1, 2, 3, 4

Розв’язання. Щільність рівномірного розподілу f (x)= 1 .

b −a

Отже, потрібно визначити область зміни випадкової величини. Складаємо систему рівнянь:

	b	1
	∫			dx = 0,4;
	3 b − a
	b	x
	∫			dx = 2.
	a b − a

b −3 = 0,4;

b − a

a + b = 2.2

0,6b + 0,4a = 3;

b = 7, a = −3.

b = 4 − a.

0,	якщо x ≤ -3;
f (x)= 0,1,	якщо -3	< x ≤ 7;
	якщо x	> 7 .
0,

Приклад 7. Випадкова величина розподілена показниково з параметром а. При якому значенні параметра ймовірність пот-

рапляння випадкової величини на відрізок [α;β] буде найбільшою?

Розв’язання. Нехай параметр а — неперервна й диференційована величина. Знайдемо ймовірність потрапляння випадкової величини на відрізок і дослідимо здобуту функцію на екстремум:

β	−ax	−aα −aβ	−aα −aβ	′	−aα
P(α ≤ X <β)= ∫ae dx = e −e ;						+
			P(a)= e − e ; P (a)= −αe

α

+βe−aβ; – αe-aα +βe−aβ = 0; βe−aβ = αe−aα; lnβ – aβ = ln α −aα; a = ln β−ln α . β−α

Покажемо, що при даному значенні а досягається максимум P(a). Знайдемо другу похідну:

1

1

′′ lnβ −ln α

β

β−α

β

β−α

′′

2 −aα

2 −aβ

2

2

α

α

P (a)= α e −β e ;

P

= α e

−αln

−β e

−βln

=

β − α

α

α

α

α

α

β

β

β

β−α

β−α

α

α

α

β−α

α

β−α

β−α

β−α

ln

ln

β

β

= α

−β

=

= α2e

−β2e

= α2

−β2

α

α

β

β

ββ−α

ββ−α

51

β

= αβα−α (α −β)< 0, оскільки α < β. Друга похідна у критичній точці

ββ−α

від’ємна, тому P(a) в ній досягає максимуму.

Приклад 8. Висунуто гіпотезу про те, що відхилення розміру деталі від номіналу є випадковою нормально розподіленою величиною з MX = 0 i DX = 25 мкм2. Чи відповідає заданій гіпотезі те, що в перевірених 6 деталей відхилення належало проміжку [5;13)? Рівень значущості α = 0,0005.

Розв’язання. Розглянемо подію А — «відхилення в 6 деталей належить проміжку [5;13)». Обчислимо ймовірність цієї події і зі-

ставимо її з рівнем значущості α. Якщо ймовірність буде мен-

шою за α, то результат випробування не відповідатиме висунутій гіпотезі. Імовірність події А знайдемо за теоремою множення ймовірностей:

P(A)= p6, де p = P(5 ≤ X <13).

Обчислимо цю ймовірність:

13 −0				5 −	0
P(5 ≤ X <13)= Φ			−Φ				= Φ(2,6)−Φ(1)= 0,4953 −0,3413 = 0,154.
	5			5

Тоді P(A)= 0,1546 < 0,26 = 0,000064. Імовірність події А менша

від рівня значущості. Отже, гіпотеза про закон розподілу не відповідає значенням випадкової величини у випробуваннях.

Приклад 9. Похибка спостереження Х при вимірюванні довжини розподілена нормально з a = 5 мм і σ = 4 мм. Знайти ймовірність того, що виміряне значення відхилиться від істинного більш ніж на 10 мм.

Розв’язання. Згідно з умовою потрібно знайти P(X ≥10). Виразимо цю ймовірність через ймовірність протилежної події:

									10 −5
P(		X		≥10)=1− P(		X		<10)=1− P(−10 < X <10)=1−Φ			+
									4

+Φ −10 −5 =1−Φ(1,25)−Φ(3,75)=1−0,3944 −0,4999 = 0,1057.

