
X	15,04	32,96	21,80	11,40	20,72	14,88	14,96	23,32
Y	9,09	21,70	17,36	4,08	20,81	5,88	10,09	15,76
X	17,76	13,28	17,88	18,80	17,92	26,52	28,20	19,04
Y	17,07	11,51	11,00	15,56	10,86	15,92	15,53	12,52
X	17,68	16,00	16,08	21,48	19,12	19,12	22,24	18,20
Y	15,83	9,61	9,00	16,15	11,87	12,77	10,89	13,28
X	21,36	16,76	16,40	20,84	14,40	19,60	25,24	17,48
Y	13,26	16,09	12,64	18,23	15,31	13,11	19,94	7,80
X	23,12	18,80	17,80	25,60	21,32	21,28	19,28	14,80
Y	18,94	13,16	19,32	15,62	21,23	17,19	12,94	6,77
X	20,60	22,00	25,44	23,88	12,00	20,40	25,48	19,32
Y	15,35	14,00	28,69	14,40	1,22	13,92	20,19	19,48
X	21,84	20,00	20,12	19,60	18,52	19,04	17,56	13,60
Y	16,97	14,18	18,75	17,97	15,28	16,23	22,58	7,94
X	17,20	28,12	13,84	18,92
Y	12,51	21,36	11,43	10,81

196

Варіант 1

X	33,24	30,48	31,20	26,70	26,94	34,50	16,80	34,20
Y	19,22	21,22	20,80	15,48	23,70	23,08	14,75	20,82
X	35,40	33,30	19,80	28,74	36,60	34,80	28,08	40,62
Y	18,19	23,82	15,60	21,67	23,41	24,99	12,58	21,69
X	36,78	20,52	39,84	27,96	30,36	34,32	20,34	31,38
Y	18,10	12,21	22,56	15,57	8,94	22,05	17,42	20,90
X	29,58	26,88	31,86	32,22	26,22	26,52	35,70	35,58
Y	22,84	14,27	17,96	22,36	18,14	17,46	18,98	23,93
X	31,32	43,20	38,04	25,56	33,06	42,30	25,80	30,48
Y	25,20	25,50	18,93	20,46	20,46	24,60	18,29	17,60
X	22,56	49,44	32,70	17,10	31,08	22,32	22,44	34,98
Y	15,62	23,62	21,78	11,80	25,07	12,77	16,53	20,07
X	26,64	19,92	26,82	28,20	26,88	39,78	42,30	28,56
Y	22,27	18,11	16,81	20,72	16,67	19,62	18,97	17,95
X	26,52	24,00	24,12	32,22	28,68	28,68	33,36	27,30
Y	21,17	15,90	15,34	20,76	17,36	18,16	15,90	18,79
X	32,04	25,14	24,60	31,26	21,60	29,40	37,86	26,22
Y	18,19	21,58	18,54	22,74	21,31	18,38	23,46	14,01
X	34,68	28,20	26,70	38,40	31,98	31,92	28,92	22,20
Y	22,96	18,58	24,28	19,52	25,34	21,73	18,29	13,58
X	30,90	33,00	38,16	35,82	18,00	30,60	38,22	28,98
Y	20,20	18,74	31,26	18,74	9,12	18,96	23,64	24,14
X	32,76	30,00	30,18	29,40	27,78	28,56	26,34	20,40
Y	21,42	19,26	23,34	22,74	20,52	21,28	27,24	14,85
X	25,80	42,18	20,76	28,38
Y	18,29	24,20	17,94	16,44

Варіант 2

X	11,08	10,16	10,40	8,90	8,98	11,50	5,60	11,40
Y	25,13	25,77	25,66	21,88	26,55	27,52	19,74	26,19
X	11,80	11,10	6,60	9,58	12,20	11,60	9,36	13,54
Y	24,93	27,72	20,74	25,72	28,07	28,65	20,49	27,81
X	12,26	6,84	13,28	9,32	10,12	11,44	6,78	10,46
Y	25,12	18,96	28,16	22,15	18,84	26,91	21,86	25,75

197

X	9,86	8,96	10,62	10,74	8,74	8,84	11,90	11,86
Y	26,52	21,23	24,18	26,72	23,29	22,96	25,43	28,19
X	10,44	14,40	12,68	8,52	11,02	14,10	8,60	10,16
Y	28,16	30,41	25,80	24,48	25,79	29,74	23,30	23,73
X	7,52	16,48	10,90	5,70	10,36	7,44	7,48	11,66
Y	21,23	30,44	26,48	18,13	28,04	19,59	21,72	25,91
X	8,88	6,64	8,94	9,40	8,96	13,26	14,10	9,52
Y	25,69	22,17	22,65	25,09	22,58	26,50	26,57	23,60
X	8,84	8,00	8,04	10,74	9,56	9,56	11,12	9,10
Y	25,05	21,65	21,35	25,82	23,28	23,73	23,28	23,85
X	10,68	8,38	8,20	10,42	7,20	9,80	12,62	8,74
Y	24,34	25,04	23,24	26,76	24,27	23,99	28,32	20,97
X	11,56	9,40	8,90	12,80	10,66	10,64	9,64	7,40
Y	27,48	23,88	26,83	26,20	28,35	26,31	23,85	20,03
X	10,30	11,00	12,72	11,94	6,00	10,20	12,74	9,66
Y	25,27	24,81	32,76	25,31	16,78	24,52	28,49	27,15
X	10,92	10,00	10,06	9,80	9,26	9,52	8,78	6,80
Y	26,28	24,59	26,91	26,43	24,90	25,47	28,43	20,42
X	8,60	14,06	6,92	9,46
Y	23,30	29,49	22,22	22,71

Варіант 3

X	16,62	15,24	15,60	13,35	13,47	17,25	8,40	17,10
Y	9,41	10,63	10,37	7,72	12,16	11,44	7,82	10,23
X	17,70	16,65	9,90	14,37	18,30	17,40	14,04	20,31
Y	8,75	11,90	8,13	10,97	11,52	12,46	6,08	10,38
X	18,39	10,26	19,92	13,98	15,18	17,16	10,17	15,69
Y	8,64	6,25	10,90	7,70	4,00	10,89	9,08	10,42
X	14,79	13,44	15,93	16,11	13,11	13,26	17,85	17,79
Y	11,56	7,06	8,80	11,17	9,18	8,80	9,17	11,85
X	15,66	21,60	19,02	12,78	16,53	21,15	12,90	15,24
Y	12,75	12,32	9,02	10,47	10,09	11,88	9,28	8,68
X	11,28	24,72	16,35	8,55	15,54	11,16	11,22	17,49
Y	8,00	10,99	10,83	6,20	12,69	6,47	8,50	9,79
X	13,32	9,96	13,41	14,10	13,44	19,89	21,15	14,28
Y	11,40	9,48	8,43	10,48	8,35	9,31	8,83	8,96

198