4

52

Вправи для самостійного розв’язування

2.20.Брак при виготовленні деталей становить у середньому 5 %. Знайти ймовірність того, що серед 5 навмання взятих деталей: а) не виявитьсяжодноїбракованої; б) буде дві браковані деталі.

2.21.На регістр ЕОМ надходить команда щодо округлення числа у більший чи менший бік до найближчого цілого числа. Знайти ймовірність того, що при обробці шести чисел половину буде округлено у більший , а половину — у менший бік.

2.22.Робітник обслуговує 6 однотипних верстатів. Імовірність того, що верстат потрібно обслуговувати протягом часу Т, дорів-

нює 13.

Знайти ймовірність того, що за час Т:

а) потрібно буде обслуговувати 3 верстати; б) кількість вимог на обслуговування за час Т буде від 2 до 5.

2.23.В електромережу ввімкнено 4 прилади, потужність кожного з них 660 Вт. Знайти ймовірність того, що мережу буде знеструмлено, якщо напруга в ній 220 В, запобіжник розрахований на 10 А і ймовірность для кожного приладу бути ввімкненим становить 0,5.

2.24.Імовірність відказу при випробуванні кожного приладу дорівнює 0,2. Скільки приладів треба випробувати, щоб з імовірністю не менш як 0,9 дістати не менш як 3 відкази?

2.25.За один цикл автомат виготовляє 10 деталей. За скільки циклів імовірність виготовлення принаймні однієї бракованої деталі буде не меншою за 0,8, коли ймовірність того, що довільна деталь бракована, становить 0,01?

2.26.У процесі роботи ЕОМ час від часу виникають збої. Середня кількістьзбоївзадобудорівнює3. Знайтиймовірностітакихподій:

а) за дві доби не буде жодного збою; б) за тиждень роботи буде не менш як 4 збої.

2.27.Імовірність виготовлення бракованого свердла дорівнює 0,02. Свердла пакуються в коробки по 100 штук. Знайти ймовірність того, що в коробці:

а) не буде бракованих свердел; б) бракованих свердел буде не більш як три.

2.28.У деякій місцевості на кожні 100 кавунів припадає в середньому один, маса якого не менша за 10 кг. Знайти ймовірність того, що в партії із 400 кавунів буде:

а) 3 кавуни масою не менш як 10 кг; б) не менш ніж 2 такі кавуни.

53

2.29.За певного типу зварювання в металі незалежно одна від одної утворюються тріщини, в середньому по дві на зварне з’єднання. Яка ймовірність того, що у зварному з’єднанні буде не більш як дві тріщини?

2.30.Партія виробів приймається, якщо дефектні деталі становлять не більш як 2 %. Скільки деталей треба випробувати для того, щоб партію, в якій 3 % дефектних деталей, не було прийнято з імовірністю P > 0,95, а партію, в якій 1 % дефектних деталей, було прийнято з імовірністю не менш як 0,95?

2.31.Верстат-автомат за нормального налагодження випускає браковану деталь з імовірністю 0,02. Переналагодження виконується після випуску першої бракованої деталі. Знайти математичне сподівання кількості деталей, виготовлених між двома переналагодженнями.

2.32.П’ять із шести космічних кораблів виводяться на орбіту без екіпажу. Якщо всі п’ять запусків будуть успішними, то останній корабель буде запущено з екіпажем. За якої ймовірності успішного запуску корабля ймовірність невдалого шостого запуску буде найбільшою? Знайти цю ймовірність.

2.33.Для контролю партії, що містить 1000 виробів, з неї роблять вибірку обсягом 50. Знайти ймовірність того, що у вибірці не буде бракованих деталей, якщо в цій партії 4 вироби браковані. Зіставити точне значення цієї ймовірності з наближеним, здобутим за формулою Пуассона.

2.34.Із партії обсягом 500 валів привода взято 50 з метою контролю діаметра. Із попередніх досліджень відомо, що в середньому 2 % валів браковані. Яка ймовірність того, що серед 50 вибраних валів буде не більш як один бракований?

2.35.Із партії, в якій 25 електронних ламп, вибрано для випробувань на довговічність 5 ламп. Партія приймається, якщо вийде із ладу не більш як одна з випробуваних ламп. Яка ймовірність того, що партію буде прийнято, якщо із 25 ламп 4 дефектні?

2.36.Час відправлення міжміського автобуса рівномірно розподілений на часовому проміжку від 0.00 до 20.00. Визначити ймовірність того, що пасажир, який прибув на станцію о 16.00, встигне на автобус.

2.37.Шкала секундоміра має ціну поділки 0,2 с. Яка ймовірність відлічити час за цим секундоміром із похибкою, більшою за 0,04 с, якщо відлік здійснюється з точністю до цілої поділки з округленням у найближчий бік?

54

2.38.Випадкова величина Х розподілена показниково. Яка з подій більш ймовірна: випадкова величина набула значення, більшого чи меншого за своє математичне сподівання?

2.39.Час безперервної роботи автоматичного верстата розподіляється за показниковим законом. При якому значенні параметра а з ймовірністю не менше 0,98 буде гарантована неперервна робота верстата протягом 4 годин?

2.40.Час між двома збоями ЕОМ розподіляється показниково

зпараметром а. Щоб розв’язати деяку задачу, потрібна безвідказна робота ЕОМ протягом часу τ. Якщо в цей період буде збій, який виявиться наприкінці розв’язування задачі, то її доведеться розв’язувати заново. Знайти закон розподілу Y — часу, за який задачу буде розв’язано, і його математичне сподівання.

2.41.Вантажі із залізничної станції вивозять автомобілями за кільцевими маршрутами. Визначити вантажопідйомність автомобіля на маршруті МХ, якщо обсяг перевезень розподіляється за-

показниковим законом, коли a = 0,25. Яка ймовірність того, що всі вантажі буде вивезено? Як зміниться ця ймовірність, якщо взяти вантажопідйомність автомобіля q = MX + σ(X )?

2.42. Технічними умовами передбачено, що довжина заготівки деякої деталі має бути між 24 і 25 см. Якщо довжина деталі роз-

поділяється нормально з a = 24,6 см і σ = 0,4 cм, то яка частка за-

готівок матиме довжину, що виходить за межі, задані технічними умовами?

2.43. Визначити ймовірність того, що нормально розподілена величина потрапляє у проміжок [α;β), скориставшись таблицями

функції Φ(x)=	2	x
		∫e−t 2 dt .
	π 0

2.44. Відхилення розміру деталі від номіналу — нормально розподілена величина з нульовим математичним сподіванням та дисперсією, що дорівнює 36. Скільки потрібно виготовити деталей, аби з імовірністю не менш як 0,96 можна було стверджувати, що серед них буде принаймні одна придатна, коли допускаються відхилення розміру деталей від номіналу на проміжку [−2;4)?

2.45. Кульки для підшипників відбраковують таким способом. Якщо кулька проходить через отвір з d = d1, але не проходить

через отвір з d = d2 , то її розмір вважається допустимим. Діаметр кульки — нормально розподілена величина з MX = d1 +2 d2 . Пере-

55

налагодження обладнання виконують, якщо частка браку перевищує 10 %. Визначити допустимі межі для дисперсії.

2.46. Знайти зв’язок між центральним абсолютним моментом першого порядку нормально розподіленої величини та її середнім квадратичним відхиленням.

2.47. Випадкова величина розподілена нормально і має нульове математичне сподівання. Задано проміжок [α;β), який не міс-

тить початку координат. Визначити значення середнього квадратичного відхилення, при якому ймовірність потрапляння випадкової величини на заданий проміжок найбільша.

2.48. Завод виготовляє кульки для підшипників. Діаметр кульки — нормально розподілена величина з MX =10 i DX =16 мкм2 .

Побудувати графік, що відбиває залежність між відхиленням і ймовірністю того, що фактичні розміри не перевищать заданих відхилень.

2.49. Розмір деталі — нормально розподілена величина з MX =10. Деталь вважається стандартною, якщо її відхилення від математичного сподівання не перевищує 0,8. Побудувати графік залежності між значеннями σ і часткою (у відсотках) бракованих деталей.

2.3. ФУНКЦІЇ ВИПАДКОВОГО АРГУМЕНТУ. ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ ТА ЇХ ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Важливою задачею в теорії ймовірностей є визначення законів розподілу та числових характеристик функцій випадкових аргументів, закони розподілу яких відомі. Нехай Х — дискретна випадкова величина, яку задано табличним законом розподілу.

xi		x1			x2		…		xn
pi		p1			p2		…		pn
Відомо, що Y = ϕ(X ),				тоді закон розподілу Y має такий вигляд:
yi		ϕ(x1 )			ϕ(x2 )		….		ϕ(xn )
pi		p1			p2		…		pn
				56

Числові характеристики функції можна знайти за її законом розподілу або за формулами:

n	ϕ(x	)p	n	(ϕ(x ))	2		−	n	ϕ(x	)p	2
MY = ∑			; DY = ∑		p	i		∑			.
i=1	i	i	i=1	1					i	i
							i=1

Довільнімоментирозподілуподаютьсяаналогічнимиформулами:

νk		n			n		(ϕ(xi	)− MY )k pi .
	(Y )= ∑		(ϕ(xi ))k pi ; µk (Y )= ∑
		i=1			i=1
Якщо випадкові величини X i Y					задано законами розподілу:
xi			x1	x2				…		xn
pi			p1	p2				…		pn
y j			y1	y2				…		ym
q j			q1	q2				…		qm

і задано функцію Z = ψ(X ,Y ), то закон її розподілу визначається так. Множина значень, що їх набуває Z, подається у вигляді:

{zij = ψ(xi , y j )}, i =1,2,..., n; j =1,2,...m . При цьому

P(Z = zij = ψ(xi , y j ))= P((X = xi )I(Y = y j ))= pi q j .

Нехай Х — неперервна випадкова величина, яку задано щільністю розподілу f1(x). Якщо Y = ϕ(X ) і ϕ — диференційована функція, монотонна в області значень Х, то щільність розподілу цієї

функції подається у вигляді	f (y)= f1(ψ(y))		′		,	де ψ	— функ-
			ψ (y)
ція, обернена до ϕ. Якщо ϕ — не монотонна функція в області

зміни аргументу, то обернена функція неоднозначна і щільність
розподілу f (y) визначається як сума стількох доданків,				скільки
	n			ψi (y) —
значень має обернена функція:	f (y)= ∑ f1(ψi (y))	ψ′i (y)	, де
функції, обернені до ϕ.	i=1

Визначаючи числові характеристики функцій неперервних аргументів, операцію підсумовування, виконувану для дискретних величин, заміняють операцією інтегрування:

MY =	∞	ϕ(x)f (x)dx; DY =	∞	ϕ2 (x)f (x)dx −	∞		2
	∫		∫		∫	ϕ(x)f (x)dx .
	−∞		−∞		−∞
				57

Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Робітник обслуговує 4 верстати, які розміщено в одну лінію на відстані а один від одного. Знайти закон розподілу для випадкової величини Z — відстані, яку проходить робітник між двома обслуговуваннями, вважаючи, що події — «робітник перебуває біля будь-якого з верстатів» і «довільний верстат потребує обслуговування» — рівноможливі.

Розв’язання. Розглянемо випадкові величини: Х — номер верстата, біля якого перебуває робітник; Y — номер верстата, який потребує обслуговування. Якщо верстати перенумерувати у тій послідовності, в якій їх розміщено (1, 2, 3, 4), то закони розподілу Х i Y наберуть такого вигляду:

xi	1	2	3	4
pi	0,25	0,25	0,25	0,25
yi	1	2	3	4
pi	0,25	0,25	0,25	0,25

При цьому Z = a X −Y . Складаючи закон розподілу Z, обчис-

лимо значення функції для всіх можливих комбінацій значень Х і Y. Таких комбінацій буде 16. Імовірності для всіх цих комбіна-

	цій однакові і дорівнюють																							1			(за теоремою множення ймовір-
																						16
	ностей).
	zi	0					a			2a			3a			a		0					a				2a			2a			a		0				a			3a			2a			a		0
	pi		1				1			1			1			1			1				1				1			1			1			1			1			1			1			1			1
		16				16			16			16			16			16				16				16			16			16			16			16			16			16			16			16

У таблиці значення zi повторюються. Складаємо нову таблицю, в якій такі значення запишемо один раз, а їхні ймовірності додамо.

zi	0	а	2а	3а
рi	0,25	0,375	0,25	0,125

58

Приклад 2. Кількість елементів ЕОМ, які виходять з ладу за деякий проміжок часу, розподілена за законом Пуассона з параметром а. Час ремонту машини залежить від кількості Х елемен-

тів, які вийшли із ладу, і визначається за формулою Y = T (1 − e−γX ).

Знайти математичне сподівання часу ремонту і збитків, пов’язаних із простоєм машини, якщо збитки пропорційні до

квадрата часу ремонту: S = kY 2 = kT 2 (1−e−γX )2 .

Розв’язання. Випадкова величина Х має такий закон розподі-

лу: P(X = m)=

am

e−a ,

m = 0, 1, …. Скориставшись формулою для

m!

знаходження математичних сподівань функцій випадкових аргу-

ментів дістанемо:

∞

(1−e−γm )

a

m

∞

a

m

(e

−γ

a)

m

MY =

∑ T

e−a

=Te−a

∑

−∑

=

m!

m!

m!

m=0

m=0

= Te−a (ea − eae−γ )= T (1 − e−a(1−e−γ )).

∞

(1

−e−λm )2

a

m

e−a =

MS =

∑kT 2

m!

m=0

∞

m

∞

−γ

)

m

(ae

−2γ

)

m

−γ

−2γ

= kT 2e−a

∑

a

−2

∑

(ae

+∑

= kT 2 (1−2e−a(1−e

) +e−a(1−e

)).

m!

m=0 m!

m=0

m!

Приклад3. Випадкову величину Х задано щільністю розподілу:

0,

якщо х ≤ 0;

1

,

якщо 0 < x ≤1;

f1 (x)= 2

1 x,

якщо 1 < x ≤ 2;

3

якщо x > 2.

0,

Знайти щільність розподілу

f (y),

якщо Y = X 2.

Розв’язання. Дослідимо задану функцію

на

монотонність:

y′ = 2x, 2x = 0,

х = 0. Отже, критична точка міститься на мережі

59

зміни Х. Функція монотонно зростає в області зміни аргументу х. Тому можна застосувати формулу:

		′			′	1
f (y)= f1(ψ(y))		ψ (y)		, де x = ψ(y)=	y , ψ (y)= 2 y .

Щільність розподілу для Х має два відмінні від нуля аналітичні вирази. Стільки ж виразів матиме і щільність розподілу Y.

Якщо x (0;1], y (0; 1],	то
Якщо x (1; 2], y (1; 4],	то
Звідси маємо:
0,
	1
f (y)= 4	y
1	,
6
0,

f (x)=		1		, f (y)= 1 .
1		2		4 y
f (x)=	1		x, f (y)=		1	.
1		3		6

якщо y ≤ 0;

,якщо 0 < y ≤1;

якщо 1 < y ≤ 4;

якщо y > 4.

Приклад 4. Довести, що в результаті центрування та нормування нормально розподіленої випадкової величини дістанемо нормально розподілену випадкову величину з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Розв’язання. Нехай випадкова величина Х має щільність роз-

(x −a )2

поділу

f (x)=

1

e−

; Y =

X − a

=

1

X −

a

.

2σ2

1

σ

2π

σ

σ

σ

Отже, центрування і нормування полягає в лінійному перетворенні випадкової величини. Лінійна функція завжди монотонна, тому скористаємося наведеною щойно формулою:

f (y)= f1(ψ(y))				′		, де					′
				ψ (y)				x = ψ(y)= σy + a, ψ (y)= σ.
					(σy+a−a )2				2
Маємо f (y)=		σ		e−				= 1	e−	y	.
					2σ2
	σ									2
		2π						2π
								60